Una relación R de un conjunto A en un conjunto B es un

Una relación R de un conjunto A en un conjunto B es
un subconjunto R de A x B.
Sea R una relación de un conjunto A en un conjunto B. Se dice que
un elemento a de A está relacionado con un elemento b de B, y se
denota aRb, si el par (a,b) está en R.
Una relación en un conjunto A es un subconjunto R de A x A.
Sea A un conjunto y R una relación en A.
i) R tiene la propiedad reflexiva si y sólo si aRa para todo a en A
ii) R tiene la propiedad simétrica si y sólo si aRb implica que bRa,
para a, b en A.
iii) R tiene la propiedad antisimétrica si y sólo si aRb, bRa implica
que a = b, para a,b en A.
iv) R tiene la propiedad transitiva si y sólo si aRb, bRc implica que
aRc, para a, b, c en A.
Se dice que una relación R en un conjunto A es de equivalencia
si tiene las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Si R es una relación de equivalencia en A, la letra R se suele
sustituir por el símbolo ~ ; de este modo, si a, b en A están relacionados,
escribiremos a ~ b en lugar de aRb.
La clase de equivalencia de un elemento a en A es el subconjunto de A
formado por todos los elementos de A que están relacionados
con a, es decir, es el subconjunto de A definido por
[a] = { b є A ; b ~ a }
Se verifica que:
i) a є [a] para todo a en A.
ii) Dados a, b en A, [a] = [b] si y sólo si a ~ b.
iii) Dados a, b en A, [a] ≠ [b] si y sólo si [a] ∩ [b] = Ø.
Se define el conjunto cociente de A por la relación de equivalencia ~,
y se denota por A /~ como el conjunto cuyos elementos son
todas las clases de equivalencia determinadas por la relación
de equivalencia ~, es decir,
A/~ = { [a] ; a є A }
El conjunto cociente A/~ determina una partición del conjunto A pues
la unión de todos sus elementos, es decir, la unión de todas
las clases de equivalencia, es todo el conjunto A y cada par
de elementos distintos de A/~ son disjuntos.
Se dice que una relación R en un conjunto A es de orden
si tiene las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Si R es una relación de orden en A, la letra R se suele sustituir
por el símbolo ≤ de este modo, si a, b en A están relacionados,
escribiremos a ≤ b (que se leerá "a menor o igual que b") en lugar de aRb.
Una relación de orden ≤ en un conjunto A se dice de
orden total si dados dos elementos cualesquiera a, b en A, o bien es a menor
o igual que b o bien es b menor o igual que a.
En otro caso se dice que la relación es de orden parcial.
Sean A y B dos conjuntos. Una aplicación (o función)
definida sobre A a valores en B (abreviadamente, una aplicación de A en B)
es una relación de A en B para la cual cada elemento de A está relacionado
con un único elemento de B.
Una aplicación f de A en B se denotará por f: A→ B.
Sea f: A→ B una aplicación y sea a un elemento de A. Al único
elemento b tal que a está relacionado con b se le llama imagen de a por f
y se denota b = f(a).
Si f: A→ B es una aplicación, se dice que A es el dominio de f y
que B es el codominio de f.
Se define el grafo de f como el subconjunto del producto cartesiano A x B
dado por:
grafo(f) = { (a, f(a)) ; a є A }
Sean f: A→ B y g: B → C aplicaciones. Se define la
aplicación composición de f con g y se denota por g o f (f compuesta con
g) como la aplicación de A en C que a cada elemento a є A le asigna
(g o f )(a) = g(f(a)) є C.
Sea f: A→ B una aplicación.
i) Se dice que f es inyectiva si a elementos distintos de A le corresponden
imágenes distintas en B, es decir, si
x, y є A, x ≠ y, entonces f(x) ≠ f(y)
o bien si
x, y є A, f(x) = f(y), entonces x = y
ii) Se dice que f es sobreyectiva si todo elemento de B es imagen de algún
elemento de A, es decir, si
Para todo b є B existe a є A tal que f(a) = b
iii) Se dice que f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva, es
decir, si
Para todo b є B existe un único a є A tal que f(a) = b
Sean f: A→ B y g: B → A dos aplicaciones tales que g o f = idA.
Entonces f es inyectiva y g es sobreyectiva.
Sean f: A→ B y g: B → A dos aplicaciones tales que g o f = idA y
f o g = idB. Entonces f y g son biyectivas.
Sea ahora f: A→ B una aplicación biyectiva. Entonces, dado b є B,
existe un único a є A tal que f(a) = b. Podemos por tanto definir una
aplicación g: B → A del siguiente modo:
Dado b є B, g(b) se define como el único elemento a є A tal que f(a) = b.
Esta aplicación g así definida verifica que
g o f = idA y f o g = idB
y por tanto, es biyectiva.
A g se le llama aplicación inversa de la aplicación biyectiva f y
se denota g = f -1.
Sea f: A→ B una aplicación y sean X un subconjunto de A e
Y un subconjunto de B.
Se define el conjunto imagen de X por f como el subconjunto de B dado por:
f(X) = { f(x) ; x є X}
Se define el conjunto imagen recíproca de Y por f como el subconjunto
de A dado por f -1(Y ) = { a є A ; f(a) є Y }
Sean A y B dos conjuntos y sea ~ una relación de equivalencia en A.
Una aplicación f: A/~→ B se dice que está bien definida
si la definición de f no depende del representante elegido en cada clase de
equivalencia, es decir, si x, y є A, [x] = [y] , entonces f([x]) = f([y]).