Department of Systems Engineering and Automatics Regulación Automática TEMA 5: Análisis de los Sistemas Realimentados Celso Fernández Silva. 2001 - 2007 http://www.aisa.uvigo.es/docencia/ Análisis de los sistemas realimentados. Objetivos de la realimentación Mejora de la estabilidad Precisión en régimen permanente Respuesta transitoria adecuada Estructuras de control ISA - Vigo 2007 Análisis de los sistemas realimentados 2 Análisis de los sistemas realimentados. Error en Régimen Permanente de un Sistema Realimentado Error de Entrada-Salida y Señal de Error Error de Entrada-Salida y Señal de Error en Régimen Permanente Error en Régimen Permanente en sistemas con Realimentación Constante Tipo de un sistema Error en Régimen Permanente en sistemas con Realimentación NO Constante Análisis de errores en sistemas Tipo 0 y Tipo 1. Problemas 6.1 y 6.2 ISA - Vigo 2007 Análisis de los sistemas realimentados 3 Error en Régimen Permanente. Error de Entrada-Salida y Señal de Error ε(s) ≠ E(s) X(s) H(s) sin polos ni ceros en el origen _ B(s) Error de Entrada-Salida e(t): Y(s) G (s ) H (s ) Es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida con los niveles ajustados a la entrada. Este ajuste de los rangos de la salida a los rangos de la entrada equivale a multiplicar la señal de salida por la ganancia estática de la realimentación. 1 Por tanto: L{e(t )} = E ( s ) = X ( s ) − h0 ⋅ Y ( s ) donde h0 = lim s ⋅ H ( s ) ⋅ = H (0) s →0 s Señal de Error ε(t): Es la señal que actúa sobre el sistema en cadena directa [la que actúa sobre G(s)]. Por tanto: L{ε (t )} = ε ( s ) = X ( s ) − H ( s ) ⋅ Y ( s ) ISA - Vigo 2007 Análisis de los sistemas realimentados 4 Error en Régimen Permanente. Error de Entrada-Salida y Señal de Error en Rég. Perm. ε(s) ≠ E(s) X(s) El error en régimen permanente depende de la señal de entrada que se utilice y de la función de transferencia en bucle abierto E ( s) = X ( s) − h0 ⋅ Y ( s) = X ( s ) − h0 ⋅ _ s→0 s→0 ε rp = lim ε (t ) = lim s ⋅ ε ( s) = lim s ⋅ X ( s ) ⋅ ISA - Vigo 2007 s→0 H (s ) 1 + G ( s ) ⋅ [H ( s ) − h0 ] 1 + G (s) ⋅ H ( s) ε ( s) = ε ( s) = X ( s) − H ( s) ⋅ Y ( s) = X (s) − ε ( s) ⋅ G ( s) ⋅ H ( s) t→∞ G (s ) G(s) 1 + G ( s ) ⋅ [H ( s ) − h0 ] ⋅ X (s) = X ( s) ⋅ 1 + G ( s) ⋅ H ( s) 1 + G (s) ⋅ H ( s) erp = lim e(t ) = lim s ⋅ E ( s ) = lim s ⋅ X ( s ) ⋅ t →∞ B(s) Y(s) s→0 X ( s) 1 + G ( s) ⋅ H ( s) 1 1 + G(s) ⋅ H (s) Análisis de los sistemas realimentados 5 Error (Rég. Perm.) en sistemas con Realimentación Constante Señal de Error: Error de entrada-salida: ε ( s) = X ( s) ⋅ 1 1 + G(s) ⋅ H (s) ε rp = lim s ⋅ X ( s ) ⋅ 1 1 + G ( s) ⋅ H ( s) s→0 El Tipo es el nº de polos en el origen de la función de transferencia en bucle abierto E ( s) = X ( s) ⋅ 1 + G ( s ) ⋅ [H ( s ) − h0 ] 1 + G ( s) ⋅ H ( s) erp = lim s ⋅ X ( s ) ⋅ s→0 1 + G ( s ) ⋅ [H ( s ) − h0 ] 1 + G ( s) ⋅ H ( s) Si la función de transferencia H(s) es una constante, entonces H(s) = h0 con lo que la señal de error ε(s) y el error de entrada-salida E(s) coinciden. Se definen entonces los errores y las constantes de error de posición, velocidad y aceleración como: X (s) = 1 Error de posición: Error ante entrada escalón unitario e p = lim s→0 1 1 = 1 + G(s) ⋅ H (s) 1 + K p K p = lim G ( s) ⋅ H ( s) donde s→0 X ( s) = 1 Error de velocidad: Error ante entrada rampa unitaria ev = lim s→0 1 1 = s ⋅ G ( s) ⋅ H ( s) K v donde ISA - Vigo 2007 s→0 1 1 = donde s 2 ⋅ G (Análisis s) ⋅ H ( s)de los K sistemas a realimentados s2 K v = lim s ⋅ G( s) ⋅ H ( s ) s→0 X (s) = 1 Error de aceleración: Error ante entrada parábola unitaria ea = lim s s3 K a = lim s 2 ⋅ G ( s ) ⋅ H ( s ) 6 s→0 Error en Régimen Permanente. Tipo de un sistema G( s) ⋅ H ( s) = K ⋅ (1 + Ta s) ⋅ ... ⋅ (1 + Tm s) s r ⋅ (1 + T1s) ⋅ ... ⋅ (1 + Tn s) Se define el tipo de un sistema realimentado como el número r de polos en el origen de la función de transferencia en bucle abierto G ( s ) ⋅ H ( s ) . Para sistemas con realimentación constante se cumple: TIPO 0 1 2 ep cte=1/(1+Kp) 0 0 ev ∞ cte=1/Kv 0 ea ∞ ∞ cte=1/Ka ISA - Vigo 2007 Análisis de los sistemas realimentados 7 Error en Régimen Permanente. Ejemplos >> s=tf('s') >> g1=23/s/(s+5) >> g2=23/(s+2)/(s+5) >> step(feedback(g1,1)) >> step(feedback(g2,1)) >> g3=45/(s^2+4.2*s+9) >> step(g3) >> impulse(g3) X(s) E(s) _ X(s) 5 Gi (s ) E(s) _ 9 s ⋅ ( s + 4.2) >> delta=4.2/3/2 >> Mp=exp(-pi/tan(acos(delta))) >> Mp=(5.23-5)/5 ISA - Vigo 2007 Análisis de los sistemas realimentados 8 Error (Rég. Perm.) en sistemas con Realimentación NO Constante H(s) sin polos ni ceros en el origen ε(s) ≠ E(s) X(s) _ Tipo de G(s)=Tipo de Geq (s ) Error de E/S de posición: X ( s) = 1s Y(s) G (s ) 1 1 = s → 0 1 + h0 ⋅ Geq ( s ) 1 + K p e p = lim B(s) H (s ) K p = lim h0 ⋅ Geq ( s ) s→0 Geq (s ) X(s) ε(s) E(s) _ _ G (s ) H ( s ) − h0 s2 1 1 = s → 0 s ⋅ h0 ⋅ Geq ( s ) K v ev = lim K v = lim s ⋅ h0 ⋅ Geq ( s) ≠ lim s ⋅ G ( s) ⋅ H ( s) s→0 Error de E/S de aceleración: X ( s) = 1 s3 1 1 = s → 0 s ⋅ h0 ⋅ Geq ( s ) K a G(s) 1 + G ( s ) ⋅ [ H ( s) − h0 ] e p = lim 2 s ⋅ X (s) K a = lim s 2 ⋅ h0 ⋅ Geq ( s) Análisis de los sistemas s→0 s → 0 1 + h0 ⋅ Geq ( s ) e = lim s ⋅ E ( s ) = lim ISA rp - Vigo 2007 s→0 s→0 Y(s) h0 Geq ( s ) = lim G (s) ⋅ H (s) Error de E/S de velocidad: X ( s) = 1 s→0 h0 ⋅ Y ( s) = realimentados ≠ s→0 2 lim s ⋅ G (s) ⋅ H9 (s) Tipo 0: Error de Entrada-Salida y Señal de Error Geq ( s ) = G(s) 1 + G ( s ) ⋅ [ H ( s) − h0 ] Tipo 0 = Tipo[G(s)] = Problema 6.1 ISA - Vigo 2007 Análisis de los sistemas realimentados 10 Tipo 1: Error de Entrada-Salida y Señal de Error