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MATEMÁTICAS II
EXAMEN FINAL - Curso 11/12 (1a parte)
{
}
1. Sean los conjuntos X ={ (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < }
1, x ̸= 0, y ̸= 0 ,
Y = X ∪ {(0, 0)} y C = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1 . Sobre estos conjuntos se puede afirmar que:
b) X es abierto, Y es cerrado y X = Y .
a) X es cerrado, Y es abierto y X ̸= Y .
c) X es abierto, Y es conexo y X = Y = C.
d) No es cierta ninguna de las restantes respuestas.
2. Sean X, Y y C los subconjuntos de R2 del problema anterior y f : C → R una función que satisface f (X) = ⌋⌉ −
1, 0⌊⌈∪⌋⌉0, 1⌊⌈, f (Y ) = ⌋⌉ − 1, 0⌊⌈∪⌋⌉0, 1⌋⌉ y f (C) = ⌊⌈−1, 1⌋⌉. Sobre la función f se puede afirmar que:
a) f es continua en C.
b) f puede ser continua en C.
c) f no puede ser continua en C.
d) No es cierta ninguna de
las otras tres respuestas
3. Sea la función f : R2 → R definida por

3
3

 2x + y
x2 + y 2
f (x, y) =

0
si (x, y) ̸= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
∂f
(0, 0), donde
Sobre la derivada direccional Du f (0, 0) =
∂u
u = (cos α, sen α), se puede afirmar que:
a) Du f (0, 0) = 2 cos α + sen α.
b) Du f (0, 0) = 2 cos3 α + sen3 α.
c) Du f (0, 0) = 2 cos2 α + sen2 α.
d) No es cierta ninguna de
las otras tres respuestas
4. Dada la función f : R2 → R definida por



