Trazo de la gráfica de la función valor absoluto

Trazo de la gráfica de la función valor
absoluto
Sea f(x) = |x|
(a) Determinar si f es par o impar.
(b) Graficar f.
(c) Determinar los intervalos en los cuales f es creciente o
decreciente.
Solución
(a) El dominio de f es R, porque el valor absoluto de x existe para
todo número real x. Si x está en R, entonces
f(–x) = |-x| = |x| = f(x)
Así, f es función par, ya que f(–x) = f(x)
(b) Como f es par, su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Si
x ≥ 0, entonces |x| = x y, por tanto, la parte del primer cuadrante
de la gráfica coincide con la recta y = x. Al bosquejar esta mitad
de línea y aplicar la simetría, se obtiene la siguiente figura.
(c) Viendo la gráfica, apreciamos que f es decreciente en (–∞ , 0],
y es creciente en [0, ∞ ).
En el siguiente ejemplo intervienen valores absolutos
Trazar la gráfica de y = | x2 - 4|
Solución
Si se grafica y = x2 – 4 notaremos lo siguiente:
(a)
(1) Si x ≤ –2, o bien x ≥ 2, entonces x2 –4 ≥ 0 y, por lo tanto,
| x2 - 4| = x2 –4.
(2) Si –2 < x < 2, entonces x2 –4 < 0 y, por lo tanto,
| x2 - 4| = -(x2 –4).
Se deduce de (1) que las gráficas de y = | x2 - 4| y y = x2 –4
coinciden cuando |x| ≥ 2. De (2) se ve que si |x| < 2, entonces la
gráfica de
y = | x2 - 4| es la reflexión de la gráfica de y = x2 –4 en el eje x.
Con esto se obtiene la gráfica de la siguiente figura.
(b)
Trazo de la gráfica de la función
mayor entero
Si x es número real, se define el símbolo ||x|| como sigue:
||x|| = n, siendo n el entero mayor tal que n ≤ x
Si se identifica a R con los puntos de una recta numérica,
entonces n es el primer entero a la izquierda de x, o igual a x.
El símbolo ||x||, por ejemplo:
||0.5|| = 0
||1.8|| = 1
||-0.5|| = -1
||3|| = 3
||-3|| = –3
||-2.7|| = –3
La función mayor entero f se define mediante f(x) = ||x||
Graficar la función citada.
Solución
A continuación se da una lista de las coordenadas de algunos
puntos de la gráfica.
Valores de x
.
.
.
–2 ≤ x< –1
–1 ≤ x < 0
0≤x<1
1≤x<2
2≤x<3
f(x) = ||x||
.
.
.
–2
–1
0
1
2
Siempre que x está entre enteros sucesivos, la parte
correspondiente de la gráfica es una recta horizontal. Parte de la
gráfica aparece en la figura. Esta gráfica continúa
indefinidamente hacia la derecha y hacia la izquierda.
Trazo de la gráfica de una función
definida parte por parte
Trazar la gráfica de la función f si
Solución
Si x < 0, entonces f(x) = 2x +3, y la gráfica de f coincide con la
recta y = 2x + 3. Con esto se obtiene la parte de la gráfica que está
a la izquierda del eje y, que se ve en la Fig. 3.53. El círculo
pequeño indica que el punto (0, 3) no está en la gráfica.
Si 0 ≤ x < 2, se usa x2 para calcular valores de f y, por
consiguiente, esta parte de la gráfica de f coincide con la parábola
y = x2, como se ve en la figura. Nótese que el punto (2, 4) no
pertenece a la gráfica.
Finalmente, si x ≥ 2, los valores de f siempre son 1. Así, la gráfica
de f para x ≥ 2 es la media recta horizontal que se ve en la figura.