Práctica 12. Péndulo compuesto

PÉNDULO COMPUESTO
OBJETIVO
Estudio experimental del péndulo compuesto o físico y determinación mediante éste
de la aceleración de la gravedad. Estudiando el concepto de momento de inercia y su relación
con otros conceptos dinámicos.
FUNDAMENTO TEÓRICO
Un péndulo compuesto o físico es
cualquier cuerpo rígido que puede oscilar
libremente alrededor de un eje horizontal,
que no pasa por su centro de masa. En
consecuencia, la posición de este cuerpo
está determinada, en cualquier instante de
tiempo, por el ángulo θ que dicho cuerpo
forma con la vertical, tal como se indica en
la figura adjunta. Así, debemos notar que
cuando este cuerpo está desviado de su
posición de equilibrio, tal como se ve en la
figura, actúa sobre el mismo un par de
fuerzas (la normal y el peso), cuyo
momento tiene una magnitud dada por:
M z = − mgl sen θ
donde el signo negativo debe entenderse como que este momento es opuesto a la rotación, es
decir, es un momento recuperador. Si el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de
suspensión ZZ’ es designado por “I”, al aplicar el teorema del momento angular tenemos que:
M z = I&θ& = − mgl sen θ
⇒
&θ& + mgl sen θ = 0
I
Considerando sólo pequeñas oscilaciones, es posible poner que sen θ ≅ θ , entonces tenemos:
&θ& + mgl θ = 0
I
notando que esta ecuación corresponde a un movimiento armónico simple cuyo periodo es:
T = 2π
I
mgl
(1)
A la vista de la ecuación (1) es fácil observar que un péndulo simple cuya longitud de hilo λ
fuera:
λ=
I
ml
tendría el mismo periodo que este péndulo físico. En lo concerniente al periodo de las
oscilaciones de un péndulo físico, la masa del mismo puede suponerse concentrada en un
punto 0’, cuya distancia al eje de suspensión es λ. Tal punto recibe el nombre de centro de
suspensión.
Además debemos notar que en la expresión (1) puede aplicarse el teorema de Steiner
para sustituir el valor del momento de inercia I, en función del momento de inercia IG con
respecto a un eje paralelo al eje ZZ’, que pase por el centro de masa del cuerpo (punto G),
teniendo entonces:
I = I G + ml 2 = mK 2 + ml 2
⇒
T = 2π
K 2 + l2
gl
(2)
donde K es el radio de giro del cuerpo
rígido respecto del eje que pasa por el
centro de masa. En la figura adjunta se ha
representado la expresión (2), es decir, el
periodo como función de la distancia entre
el punto de suspensión 0 y el centro de
masas G. Vemos que tal función presenta
un valor mínimo en l = K .
MÉTODO
1.- Como péndulo compuesto se utilizará
una barra homogénea provista de una
abrazadera deslizante, tal como se
indica en la figura. La abrazadera
deslizante permite el apoyo adecuado de
la barra, para que la misma pueda
oscilar libremente. Antes de colocar la
abrazadera se procederá a calcular la
posición del centro de gravedad,
anotando este valor con su error.
2.- Colóquese la abrazadera en un extremo
de la barra, determinando la distancia
del punto de suspensión al centro de
gravedad (longitud l con su error).
3.- Hágase oscilar la barra con una pequeña amplitud y determínese el periodo midiendo el
tiempo de 20 oscilaciones. Anótese este resultado con su error.
2
4.- Cambiando la abrazadera de lugar, repítase el procedimiento anterior al menos 9 veces. La
abrazadera debe situarse cada vez más próxima al centro de gravedad, pero sin alcanzarlo.
Como consecuencia, tendremos una tabla de valores de la distancia y su periodo asociado.
5.- Elevamos al cuadrado el periodo y lo multiplicamos por la longitud, representándolo
frente a la longitud al cuadrado. Poniendo los valores de l 2 en las abscisas y los valores de
lT 2 en las ordenadas. Debemos también representar los rectángulos de error
correspondientes.
5.- Cuando obtenemos la recta de ajuste por mínimos cuadrados con los valores anteriores,
vemos que la pendiente de dicha recta y su ordenada en el origen, coinciden con:
a=
4π 2
g
,,
b=
4π 2 2
K
g
teniendo en cuenta la expresión (2). En consecuencia, hallamos el valor de g con su error y
el valor del radio de giro con su error, representando también la recta de ajuste en la
gráfica anterior.
3