f (x, y) =
x4
x3 + y 2

0
si y 2 ̸= −x3
si y 2 = −x3
puede afirmarse que:
a) f tiene lı́mite 0 en (0, 0), pues el lı́mite de f según cualquier recta que pasa por el origen es 0.
b) f tiene lı́mite 1 en (0, 0), pues el lı́mite de f según la curva y 2 = x4 − x3 es 1.
c) f no tiene lı́mite en (0, 0).
d) No es cierta ninguna de las otras tres respuestas.
(
)
5. Sea f : R2 → R2 la función (x, y) → f (x, y) = y + 13 exy , x + 3 exy . Considérese la función compuesta F = f ◦ f . La
diferencial de la función F en (0, 0) viene dada por la expresión:
[
][ ]
[
][ ]
[
]
[
]
1 − 91 e−1 − e−1
dx
1 + 19 e−1
− e−1
dx
a) dF (0, 0); ( dx, dy) =
.
b) dF (0, 0); ( dx, dy) =
.
−1
−1
−e
1 − 9 e dy
−e
1+9 e
dy
][ ]
[
[
]
e−1
dx
1 + 91 e−1
.
d) Ninguna de las restantes.
c) dF (0, 0); ( dx, dy) =
e−1
1 + 9 e dy
6. Sea F : R3 → R la función, (x, y, z) → F (x, y, z) = x ez + 2z 2 + (y − 1)2 . El teorema de la función implı́cita en un entorno
del punto (x0 , y0 , z0 ) = (1, 1, 1) permite concluir que:
a) La ecuación F (x, y, z) = (2 + e) define implı́citamente en un entorno del punto (x0 , y0 , z0 ) = (1, 1, 1) a las funciones y = y(x, z) y z = z(x, y).
b) La ecuación F (x, y, z) = (2 + e) define implı́citamente en un entorno del punto (x0 , y0 , z0 ) = (1, 1, 1) a la función
x = x(y, z) pero no a y = y(x, z).
c) La ecuación F (x, y, z) = (2 + e) define implı́citamente en un entorno del punto (x0 , y0 , z0 ) = (1, 1, 1) a las funciones x = x(y, z) y z = z(x, y).
d) Ninguna de las restantes respuestas es correcta.
EXAMEN FINAL - Curso 11/12 (2a parte)
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7. Considérese la ecuación F (x, y, z) = 1, donde F (x, y, z) es la función del ejercicio anterior. Esta ecuación define a
una función z = z(x, y) de clase C 2 en un entorno del punto (1, 1) con z(1, 1) = 0. El desarrollo de Taylor de segundo
orden cerca del punto (1, 1) viene dado por:
a)
z(x, y) = −∆x + 32 ∆x2 − ∆y 2 + o(||(∆x, ∆y)||2 )
b)
z(x, y) = −∆x − 23 ∆x2 − ∆y 2 + o(||(∆x, ∆y)||2 )
c)
z(x, y) = −∆x + 21 ∆x2 − 2∆y 2 + o(||(∆x, ∆y)||2 )
d) Ninguna de las restantes expresiones.
Nota: ∆x = (x − 1) y ∆y = (y − 1).
8. Sea la función f : R2 → R definida por f (x, y) = x3 + y 3 − 6xy + 1. Esta función tiene dos puntos crı́ticos, o estacionarios, de los que se puede afirmar que:
a) Uno es máximo relativo y el otro no es extremo.
b) Ambos son extremos relativos, uno máximo y otro mı́nimo.
c) Uno es mı́nimo relativo y el otro no es extremo.
d) Ninguno de los dos es extremo relativo.
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MATEMÁTICAS II
EXAMEN FINAL - Curso 11/12 (2a parte)
1. Al calcular, mediante el método de Lagrange, los extremos relativos de la función f (x, y) = x − y condicionados por
la ligadura ex + e−y = 2, se obtiene que:
a) (0, 0) es un punto de máximo relativo condicionado.
b) (0, 0) es un punto de mı́nimo relativo condicionado.
c) (0, 0) no es punto de extremo condicionado.
d) No se puede concluir si el punto (0, 0) es un punto de extremo condicionado.
2. La integral doble
∫∫
e−(x
I=
2
+y 2 )
dx dy
D
√ }
/
{
siendo D = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, x ≤ y ≤ 3 x vale:
)
)
π (
π
π (
a) I =
1 − e−1
b) I = ( e − 1)
c) I =
1 − e−2
24
24
24
d) I =
)
π ( 2
e −1
24
2
2
2
3. Sea C ⊂ R3 el recinto del
√ primer octante limitado por los planos y = x, x = 0 y z = 0, la esfera x + y + z = 4 y la
2
2
superficie del cono z = x + y . Considérese la integral triple
∫∫∫
I=
z 2 dx dy dz.
C
El valor de I es:
√
a) I = 2 2 (π − 2)/5
√
c) I = −2 2 (π − 1)/15
√
b) I = 2 2 π/15
d) Ninguna de las anteriores.
4. El plano tangente a la superficie 2z 2 + xyz − xy 2 − x3 = 2 en el punto (0, −2, 1) tiene por ecuación:
a) −3x + 2z = 2
b) z = 1
c) −3x + y + 4z = 1
d) 3x + y − 5z = −1
2
2
2
5. Sea la curva
√ 5 C definida por la intersección de las superficies x + y = z y x + z = 2. La curvatura de C en el punto
1
P (− 2 , 6 , 2 ) es:
√
√
a) 2 /8
b) 1/4
c) 1/2
d) 2 /16
Nota: Dada una parametrización (genérica) de clase C 2 de la curva, x(t), la curvatura en el punto x(t0 ), κ0 , está dada por:
κ0 =
∥x′ (t0 ) × x′′ (t0 )∥
∥x′ (t0 )∥3
6. Sea S la porción de cono x2 + y 2 = z 2 que está contenida en la región z ≥ 0, x2 + (y − 1)2 + z 2 ≤ 1. El área de la
superficie S es:
√
√
√
√
2 π/2
b) 2 2 π
c) 2 π/4
d) 2 π
a)
7. Sea F : R3 → R3 definido mediante F (x, y, z) = (−xz, yz + x, y 2 ). Sea S la superficie definida mediante
S = S1 ∪ S2 siendo
S1 = {(x, y, z) ∈ R3 / z = 1 − x2 − y 2 , z ≥ 0}
S2 = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 = 1 , −1 ≤ z ≤ 0},
∫∫
y orientada exteriormente. El flujo del rotacional del campo F sobre S, S ∇ ∧ F · dS, resulta:
a) 2π
b) π
c) 4π
d) π/2
8. Sea F : R3 → R3 definido mediante F (x, y, z) = (x, y, z) y sea S la porción del cono x2 + y 2 = (z − 2)2 situada entre
los planos z∫∫
= 0 y z = 1 y orientada de modo que la tercera componente del vector normal sea positiva. El flujo de
F sobre S, S F · dS, resulta:
a) 6π
b) 48π
c) 28π
d) 60π
EXAMEN EXTRAORDINARIO - Curso 11/12 (1a parte)
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EXAMEN EXTRAORDINARIO - Curso 11/12 (1a parte)
1. Sea el conjunto C definido mediante
{
}
/ x2
1
2
2
C = (x, y) ∈ R
+ y ̸= ∀n ∈ N
4
n
Sobre el conjunto C se puede afirmar que:
a) El conjunto es conexo por arcos.
b) El conjunto es cerrado.
c) El conjunto es abierto.
d) El conjunto no es ni abierto ni cerrado.
2. Se considera la función f : R2 → R definida mediante




 0
f (x, y) =



 2x + y
si
1
x2
+ y2 = , n ∈ N
4
n
si
x2
1
+ y 2 ̸= ∀n ∈ N
4
n
Acerca de la continuidad de f en (0, 0) se puede afirmar:
a) f no es continua en (0, 0) porque no existe ninguna sucesión (xm ) que converja a (0, 0) para la cual (f (xm ))
tenga lı́mite.
b) f no es continua en (0, 0) porque no existe el lı́mite según la recta y = x.
c) f es continua en (0, 0).
d) f presenta en (0, 0) una discontinuidad evitable.
3. Se considera la función f : R2 → R definida mediante
f (x, y) =




x2 y
x2 + y 2
si (x, y) ̸= (0, 0)



