Práctica 13. Péndulo de Kater

PÉNDULO DE KATER
OBJETIVO
Calcular la aceleración de la gravedad mediante un péndulo reversible de Kater.
Estudiando el concepto de momento de inercia y su relación con otros conceptos dinámicos.
FUNDAMENTO TEÓRICO
Un péndulo de Kater es un ejemplo
de péndulo compuesto o físico, por ello, es
un cuerpo rígido que puede oscilar
libremente alrededor de un eje horizontal,
que no pasa por su centro de masa. En
consecuencia, la posición de este cuerpo
está determinada, en cualquier instante de
tiempo, por el ángulo θ que dicho cuerpo
forma con la vertical, tal como se indica en
la figura adjunta. Así, debemos notar que
cuando este cuerpo está desviado de su
posición de equilibrio, tal como se ve en la
figura, actúa sobre el mismo un par de
fuerzas (la normal y el peso), cuyo
momento tiene una magnitud dada por:
M z = − mgl sen θ
donde el signo negativo debe entenderse como que este momento es opuesto a la rotación, es
decir, es un momento recuperador. Si el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de
suspensión ZZ’ es designado por “I”, al aplicar el teorema del momento angular tenemos que:
M z = I&θ& = − mgl sen θ
⇒
&θ& + mgl sen θ = 0
I
Considerando sólo pequeñas oscilaciones, es posible poner que sen θ ≅ θ , entonces tenemos:
&θ& + mgl θ = 0
I
notando que esta ecuación corresponde a un movimiento armónico simple cuyo periodo es:
T = 2π
I
mgl
(1)
A la vista de la ecuación (1) es fácil observar que un péndulo simple cuya longitud de hilo λ
fuera:
λ=
I
ml
tendría el mismo periodo que este péndulo físico. En lo concerniente al periodo de las
oscilaciones de un péndulo físico, la masa del mismo puede suponerse concentrada en un
punto 0’, cuya distancia al eje de suspensión es λ. Tal punto recibe el nombre de centro de
suspensión. Si hacemos pasar el eje de suspensión por el punto 0’, de modo que sea paralelo
al eje anterior, el punto 0’ pasa a ser ahora el punto de suspensión en tanto que el punto 0 pasa
a ser el centro de oscilación, por ello se dice que 0 y 0’ son conjugados. Esta propiedad es la
que se aprovecha para construir un péndulo de Kater.
Además debemos notar que en la expresión (1) puede aplicarse el teorema de Steiner
para sustituir el valor del momento de inercia I, en función del momento de inercia IG con
respecto a un eje paralelo al eje ZZ’, que pase por el centro de masa del cuerpo (punto G),
teniendo entonces:
I = I G + ml 2 = mK 2 + ml 2
⇒
T = 2π
K 2 + l2
gl
(2)
Considerando como cuerpo rígido el
péndulo de Kater ilustrado en la figura
adjunta, podemos aplicar la fórmula (2) a
los puntos E1 y E2, teniendo:
T1 = 2π
K 2 + h12
gh12
T2 = 2π
K 2 + h 22
gh 22
si ambos puntos fueran conjugados T1 sería
igual a T2. En la práctica es muy difícil
obtener la situación exacta del centro de
oscilación, asociado a un punto de
suspensión dado, para garantizar esta
igualdad. No obstante, sí es posible
obtener la situación de un punto próximo
al centro de oscilación, en este caso los
periodos T1 y T2 no son iguales pero si
parecidos.
En esta situación, podemos poner:
gh1 T12
4π
2
gh 2T22
4π
2
= K 2 + h12
= K 2 + h 22
2
2
4π 2 h1 T1 − h 2T2
⇒
=
g
h12 − h 22
4π 2
T12 + T22
T12 − T22
=
+
⇒
g
2( h1 + h 2 ) 2( h1 − h 2 )
(3)
Debemos notar que la diferencia (h1-h2) no debe ser nunca pequeña, pues no podríamos
aplicar esta fórmula. Esto es fácil de evitar con las dos masas diferentes acopladas a los
extremos de la barra. Por otra parte, T1 y T2 son parecidos por lo que esta diferencia será
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mucho menor que la diferencia (h1-h2), evitando de nuevo problemas con el denominador.
Hay que notar también que el término asociado a la diferencia de los periodos será siempre
una pequeña corrección.
MÉTODO
1.- Como péndulo de Kater se utilizará una barra homogénea provista de dos masas en los
extremos, tal como se indica en la figura anterior. Las cuchillas de los extremos (o la
abrazadera deslizante) permiten el apoyo adecuado de la barra, para que la misma
pueda oscilar libremente.
2.- Las cuchillas (o la abrazadera) deben ser fijadas a una cierta distancia, midiendo esta
distancia h = h1 + h2.
3.- Hágase oscilar la barra con una pequeña amplitud y determínese el periodo midiendo el
tiempo de 20 oscilaciones. Anótese este resultado con su error.
4.- A continuación realizamos la misma experiencia invirtiendo el péndulo. Anótese este
resultado con su error.
5.- Cambiando las cuchillas de lugar (o la abrazadera), repítase el procedimiento de los
apartados 2 a 4, de tal forma que se consigan periodos similares.
6.- Cuando se disponga de valores similares del periodo, empleamos la expresión (3) para
calcular la gravedad con su error. Las distancias h1 y h2 necesarias para evaluar (3), se
miden respecto del centro de masas, tal como se ha indicado en la figura anterior.
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