Geq ( s ) = G(s) 1 + G ( s ) ⋅ [ H ( s) − h0 ] Tipo 1 = Tipo[G(s)] ≠ Problema 6.2 ISA - Vigo 2007 Análisis de los sistemas realimentados 11 Lugar de las raíces. ε(s) X(s) _ B(s) G (s) M (s) = 1 + G(s) ⋅ H (s) G (s ) H (s ) G ( s) ⋅ H ( s) = 1 D ( s ) = 1 + G ( s ) ⋅ H ( s ) = 0 ⇒ G ( s ) ⋅ H ( s ) = −1 ⇒ G ( s ) ⋅ H ( s ) = (2q + 1) ⋅ π m K ⋅ ∏( s + zi ) K ⋅ ( s + z1 ) ⋅ ... ⋅ ( s + z m ) G( s) ⋅ H ( s) = = n i =1 ( s + p1 ) ⋅ ( s + p2 ) ⋅ ... ⋅ ( s + pn ) ∏( s + pi ) i =1 Criterio del módulo Criterio del argumento m K ⋅ ∏ ( s + zi ) i =1 n ∏ ( s + pi ) q = 0,±1,±2,... =1 m n i =1 i =1 K + ∑ ( s + zi ) −∑ ( s + p i )= (2q + 1) ⋅ π i =1 ISA - Vigo 2007 Análisis de los sistemas realimentados 12 Lugar de las raíces. Los puntos sd que cumplen el “criterio del argumento” pertenecen al lugar de las raíces para un determinado valor de K que se obtiene del “criterio del módulo” (2q + 1) ⋅ π = G ( sd ) ⋅ H ( sd ) = θ1 + θ 2 − (θ 3 + θ 4 + θ 5 ) K ⋅ sd + z1 ⋅ sd + z 2 K ⋅α ⋅ β 1 = G ( sd ) ⋅ H ( sd ) = = sd ⋅ sd + p1 ⋅ sd + p2 γ ⋅ φ ⋅η ISA - Vigo 2007 Análisis de los sistemas realimentados 13 Lugar de las raíces. ε(s) X(s) _ B(s) G (s) M (s) = 1 + G(s) ⋅ H (s) G (s ) H (s ) D( s) = 1 + G ( s) ⋅ H ( s) = 0 m K ⋅ ∏ ( s + zi ) K ⋅ ( s + z1 ) ⋅ ... ⋅ ( s + z m ) G (s) ⋅ H (s) = = n i =1 ( s + p1 ) ⋅ ( s + p2 ) ⋅ ... ⋅ ( s + pn ) ∏( s + pi ) i =1 m K ⋅ ∏( s + zi ) P( s) + K ⋅ Z ( s) = 0 Z ( s ) D( s ) = 1 + n i =1 = 1+ K ⋅ =0⇒ P( s) P ( s ) + Z (s) = 0 ∏( s + pi ) K i =1 ISA - Vigo 2007 Análisis de los sistemas realimentados 14 Análisis de los sistemas realimentados. Bibliografía básica Ogata, K. “Ingeniería de Control Moderna”, Prentice Hall Hispanoamericana. 2ª edición 1993. (A-26, A-69, A-193, A-328, A-329, A-330, A-331, A-332) Puente, E.A. “Regulación Automática" (Tomos I y II), Sección de Publicaciones de la U.P. de Madrid. 1980. (A-11, A-46, A-212, A-213, A-420, A-421, A-422) Barrientos, A. et al. “Control de Sistemas Contínuos. Problemas resueltos”, McGraw-Hill, Madrid 1996. (A-388, A-389, A-390, A-391, A-392, A-393, A-394) Ogata, K. “Problemas de Ingeniería de Control utilizando Matlab”. Prentice Hall 1998. (A-11, A-46, A-212, A-213, A-420, A-421, A-422) ISA - Vigo 2007 Análisis de los sistemas realimentados 15 Análisis de los sistemas realimentados. Bibliografía complementaria Franklin, G.F. et al. “Control de sistemas dinámicos con retroalimentación”, Addison-Wesley, 1991. (A-180, A-181, A-182) Dorf, R.C. y Bishop, R. “Sistemas de control moderno”, 10ª edición, Prentice Hall 2005. (A-426) Sirgo Blanco, J.A. et al. “Apuntes de Regulación Automática”, http://isa.uniovi.es/docencia/raeuitig/. () Kuo, B.C. “Sistemas automáticos de control”. Prentice Hall 1991. (A-152) ISA - Vigo 2007 Análisis de los sistemas realimentados 16