0
si (x, y) = (0, 0)
Acerca de la función f (x, y) en el punto (0, 0) se puede afirmar:
a) f no es diferenciable en (0, 0) porque no es continua en ese punto.
b) f no es diferenciable en (0, 0) aunque sı́ es continua en ese punto.
c) f es diferenciable en (0, 0) porque existen las derivadas parciales fx′ (0, 0) y fy′ (0, 0).
d) f es diferenciable en (0, 0) y la superficie z = f (x, y) tiene como plano tangente en el punto (0, 0) el plano z = 0.
4. Se considera la función f : C ∈ R2 → R definida mediante
ax2 + bxy + 2y 2
f (x, y) =
x2 − y 2
2
2
2
siendo a y b números reales y C = {(x, y) ∈ R / x ̸= y }. Acerca de la existencia de lı́mite de f en (0, 0) según los
valores de a y b se puede afirmar:
a) f tiene lı́mite en (0, 0) para a = 0 y cualquier valor de b.
b) f carece de lı́mite en (0, 0) para cualquier valor de a y b.
c) f tiene lı́mite en (0, 0) para b = 0 y cualquier valor de a.
d) Existen unos únicos valores de a y b para los que f tiene lı́mite en (0, 0).
5. Sea f : R2 → R la función definida mediante

