Análisis De Los Sistemas Realimentad

Department of
Systems Engineering
and Automatics
Regulación Automática
TEMA 5:
Análisis de los Sistemas Realimentados
Celso Fernández Silva.
2001 - 2007
http://www.aisa.uvigo.es/docencia/
Análisis de los sistemas realimentados.
Objetivos de la realimentación
Mejora de la estabilidad
Precisión en régimen permanente
Respuesta transitoria adecuada
Estructuras de control
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Análisis de los sistemas realimentados
2
Análisis de los sistemas realimentados.
Error en Régimen Permanente de un Sistema Realimentado
Error de Entrada-Salida y Señal de Error
Error de Entrada-Salida y Señal de Error en Régimen
Permanente
Error en Régimen Permanente en sistemas con
Realimentación Constante
Tipo de un sistema
Error en Régimen Permanente en sistemas con
Realimentación NO Constante
Análisis de errores en sistemas Tipo 0 y Tipo 1.
Problemas 6.1 y 6.2
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Análisis de los sistemas realimentados
3
Error en Régimen Permanente.
Error de Entrada-Salida y Señal de Error
ε(s) ≠ E(s)
X(s)
H(s) sin polos ni ceros en el origen
_
B(s)
Error de Entrada-Salida e(t):
Y(s)
G (s )
H (s )
Es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida con los niveles
ajustados a la entrada. Este ajuste de los rangos de la salida a los rangos de la
entrada equivale a multiplicar la señal de salida por la ganancia estática de la
realimentación.
1
Por tanto: L{e(t )} = E ( s ) = X ( s ) − h0 ⋅ Y ( s ) donde h0 = lim s ⋅ H ( s ) ⋅ = H (0)
s →0
s
Señal de Error ε(t):
Es la señal que actúa sobre el sistema en cadena directa [la que actúa sobre G(s)].
Por tanto: L{ε (t )} = ε ( s ) = X ( s ) − H ( s ) ⋅ Y ( s )
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Análisis de los sistemas realimentados
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Error en Régimen Permanente.
Error de Entrada-Salida y Señal de Error en Rég. Perm.
ε(s) ≠ E(s)
X(s)
El error en régimen permanente
depende de la señal de entrada que se utilice
y de la función de transferencia
en bucle abierto
E ( s) = X ( s) − h0 ⋅ Y ( s) = X ( s ) − h0 ⋅
_
s→0
s→0
ε rp = lim ε (t ) = lim s ⋅ ε ( s) = lim s ⋅ X ( s ) ⋅
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s→0
H (s )
1 + G ( s ) ⋅ [H ( s ) − h0 ]
1 + G (s) ⋅ H ( s)
ε ( s) =
ε ( s) = X ( s) − H ( s) ⋅ Y ( s) = X (s) − ε ( s) ⋅ G ( s) ⋅ H ( s)
t→∞
G (s )
G(s)
1 + G ( s ) ⋅ [H ( s ) − h0 ]
⋅ X (s) = X ( s) ⋅
1 + G ( s) ⋅ H ( s)
1 + G (s) ⋅ H ( s)
erp = lim e(t ) = lim s ⋅ E ( s ) = lim s ⋅ X ( s ) ⋅
t →∞
B(s)
Y(s)
s→0
X ( s)
1 + G ( s) ⋅ H ( s)
1
1 + G(s) ⋅ H (s)
Análisis de los sistemas realimentados
5
Error (Rég. Perm.) en sistemas con Realimentación Constante
Señal de Error:
Error de entrada-salida:
ε ( s) = X ( s) ⋅
1
1 + G(s) ⋅ H (s)
ε rp = lim s ⋅ X ( s ) ⋅
1
1 + G ( s) ⋅ H ( s)
s→0
El Tipo es el
nº de polos en el
origen de la función de
transferencia en
bucle abierto
E ( s) = X ( s) ⋅
1 + G ( s ) ⋅ [H ( s ) − h0 ]
1 + G ( s) ⋅ H ( s)
erp = lim s ⋅ X ( s ) ⋅
s→0
1 + G ( s ) ⋅ [H ( s ) − h0 ]
1 + G ( s) ⋅ H ( s)
Si la función de transferencia H(s) es una constante, entonces H(s) = h0 con lo que la señal
de error ε(s) y el error de entrada-salida E(s) coinciden. Se definen entonces los errores y
las constantes de error de posición, velocidad y aceleración como:
X (s) = 1
Error de posición: Error ante entrada escalón unitario
e p = lim
s→0
1
1
=
1 + G(s) ⋅ H (s) 1 + K p
K p = lim G ( s) ⋅ H ( s)
donde
s→0
X ( s) = 1
Error de velocidad: Error ante entrada rampa unitaria
ev = lim
s→0
1
1
=
s ⋅ G ( s) ⋅ H ( s) K
v
donde
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s→0
1
1
=
donde
s 2 ⋅ G (Análisis
s) ⋅ H ( s)de los
K sistemas
a
realimentados
s2
K v = lim s ⋅ G( s) ⋅ H ( s )
s→0
X (s) = 1
Error de aceleración: Error ante entrada parábola unitaria
ea = lim
s
s3
K a = lim s 2 ⋅ G ( s ) ⋅ H ( s )
6
s→0
Error en Régimen Permanente.
