RELACIÓN Relaciones binarias

1º ITIS
Matemática discreta
Relación 3
RELACIONES BINARIAS
1. Sea X = {0,1, 2, 3, 4} . En P(X) se define la siguiente relación de equivalencia: si
A, B Î P( X ) , ARB Û åaÎA a = åbÎB b (por definición, la suma de los
elementos de Æ es 0). Describir los elementos del conjunto cociente, P( X ) .
R
2. Demostrar que las siguientes relaciones son de equivalencia en los conjuntos
dados, calculando la clase de equivalencia del elemento que se indica en cada
caso:
a c
é3ù
a) R Û a + d = b + c sobre ¤ ; ê ú
b d
ë5 û
2
2
b) xRy Û x - y = x - y sobre ¢ ; [x]
c) aRb Û a - E (a ) = b - E (b) sobre ¡ ; [a]
2
b2
d) aRb Û a
sobre ¡ -{1}; [a]
a -1 = b -1
e) aRb Û E (a ) = E (b) sobre ¡ ; [5]
f) aRb Û a 2 = b 2 sobre ¡ ; [a]
3. Dado un conjunto X y dos relaciones binarias R y S sobre X, probar:
a) Si R y S son reflexivas, entonces R·S es reflexiva.
b) Si R y S son simétricas, R·S no tiene por qué ser necesariamente
simétrica.
c) Si R y S son antisimétricas, R·S no tiene por qué ser necesariamente
antisimétrica.
d) Si R y S son transitivas, R·S no tiene por qué ser necesariamente
transitiva.
4. Dar un ejemplo de una relación binaria que sea a la vez de orden y de
equivalencia.
5. Probar que el conjunto p (X ) de todas las particiones de X está parcialmente
ordenado por la relación ser más fina que. Encontrar el máximo y el mínimo
para esta relación y dibujar los diagramas correspondientes a p ({1,2,3}) y
p ({1,2,3,4}) .
6. ¿Cuántas relaciones binarias es posible definir en un conjunto con 4 elementos?
¿Cuántas relaciones reflexivas existen? Probar que hay exactamente 15
relaciones de equivalencia.
7. Dar ejemplos de relaciones binarias que verifiquen sólo una de las siguientes
propiedades: reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva.
8. Encontrar un ejemplo de relación binaria que sea reflexiva y simétrica, pero no
transitiva.
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Relación 3
9. En X = {a, b, c, d, e} se considera la relación binaria
R = {(a, a ), (a, d ), (a, e), (b, b), (b, c), (b, e), (c, c),(c, b), (c, d ),
(d , d ), (d , a ), (d , c), (d , e), (e, e), (e, a ), (e, b), (e, d )}
a) Demostrar que R es reflexiva y simétrica, pero no transitiva ni
antisimétrica.
b) Encontrar la menor relación de equivalencia que contiene a R.
10. Dada una relación binaria R en un conjunto X,
a) Describir la menor relación binaria reflexiva que contiene a R.
b) Describir la menor relación binaria simétrica que contiene a R.
c) Describir la menor relación binaria transitiva que contiene a R.
d) Describir la menor relación binaria de equivalencia que contiene a R.
11. Sea W = {1, 2, 3, 4}. Se consideran las siguientes relaciones en W: R1 = {(1, 1),
(2, 1)}, R2 = {(1, 1), (2, 3), (4, 1)}, R3 = {(3, 4)}, R4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} y R5
= {(1, 3), (2, 4)}. Determinar cuáles de ellas son reflexivas, simétricas,
antisimétricas o transitivas.
12. Sea D(40) el conjunto de los divisores naturales de 40. En dicho conjunto se
define la siguiente relación: aRb Û a divide a b. Probar que R es una relación
de orden. Sea A = {4, 20} Ì D(40) . Calcular, si existen, máximo, mínimo, cotas
superiores y cotas inferiores, así como supremo e ínfimo de A.
13. Se define en ¡ la siguiente relación binaria: xRy Û x - y Î ¤ . Demostrar que R es
de equivalencia. Calcular la clase de equivalencia de 0 y concluir que 0 no está
relacionado con p .
14. Dato un número entero k, definimos el conjunto k ¢ = {k × z : z Î ¢} , formado por
todos los múltiplos enteros de k. Fijado k, definimos la siguiente relación binaria
R sobre ¡ : xRy Û x - y Î k ¢ . Probar que se trata de una relación de
equivalencia en ¡ . Hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
15. Dado el subconjunto A = {0,1, 2,3, 4} de ¡ , probar que la relación binaria R1
definida por (a, b) R 1 (c, d ) Û ab = cd es de equivalencia en A ´ A , mientras que
la relación R2 definida por (a, b) R 1(c, d ) Û ad = bc , no lo es. Describir el
conjunto cociente para R1 .
16. Para cada una de las relaciones binarias siguientes, estudiar si se trata de una
relación de equivalencia y, en caso afirmativo, obtener una descripción del
conjunto cociente:
a) R definida sobre ¡ : aRb Û a 2 - 5a = b 2 - 5b
a2
b2
b) R definida sobre ¡ - {1} : aRb Û
=
a -1 b -1
c) R definida sobre ¡ : aRb Û ab ³ 0
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Relación 3
17. Dado el conjunto X = {1, 2,3, 4,5} y su subconjunto Y = {1, 2, 3} , consideremos
las relaciones de equivalencia siguientes definidas en P( X ) :
a) ARB Û A Ç Y = B Ç Y
b) ARB Û A È Y = B È Y
Describir el conjunto cociente para cada una de ellas.
18. Para cada una de las relaciones de equivalencia siguientes, definidas sobre ¡ 2 ,
dar una interpretación o representación geométrica del conjunto cociente:
a) (a, b) R(c, d ) Û a + b = c + d
b) (a, b) R(c, d ) Û a 2 + b 2 = c 2 + d 2
c) (a, b) R(c, d ) Û a + b = c + d
19. Sea X = {-4, -3, -2, -1, 0,1, 2,3, 4} . Para cada A Ì X , denotaremos por å A la
suma de todos los elementos de A. Convenimos que å Æ = 0 . Sea R la relación
de equivalencia definida en P( X ) por ARB Û å A = å B . Encontrar el cardinal
del conjunto cociente.
20. Se define en ¢ la relación de equivalencia xRy Û 9 x 2 - y 2 . Hallar el cardinal
de ¢
R
.
21. Consideremos la siguiente relación de equivalencia R definida en el conjunto
X = {0,1, 2, K ,98, 99,100} : aRb Û| a - 8 |=| b - 8 | . Hallar el cardinal del
conjunto cociente X
R
.
22. Sea R la relación binaria definida en ¢ 8 así: aRb Û $z Î ¢ 8 tal que a × x = b .
Entonces:
a) R es una relación de equivalencia cuyo conjunto cociente consta de dos
elementos.
b) R no es una relación de equivalencia al no verificarse la propiedad
transitiva.
c) R es una relación de equivalencia cuyo conjunto cociente consta de cuatro
elementos.
d) R no es una relación de equivalencia al no verificarse la propiedad
simétrica.
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