4
3

 x − 2xy
si (x, y) ̸= (0, 0)
2
2
x + 2y
f (x, y) =

 0
si (x, y) = (0, 0)
( )
2
∂ f
∂ ∂f
Sobre las derivadas parciales segundas A = 2 y B =
en (0, 0) se puede afirmar que:
∂x
∂y ∂x
a) A = 2 y B = −1
b) A = 1 y B = −1
c) A = 2 y B = 1
d) No es cierta ninguna de
las otras tres respuestas
100
MATEMÁTICAS II
{
x2 + y 2 + u2 − v 2 = 1
. El teorema de la función implı́cita permite asegurar
x2 − y 2 − 2u2 + v 2 = 0
que en un entorno del punto (x, y, u, v) = (1, 0, 1, 1) el sistema anterior define a dos funciones u = u(x, y) y v = v(x, y),
ambas de clase C 2 . Sea S la suma de las derivadas primeras de u(x, y) y v(x, y) en (1, 0), S = u′x (1, 0) + u′y (1, 0) +
vx′ (1, 0) + vy′ (1, 0). El valor de S es:
6. Se considera el sistema de ecuaciones
a) 5
b) 1
c) −1
d) −5
7. Sean las funciones f : R2 → R2 y g : R2 → R2 definidas por las expresiones f (x, y) = ( ex+y , x(x + 2) − 2y 2 ) y g(u, v) =
(veu , u ev ). La diferencial primera de la función h = g ◦ f en el punto (x, y) = (0, 0) viene dada por:
[
]
[
]
2 e dx
e dx
a) dh(0, 0)( dx, dy) =
b) dh(0, 0)( dx, dy) =
3 dx + dy
3 dx + 2 dy
]
[
2 e dx
d) No es cierta ninguna de
c) dh(0, 0)( dx, dy) =
2 dx + dy
las otras tres respuestas
8. Sea h1 : R2 → R la primera componente de la función h = g ◦ f del problema anterior. Si el desarrollo de Taylor de
orden 2 centrado en (0, 0) se escribe como
h1 (x, y) = a + b1 x + b2 y + c1 x2 + c2 xy + c3 y 2 + o(∥(x, y)∥2 ),
la suma de los coeficientes S = a + b1 + b2 + c1 + c2 + c3 , vale:
a) S = 5 e.
b) S = 7 e.
c) S = 6 e.
d) S = 2 e.
EXAMEN EXTRAORDINARIO - Curso 11/12 (2a parte)
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EXAMEN EXTRAORDINARIO - Curso 11/12 (2a parte)
1. Sea f : R3 → R una función definida por
f (x, y, z) = −x2 − y 2 − αxy + (α + 2)z, α ∈ R.
Considérese
el problema de la determinación de los extremos relativos de la función f sobre el conjunto A =
{
(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 = 3, x < 0, y < 0, z < 0}. Si α = −3 sobre dichos extremos relativos condicionados se puede
afirmar que,
a) f tiene sobre A un máximo y un mı́nimo relativos.
b) f tiene sobre A dos mı́nimos relativos.
c) f tiene sobre A un único extremo que es máximo.
d) f tiene sobre A un único extremo que es mı́nimo.
2. Considérese la función del problema anterior para α = 0 y definida en el conjunto C = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 =
3, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0}. Acerca del punto P = (−1, −1, −1) se puede afirmar que:
a) El punto P es un mı́nimo absoluto de f sobre C.
b) El punto P es un mı́nimo relativo pero no absoluto de f sobre C.
c) El punto P es un máximo absoluto de f sobre C.
d) El punto P es un máximo relativo pero no absoluto de f sobre C.
{
}
3. Sea C ⊂ R2 el conjunto C = (x, y) ∈ R2 , x ≥ 0, y ≥ 0, 3 ≤ xy ≤ 4, x ≤ y ≤ 4x . Al calcular el valor de la integral
∫∫
x
(1 + xy) dx dy
y
C
se obtiene:
5
7
5
27
a)
b)
c)
d)
6
8
24
16
4. El volumen V del sólido limitado por el plano z = 0, el paraboloide z = 4x2 + y 2 y los cilindros parabólicos y = x2 y
x = y 2 es:
3
3
9
12
a)
b)
c)
d)
7
5
35
35
5. Sea S la superficie de revolución engendrada por la curva definida explı́citamente por las ecuaciones: z = 6 sen x,
y(= 0, con x ∈ [0, π],)al girar alrededor del eje OZ. El vector normal unitario de dicha superficie en el punto
√
√
2π
2π √
,
, 3 3 es
6
6
(√
(
√
√ )
√ )
10
10
2 5
1 1
2
a) ±
,
,−
b) ±
, ,−
10
10
5
2 2
2
(√
( √
√
√ )
√
√ )
10
10
5
3 5 3 5
10
c) ±
,
,−
d) ±
,
,−
5
5
5
10
10
10
6. Sea C la curva dada por la intersección del plano z = 2x con el paraboloide z = x2 + y 2 . Calcular la curvatura en un
punto genérico de C. Los valores máximo y mı́nimo de la curvatura
√ son:
√
1
2 10
1
b) κmáx =
, κmı́n =
a) κmáx = 5 , κmı́n =
5
3
15
√
√
2
1
d) κmáx = 2 5 , κmı́n = √
c) κmáx = 10 , κmı́n =
15
5 5
Nota: Dada una parametrización (genérica) de clase C 2 de la curva, x(t), la curvatura en el punto x(t), κ, está dada por:
κ=
∥x′ (t) × x′′ (t)∥
∥x′ (t)∥3
3