Tipo de un sistema
G( s) ⋅ H ( s) =
K ⋅ (1 + Ta s) ⋅ ... ⋅ (1 + Tm s)
s r ⋅ (1 + T1s) ⋅ ... ⋅ (1 + Tn s)
Se define el tipo de un sistema realimentado como el número r de polos en el
origen de la función de transferencia en bucle abierto G ( s ) ⋅ H ( s ) .
Para sistemas con realimentación constante se cumple:
TIPO
0
1
2
ep
cte=1/(1+Kp)
0
0
ev
∞
cte=1/Kv
0
ea
∞
∞
cte=1/Ka
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Análisis de los sistemas realimentados
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Error en Régimen Permanente.
Ejemplos
>> s=tf('s')
>> g1=23/s/(s+5)
>> g2=23/(s+2)/(s+5)
>> step(feedback(g1,1))
>> step(feedback(g2,1))
>> g3=45/(s^2+4.2*s+9)
>> step(g3)
>> impulse(g3)
X(s)
E(s)
_
X(s)
5
Gi (s )
E(s)
_
9
s ⋅ ( s + 4.2)
>> delta=4.2/3/2
>> Mp=exp(-pi/tan(acos(delta)))
>> Mp=(5.23-5)/5
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Error (Rég. Perm.) en sistemas con Realimentación NO Constante
H(s) sin polos ni ceros en el origen
ε(s) ≠ E(s)
X(s)
_
Tipo de G(s)=Tipo de Geq (s )
Error de E/S de posición: X ( s) = 1s
Y(s)
G (s )
1
1
=
s → 0 1 + h0 ⋅ Geq ( s ) 1 + K p
e p = lim
B(s)
H (s )
K p = lim h0 ⋅ Geq ( s )
s→0
Geq (s )
X(s)
ε(s)
E(s)
_
_
G (s )
H ( s ) − h0
s2
1
1
=
s → 0 s ⋅ h0 ⋅ Geq ( s ) K v
ev = lim
K v = lim s ⋅ h0 ⋅ Geq ( s)
≠
lim s ⋅ G ( s) ⋅ H ( s)
s→0
Error de E/S de aceleración: X ( s) = 1
s3
1
1
=
s → 0 s ⋅ h0 ⋅ Geq ( s ) K a
G(s)
1 + G ( s ) ⋅ [ H ( s) − h0 ]
e p = lim
2
s ⋅ X (s)
K a = lim s 2 ⋅ h0 ⋅ Geq ( s)
Análisis de los sistemas
s→0
s → 0 1 + h0 ⋅ Geq ( s )
e = lim s ⋅ E ( s ) = lim
ISA rp
- Vigo 2007
s→0
s→0
Y(s)
h0
Geq ( s ) =
lim G (s) ⋅ H (s)
Error de E/S de velocidad: X ( s) = 1
s→0
h0 ⋅ Y ( s)
=
realimentados
≠ s→0
2
lim s ⋅ G (s) ⋅ H9 (s)
Tipo 0: Error de Entrada-Salida y Señal de Error
Geq ( s ) =
G(s)
1 + G ( s ) ⋅ [ H ( s) − h0 ]
Tipo 0 = Tipo[G(s)]
=
Problema 6.1
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realimentados
10
Tipo 1: Error de Entrada-Salida y Señal de Error
Geq ( s ) =
G(s)
1 + G ( s ) ⋅ [ H ( s) − h0 ]
Tipo 1 = Tipo[G(s)]
≠
Problema 6.2
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Análisis de los sistemas
realimentados
11
Lugar de las raíces.