7. Sea el campo vectorial F : R3 →
mediante F (x, y, z) = (2x − y, y + 2x, −3z). El flujo de F a través de
/ R2 definido
3
2
4
la superficie S = {(x, y, z) ∈ R x + y = z , 1 ≤ z ≤ 2}, orientada de modo que la tercera componente del vector
normal sea positiva, vale:
a) −62π
b) −30π
c) −93π
d) −45π
102
MATEMÁTICAS II
2
8. Sea el campo vectorial
R2 definido mediante F}(x, y) = (y{2 , 2xy + 1)./Sea C la curva abierta}de R2 , C =
{ F :R →
/
C1 ∪ C2 , donde C1 = (x, y) ∈ R2 (x + 1)2 + y 2 = 1, y ≥ 0 y C2 = (x, y) ∈ R2 y = sen2 (πx), 0 ≤ x ≤ 2 , recorridas
ambas en sentido creciente de x. Acerca de dicho campo F y de la circulación de éste a lo largo de C, se puede
afirmar que:
∫
a) F (x, y) es conservativo en R2 y
F · dr = 4.
C∫
b) F (x, y) no es conservativo en R2 y
F · dr = 2.
∫ C
c) F (x, y) es conservativo en R2 y
F · dr = 0.
∫C
F · dr = −4.
d) F (x, y) es conservativo en R2 y
C
EXAMEN FINAL - Curso 12/13 (1a parte)
103
EXAMEN FINAL - Curso 12/13 (1a parte)
{
/
}
1. Sea el conjunto T = (x, y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x .
Sea el conjunto A = ∪ An , donde
n∈N
}
{
/ 2
1
2
2
An = (x, y) ∈ R x − y = 2 ∩ T
n
Sobre los conjuntos A y C = T − A, se puede afirmar que:
(n = 1, 2, . . . ).
a) A es cerrado y C = T
b) A no es abierto ni cerrado y C = T .
c) No es cierta ninguna de las otras tres respuestas.
◦
d) A es cerrado y C = C.
/
2. Sea B(0, 0) = {(x, y) ∈ R2 x2 + y 2 ≤ 1} y sea
( la función
) f : B(0, 0) → R definida por:
y + y2
f (x, y) = exp
, si (x, y) ̸= (0, 0);
f (0, 0) = 1.
x2 + y 2
Sobre la función f se puede afirmar que:
a) Es continua en (0, 0) pero no está acotada en B(0, 0).
b) No es continua en (0, 0) pero está acotada en B(0, 0).
c) No es cierta ninguna de las otras tres respuestas.
d) No es continua en (0, 0) y no está acotada superiormente en B(0, 0).
3. Sea la función f : R2 → R definida por
f (x, y) =
y3 x
x4 + y 2
si (x, y) ̸= (0, 0);
2
2
∂x
∂x
f (0, 0) = 0.
Respecto de las derivadas parciales segundas ∂ f2 (0, 0) y ∂ f2 (1, 1) se puede afirmar que:
a)
2
∂2f
(0, 0) = 0 y ∂ f2 (1, 1) = −1
2
∂x
∂x
b)
2
∂2f
(0, 0) no existe y ∂ f2 (1, 1) = −1
2
∂x
∂x
c)
2
∂2f
(0, 0) = 0 y ∂ f2 (1, 1) = 1
2
∂x
∂x
d)
2
∂2f
(0, 0) no existe y ∂ f2 (1, 1) = 1
2
∂x
∂x
4. Sea f : R3 → R una función diferenciable y sean u, v, y w los vectores u = (0, 1, 1), v = (1, 1, 0) y w = (1, 0, 1). Se sabe
que en el punto x0 = (0, 0, 0) se verifica:
∂f
∂f
∂f
(x0 ) = 1,
(x0 ) = 2,
(x0 ) = −1.
∂u
∂v
∂w
Entonces la suma de las componentes del vector gradiente de f en el punto x0 = (0, 0, 0) es:
a) 2
b) 3
c) 1
d) −1
5. Sea g: R3 → R una función de clase C 1 de la que se sabe que ∇g(1, 1, 0) = (2, 1, −3). Sea f : D → R3 la función definida
mediante
(
)
x
f (x, y) = xy, , x − y ,
y
siendo D ⊂ R2 el conjunto más amplio en el que f está definida.
La diferencial de la función G ≡ g ◦ f en el punto (1, 1) es:
a) dG(1, 1) = 4 dy
b) dG(1, 1) = dx + 4 dy
c) dG(1, 1) = dx − 4 dy
d) dG(1, 1) = −4 dy
6. Sea f : R2 → R la función definida mediante
2
f (x, y) =
e2x+y + sen(x2 + y)
.
1 + 3x2 + 2y 2
104
MATEMÁTICAS II
Al calcular su desarrollo de Taylor de orden 3 centrado en (0, 0) se obtiene que los términos de orden 3 son:
a)
− 14 x3 − 3x2 y − 2xy 2 − 13 y 3
b)
3
6
17 3
16
c) − x − 6x2 y − xy 2 − y 3
6
3
7. Sea S el sistema de ecuaciones
d)
{
− 11 x3 + 4x2 y − 2xy 2 + 22 y 3
6
3
8 3
19
− x + 2x2 y − 4xy 2 + y 3
3
6
xy − 2u + 2v = 1
2xu + 3yv − 6u + 3v = 2.
La aplicación del teorema de la función implı́cita a S en un entorno del punto (x, y, u, v) = (1, 1, 1, 1) permite afirmar
que:
a) S define a (x, u) como funciones de (y, v) tales que x(1, 1) = 1, u(1, 1) = 1 y además du(1, 1) = 1 dy.
2
b) S define a (x, u) como funciones de (y, v) tales que x(1, 1) = 1, u(1, 1) = 1 y además du(1, 1) = 1 dv.
2
c) S define a (y, u) como funciones de (x, v) tales que y(1, 1) = 1, u(1, 1) = 1 y además du(1, 1) = 1 dx.
2
d) S define a (y, u) como funciones de (x, v) tales que y(1, 1) = 1, u(1, 1) = 1 y además du(1, 1) = 1 dv.
2
8. Se considera la función f : R → R definida mediante x 7→ y = f (x) = x( ex − 3 sen x) + (x − 1)2 que es localmente invertible en un entorno de x = 0. Al calcular el polinomio de Taylor de grado 2 de la inversa local x = f −1 (y) en un
entorno de y = 1 se obtiene:
a) −(y − 1) − 2(y − 1)2
b) −(y − 1) + (y − 1)2
c) −(y − 1) + 2(y − 1)2
d) −(y − 1) − (y − 1)2
EXAMEN FINAL - Curso 12/13 (2a parte)
105
EXAMEN FINAL - Curso 12/13 (2a parte)
1. Sea f : R2 → R la función definida mediante
1
f (x, y) = 4x3 − 3xy 4 − y 7 .
7
Respecto de sus extremos relativos se verifica que:
a)
b)
c)
d)
Tiene
Tiene
Tiene
Tiene
un
un
un
un
máximo en (0, 0) y un mı́nimo en (x0 , y0 ) con x0 > 0 e y0 < 0.
mı́nimo en (0, 0) y un máximo en (x0 , y0 ) con x0 < 0 e y0 < 0.
máximo en (x0 , y0 ) con x0 < 0 e y0 < 0 y un mı́nimo en (x1 , y1 ) con x1 > 0 e y1 > 0.
máximo en (x0 , y0 ) con x0 < 0 e y0 > 0 y un mı́nimo en (x1 , y1 ) con x1 > 0 e y1 < 0.
2. Sea f : R3 → R la función definida mediante f (x, y, z) = 2x + 3y.
Al estudiar los extremos relativos de f condicionados por la ligadura φ(x, y, z) ≡ xy + yz + xz + 4 = 0 se encuentra
que:
¯
a) Existe un punto (x0 , y0 , z0 ) con x0 > 0 e y0 < 0 que es punto crı́tico de la función de Lagrange y en el que f ¯
φ=0
tiene un máximo relativo.
¯
b) Existe un punto (x0 , y0 , z0 ) con x0 > 0 e y0 > 0 que es punto crı́tico de la función de Lagrange y en el que f ¯φ=0
tiene un mı́nimo relativo.
¯
c) Existe un punto (x0 , y0 , z0 ) con x0 > 0 e y0 < 0 que es punto crı́tico de la función de Lagrange y en el que f ¯φ=0
no tiene extremo relativo.
¯
d) Existe un punto (x0 , y0 , z0 ) con x0 < 0 e y0 < 0 que es punto crı́tico de la función de Lagrange y en el que f ¯φ=0
no tiene extremo relativo.
∫
3. El valor de la integral J = máx{x, y} dx dy, siendo I = ⌊−1,
⌈
1⌋⌉ × ⌊0,
⌈ 2⌋⌉ es:
I
b) J = 25
a) J = 25
3
19
c) J =
3
6
19
d) J =
6
4. El volumen V del sólido limitado inferiormente por el paraboloide S1 : z = 4x2 + 3y 2 y superiormente por el cilindro
parábolico S2 : z = 2 − y 2 es:
a) V = 2π
b) V = 3π
3
π
c) V =
2
2
d) V = π
2
2
2
5. Sea C la curva determinada por la intersección
( √ de las)superficies S1 : x + y = 1 − z y S2 : z = y . El vector normal
2 1 1
del triedro intrı́nseco de C en el punto P ≡
, ,
es:
( √
)
a) n = √1
3 2 , −5, −1
2 11
2
2 4
b) n = √1
( √
)
−3 2 , −5, −1
d) n = √1
( √
)
−3 2 , 5, −1
2 11
( √
)
c) n = √1
3 2 , 5, −1
2 11
2 11
6. El área de la porción de la esfera de centro el origen y radio 2 que es exterior al cilindro S: x2 + y 2 = 1 vale:
√
√ )
(
a) 8 3 π
b) 8 2 − 3 π
c) 8π
d) 64π
7. Sea S la porción acotada de la superficie z = y 2 − x2 que está delimitada por los planos x = y, x = −y e y = 1, orientada
de tal modo que la tercera componente del vector normal sea no negativa.
Sea F : R3 7→ R3 el campo definido mediante:
(
)
F (x, y, z) = z(1 − y 2 ), x(1 + y 2 ), xyz
∫
El valor del flujo del rotacional de F sobre S,
∇ ∧ F · dS, resulta:
Sugerencia: emplear el teorema de Stokes.
a) 301
30
61
c)
30
S
b) 61
15
d) 301
15
106
MATEMÁTICAS II
8. Sea S la porción de la superficie de revolución x2 + y 2 = (1 + z 2 )2 que se encuentra en la región x ≥ 0,
0 ≤ z ≤ 1, orientada de modo que la tercera componente del vector normal sea no negativa.
Sea F : R3 7→ R3 el campo definido mediante:
(
)
F (x, y, z) = x(x2 + y 2 ) + xez , y(x2 + y 2 ) − yez , −4z(x2 + y 2 )
∫
El valor del flujo de F sobre S,
F · dS, resulta:
S
Sugerencia: emplear el teorema de Gauss.
√
a) −9 2 π
√
c) −81 2 π
b) −32π
d) −16π
EXAMEN EXTRAORDINARIO - Curso 12/13 (1a parte)
107
EXAMEN EXTRAORDINARIO - Curso 12/13 (1a parte)
{(
)/
}
1
1. Sean los conjuntos de R2 , C1 =
, t n ∈ Z − {0}, t ∈ R, −1 ≤ t ≤ 1 ,
n{
{
/
}
/
}
C2 = (t, 1) t ∈ R, −1 ≤ t < 0 , C3 = (t, −1) t ∈ R, 0 < t ≤ 1 y C4 = {(0, 0)}.
Sea A = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4 . Se verifica que:
a) Fr(A) es conexo por arcos.
b) (0, 0) es un punto interior del conjunto A.
c) A contiene a todos sus puntos frontera.
d) A − Fr(A) = A.
2. Sea la función f : R2 → R definida mediante