ε(s)
X(s)
_
B(s)
G (s)
M (s) =
1 + G(s) ⋅ H (s)
G (s )
H (s )
 G ( s) ⋅ H ( s) = 1
D ( s ) = 1 + G ( s ) ⋅ H ( s ) = 0 ⇒ G ( s ) ⋅ H ( s ) = −1 ⇒ 
 G ( s ) ⋅ H ( s ) = (2q + 1) ⋅ π
m
K ⋅ ∏( s + zi )
K ⋅ ( s + z1 ) ⋅ ... ⋅ ( s + z m )
G( s) ⋅ H ( s) =
= n i =1
( s + p1 ) ⋅ ( s + p2 ) ⋅ ... ⋅ ( s + pn )
∏( s + pi )
i =1
Criterio del módulo
Criterio del argumento
m
K ⋅ ∏ ( s + zi )
i =1
n
∏ ( s + pi )
q = 0,±1,±2,...
=1
m
n
i =1
i =1
K + ∑ ( s + zi ) −∑ ( s + p i )= (2q + 1) ⋅ π
i =1
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realimentados
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Lugar de las raíces.
Los puntos sd que cumplen el “criterio del
argumento” pertenecen al lugar de las
raíces para un determinado valor de K
que se obtiene del “criterio del módulo”
(2q + 1) ⋅ π = G ( sd ) ⋅ H ( sd ) = θ1 + θ 2 − (θ 3 + θ 4 + θ 5 )
K ⋅ sd + z1 ⋅ sd + z 2
K ⋅α ⋅ β
1 = G ( sd ) ⋅ H ( sd ) =
=
sd ⋅ sd + p1 ⋅ sd + p2
γ ⋅ φ ⋅η
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realimentados
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Lugar de las raíces.
ε(s)
X(s)
_
B(s)
G (s)
M (s) =
1 + G(s) ⋅ H (s)
G (s )
H (s )
D( s) = 1 + G ( s) ⋅ H ( s) = 0
m
K ⋅ ∏ ( s + zi )
K ⋅ ( s + z1 ) ⋅ ... ⋅ ( s + z m )
G (s) ⋅ H (s) =
= n i =1
( s + p1 ) ⋅ ( s + p2 ) ⋅ ... ⋅ ( s + pn )
∏( s + pi )
i =1
m
K ⋅ ∏( s + zi )
P( s) + K ⋅ Z ( s) = 0

Z
(
s
)
D( s ) = 1 + n i =1
= 1+ K ⋅
=0⇒
P( s)
P
(
s
)

+ Z (s) = 0
∏( s + pi )
K
i =1
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Análisis de los sistemas
realimentados
14
Análisis de los sistemas realimentados.
Bibliografía básica
Ogata, K. “Ingeniería de Control Moderna”, Prentice Hall
Hispanoamericana. 2ª edición 1993.
(A-26, A-69, A-193, A-328, A-329, A-330, A-331, A-332)
Puente, E.A. “Regulación Automática" (Tomos I y II),
Sección de Publicaciones de la U.P. de Madrid. 1980.
(A-11, A-46, A-212, A-213, A-420, A-421, A-422)
Barrientos, A. et al. “Control de Sistemas Contínuos.
Problemas resueltos”, McGraw-Hill, Madrid 1996.
(A-388, A-389, A-390, A-391, A-392, A-393, A-394)
Ogata, K. “Problemas de Ingeniería de Control utilizando
Matlab”. Prentice Hall 1998.
(A-11, A-46, A-212, A-213, A-420, A-421, A-422)
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Análisis de los sistemas realimentados
15
Análisis de los sistemas realimentados.
Bibliografía complementaria
Franklin, G.F. et al. “Control de sistemas dinámicos con
retroalimentación”, Addison-Wesley, 1991.
(A-180, A-181, A-182)
Dorf, R.C. y Bishop, R. “Sistemas de control moderno”, 10ª
edición, Prentice Hall 2005.
(A-426)
Sirgo Blanco, J.A. et al. “Apuntes de Regulación
Automática”, http://isa.uniovi.es/docencia/raeuitig/.
()
Kuo, B.C. “Sistemas automáticos de control”. Prentice Hall
1991.
(A-152)
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