2

 2xy
2
f (x, y) = x + y 2

 0
(x, y) ̸= (0, 0)
(x, y) = (0, 0).
Acerca de su derivabilidad y diferenciabilidad en el origen se puede afirmar que:
a)
b)
c)
d)
En el origen existen las derivadas parciales fx (0, 0) y fy (0, 0) pero la función no es diferenciable.
Las derivadas parciales son continuas en el origen y por tanto f es diferenciable.
fx no es continua en el origen pero f es diferenciable.
No existen las derivadas parciales en el origen y por tanto f no es diferenciable en (0, 0).
3. Sea la función f : R2 → R definida mediante: 
 x2 sen y + x2 − y + 3 si x ̸= 0
x
f (x, y) =
 −y +3
si x = 0.
( )
( )
Sobre las derivadas parciales segundas ∂ ∂f (0, 3) y ∂ ∂f (0, 3) se puede afirmar que:
∂y ∂x( )
∂x ∂y
( )
∂f
∂ ∂f
∂
(0, 3) pero no existe
(0, 3).
a) Existe
∂x ∂y
∂y ∂x
(
)
( )
b) Existe ∂ ∂f (0, 3) pero no existe ∂ ∂f (0, 3).
∂y
∂x
∂x
∂y
c) Ambas derivadas existen y sus valores son iguales.
d) Ambas derivadas existen y sus valores son distintos.
2
4. Sean f : R2 → R y g: R2 → R las funciones definidas mediante f (x, y) = sen2 (x + y) − 2xy y g(x, y) = ex
+y 2
. El desa-
f (x, y)
rrollo de Maclaurin de orden 3 de la función
es:
g(x, y)
a) x2 + 4y 2 + o(∥(x, y)|∥3 )
b) x2 + y 2 + o(∥(x, y)|∥3 )
c) x2 − y 2 + xy 2 − yx2 + o(∥(x, y)|∥3 )
d) x2 − 4y 2 + xy 2 + o(∥(x, y)|∥3 )
5. Sea f : R2 → R una función de clase C ∞ cuyo desarrollo limitado de orden 2 en (1, 0) es
5
(∆x = x − 1, ∆y = y)
f (x, y) = 2 − ∆x + 3∆y + ∆x2 + 2∆x∆y − 3∆y 2 + · · ·
2
(
)
Sea g: R → R2 la función g(t) = u(t), v(t) = ( e−t , t2 e(−t ).
)
Considérese la función compuesta φ(t) = (f ◦ g)(t) = f u(t), v(t) . Calcular el desarrollo limitado de orden 2 de φ(t)
en t = 0. Si este desarrollo se escribe como φ(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + · · · se verifica que:
a) a0 + a1 + a2 = 8
b) a0 + a1 + a2 = 2
c) a0 + a1 + a2 = −6
d) a0 + a1 + a2 = −2
2
6. Sea f : R×]0, +∞[→ R, (x, y) 7→ f (x, y), una función de clase C ∞ que satisface la ecuación ∂f = 6 ∂ f2 . Se definen
x
unas nuevas variables (u, v) mediante las expresiones u(x, y) = √
∂y
∂x
y v(x, y) = y .
2 y
5
(
)
Sea g(u, v) la función f expresada en las nuevas variables, es decir g u(x, y), v(x, y) = f (x, y). Al calcular las
derivadas fy y fxx en función de las derivadas de g respecto de (u, v), la ecuación anterior se transforma en:
a) 2vgv = ugu + 3guu
c) 2vgv = ugu + 3 guu
2
b) vgv = 1 ugu + guu
2
d) vgv = 1 ugu + 1 guu
2
3
108
MATEMÁTICAS II
2
2
7. Sea la función f : [−1, 1] × [0, 4] → R definida por f (x, y) = xy + x y − xy. Sobre los extremos de f en el conjunto
2
2
compacto en que está definida, se puede afirmar que:
a) f tiene un máximo relativo en el interior y un mı́nimo absoluto en la frontera.
b) f tiene un mı́nimo relativo en el interior y un máximo absoluto en la frontera.
c) No es cierta ninguna de las otras tres respuestas.
d) No hay extremos relativos en el interior y los extremos absolutos se alcanzan en la frontera.
8. Sea f : R3 → R la función definida mediante f (x, y, z) = xy + z. Sobre los extremos relativos de f condicionados por
la ligadura x + yz = 1 se puede afirmar que:
a) Hay dos extremos relativos condicionados, uno es máximo y otro mı́nimo.
b) Hay dos puntos crı́ticos de la función de Lagrange y ninguno es extremo condicionado.
c) Hay un sólo extremo condicionado, que es un mı́nimo.
d) Hay un sólo extremo condicionado, que es un máximo.
EXAMEN EXTRAORDINARIO - Curso 12/13 (1a parte)
109
EXAMEN EXTRAORDINARIO - Curso 12/13 (2a parte)
1. Sea C la región definida mediante
}
{
/
x2
2
2
3
+y ≤1+z .
C = (x, y, z) ∈ R 0 ≤ z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0,
4
∫
El valor de la integral
xy dx dy dz resulta:
C
a) 14
15
28
c)
15
7
15
d) 21
5
b)
2. Sea C la región del plano definida mediante
{
}
/
1
1
C = (x, y) ∈ R2 x2 ≤ y ≤ 2x2 , y 2 ≤ x ≤ y 2 .
4
2
( )
∫
1
1
El valor de la integral
exp
dx dy resulta:
xy x4 y
C
4
2
√
a) e − e + e
b) e − e + 2 e1/4
c)
6
2
3
√
e
e
e2
− +
6
2
3
3
3
√
d) 2 e − 2 e + 4 e1/4
3
3
Sugerencia: emplear el cambio de variable u =
3. Sea la integral paramétrica
x
y
, v= 2
x2
y
∫
π
+t2
4
I(t) =
cos5 (y − 2t) dy
t ∈ [−5, 5]
t2
El valor de la derivada I ′ (t) en t = 2 es:
√
(
)
a) 2 − 2 /4
√
c) −2 2
)
2 /4 − 2
√
d) 2 2
b)
(√
4. Determinar los valores de α ∈ R para los que la integral
∫ √2
2
I=
(x + 2)1+α−α dx
−2
es convergente. Se verifica que:
a) I es convergente si y sólo si −1 < α < 2
√
c) I es convergente si y sólo si −1 < α < 2
b) I es convergente si y sólo si −2 < α < 1
√
d) I es convergente si y sólo si − 2 < α < 1
5. Considérense las superficies S1 : (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 1 y S2 : exy/2 + x2 − 2z 2 = −3. En el entorno del punto
(2, 0, 2) se puede afirmar que:
a) S1 y S2 son tangentes en el punto (2, 0, 2).
(
)
b) La curva C: S1 ∩ S2 admite una parametrización de la forma γ(x) = x, y(x), z(x) y su vector tangente en
dicho punto es t = √1 (2, 0, 1).
5
c) La curva C: S1 ∩ S2 no es una curva simple porque el punto (2, 0, 2) no es ordinario.
(
)
d) La curva C: S1 ∩ S2 admite una parametrización de la forma γ(x) = x, y(x), z(x) y su vector tangente en
dicho punto es t = √1 (1, 0, 2).
5
6. Sea C la curva situada en el semiplano Π: z = 0, x ≥ 0 y definida por sus ecuaciones paramétricas x(u) = (u, y(u), 0),
donde y(u) = 1 + √1 u − u2 . Sea S la superficie de revolución que se genera al girar C en torno al eje y. Respecto de
2
S se puede afirmar que:
a) S admite una parametrización de la forma x(u, θ) = (u cos θ, y(u), u sen θ) y su plano tangente en el punto
x0 = (1, 0, 1) viene dado por la ecuación 3x + 2y + 3z = 6.
b) S admite
(√ una)parametrización de la forma x(u, θ) = (u, y(u) cos θ, y(u) sen θ) y su plano tangente en el punto
x0 = 2 , 0, 0 es el plano coordenado x = 0.
c) S admite una parametrización de la forma x(x, θ) = (u cos θ, y(u), u sen θ) y su plano tangente en el punto
x0 = (1, 0, 1) viene dado por la ecuación −3x − 2y + 3z = 6.
110
MATEMÁTICAS II
(
)
d) S admite
una
parametrización
de
la
forma
x(u,
θ)
=
y(u)
cos
θ,
y(u)
sen
θ,
u
y su plano tangente en el punto
√ )
(
x0 = 0, 0, 2 es el plano coordenado z = 0.
(
)
7. Sea S la superficie definida por la porción del helicoide x(r, t) = 3r cos t, 4r sen t, t situada en el primer octante,
2
2
interior al cilindro x + y = 1 con 0 ≤ z ≤ π/2 y orientada de tal modo que la tercera componente del vector normal
9
16
sea no negativa.
Sea F : R3 → R3 el campo vectorial definido mediante F (x, y, z) = (yz 2 , −xz 2 , −xy). El flujo del rotacional de F a
través (de S es:)
(
)
a) −
(
c) −
π3
+6
2
π3
+3
4
b) −
)
(
d) −
2
π3
+4
3
π3
+2
6
2
)
8. Sea S la porción de la superficie cilı́ndrica x + y = 1 situada en el primer octante, delimitada por los planos
2
3
√
√
√
√
3 x + 2 z = 6 , z = 3 , y orientada de tal modo que la primera componente del vector normal sea no negativa.
Sea F : R3 → R3 el campo vectorial definido mediante:
(
)
(
(
√
√ )
√
√ ) √
√ )
y 2 (√
F=
2 xy z − 3 , y +
3 x − 2 z + 6 , − 3 xy z − 3
2
∫
El valor del flujo de F a través de S,
F · dS, resulta:
a)
√
S
2
√
c) 4 3
3
√
b) 2 3
3
√
d) 4 2
3