PRÁCTICA 1

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO
ÁREA DE TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
COORDINACIÓN DE LABORATORIOS DE FÍSICA
PRÁCTICA Nº 1
Análisis y Representación Gráfica
Punto Fijo; Mayo de 2008
PRÁCTICA Nº 1
ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Las gráficas se utilizan para estudiar y comprender el mecanismo de un fenómeno observado, a
la vez por medio del análisis de ellas se puede obtener información sobre observaciones
experimentales.
La finalidad de esta práctica es estudiar el empleo de las gráficas para la obtención de las
relaciones funcionales entre dos magnitudes físicas.
OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA
a)
Representar gráficamente en papel milimetrado, semilogarítmico y bilogarítmico una
función a partir de una tabla de valores dada.
b)
Identificar el tipo de función y la relación de proporcionalidad existente entre las variables.
c)
Construir la ecuación de la función graficada relacionando las variables.
d)
Analizar el comportamiento de la función graficada e interpretar la relación existente entre
las variables graficadas.
MATERIALES
Para la experiencia práctica cada grupo de estudiantes debe traer:
3 hojas de papel milimetrado, como mínimo; dos hojas de papel semilogarítmico y dos de
bilogarítmico
Regla graduada o juego de escuadras
Plantilla de curvas
CONOCIMIENTOS PREVIOS
¿Qué es Interpolación?
¿Qué es Extrapolación?
¿Qué es Linealizar?
Propiedades de los logaritmos
MARCO TEÓRICO
TABULACIÓN
La física por ser unas de las ramas de las ciencias naturales es experimental y cuantitativa, es
decir, en el trabajo del laboratorio se tendrá la necesidad de medir magnitudes físicas
disponiendo así de datos experimentales. Es una norma elemental que dichos datos, deben ser
presentados en forma clara y ordenada, y la mejor forma de lograr esto es ubicar los datos en
tablas, de modo que en ellas se destinen diferentes columnas a cada conjunto de datos.
La realización de tablas de valores no se limita necesariamente a los datos que se recogen
directamente en el trabajo experimental, sino que puede extenderse a los resultados de
efectuar operaciones con dichos datos. Además, pueden disponerse de columnas para colocar
en ellas el error siempre que éste sea diferente en cada medición.
Para mayor información, las tablas de datos deben poseer un título y deben aparecer las
magnitudes con sus unidades de medición. Como ejemplo se presenta la siguiente tabla de
valores de un experimento en el cual se midió la extensión de un alambre de cobre como
función de una masa m suspendida de él.
Tabla Nº 1. Extensión de un alambre de cobre.
Masa, m (Kg.)
Extensión, e (mm)
5.0
0.2
10.0
0.5
15.0
0.8
20.0
1.0
22.5
1.5
25.0
1.3
27.5
1.4
30.0
1.5
32.5
1.7
35.0
1.8
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Una vez tabulados los datos así como los valores de las magnitudes calculadas, es conveniente
representar los resultados en un gráfico. La representación gráfica viene a ser lo más
representativo del fenómeno que se está estudiando y en su interpretación se reflejará el
comportamiento límite del fenómeno bajo las condiciones en que se realizó y además algunas
informaciones matemáticas como por ejemplo la función matemática que mejor lo represente.
Además, la representación gráfica permite obtener valores que aún no han sido obtenidos
experimentalmente, es decir, valores entre puntos. Dicho proceso se llama interpolación. El
proceso para obtener valores fuera del intervalo experimental recibe el nombre de
extrapolación.
REGLAS PARA GRAFICAR
El gráfico debe llevar un título breve que lo identifique con el experimento realizado o con el
problema propuesto, el cual debe colocarse en la parte superior central del gráfico
Los ejes deben llevar claramente las magnitudes que en ellos se representan y las
unidades correspondientes.
Elegir las unidades en los ejes coordenados de modo que permitan leer e interpretar con
facilidad.
Es conveniente en general, que el origen aparezca en el gráfico. No obstante, las escalas
pueden reemplazarse cuando los datos experimentales están en un intervalo que así lo
requiere.
Debe usarse el eje de la abscisa para la variable independiente (aquella que es controlada
por el experimentador) y el eje de la ordenada para la variable dependiente. Por ejemplo, si
medimos la longitud de una barra metálica al variar la temperatura, se busca a la función
l  f (T ) entonces es conveniente usar el eje x para T y el eje y para l.
La escala de los ejes debe seleccionarse correctamente de modo que permita representar
con facilidad los datos. Las escalas milimétricas deben escogerse de tal forma que un
cuadro sea igual a 1, 2, 5, 10 unidades (ocasionalmente 4), evite utilizar 3, 7, 9 etc. No
marque cada cuadro señale cada 2, 4 ó 5 cuadros.
Si los valores que se representan en las escalas son muy pequeños o muy grandes, debe
usarse un factor multiplicativo que permita utilizar un máximo de los dígitos para indicar el
valor de las divisiones principales de la misma, por ejemplo factores como: 102, 105, 10-3,106
, etc.
Los valores experimentales no deben ser graficados como un punto sino que hay que
representar "el error con el cual se obtuvo dicho valor". Para ello se usan cruces,
cuadrados, círculos, rectángulos, entre otros, centrados en el valor.
Al trazar más de una curva con las mismas abscisas, hay que diferenciar entre si, usando
diferentes símbolos, por ejemplo x, +, *, o tintas de diferentes colores.
La recta o curva que representa la función que siguen los puntos, debe trazarse de modo
que sea lo más representativa posible del fenómeno.
En el caso de que la curva represente una línea recta, el cálculo de la pendiente debe
realizarse con los puntos que estén sobre la recta y no con los puntos experimentales.
ANÁLISIS GRÁFICO
En el análisis de un problema físico se puede partir de la teoría que predice una cierta ley física
la cual se expresa con una ecuación cuya forma matemática guiará el análisis del gráfico. Es
decir, graficando los valores experimentales se tendrá una curva uniforme que muestra la
tendencia de los puntos. Enseguida se compara la forma de la curva obtenida, con aquello
predicho teóricamente. Si concuerdan, ello corresponde a una comprobación experimental de la
ley física considerada. La función matemática más simple es la línea recta y es por ello que
tiene gran importancia en el análisis de datos experimentales. Por lo tanto es útil linealizar la
curva cuando ésta no sea una recta.
IMPORTANCIA DE LA LÍNEA RECTA
De una curva es muy difícil deducir cuál es la ecuación que podría representar mejor los
resultados.
Es fácil extrapolar más allá de un rango de valores medidos. Sólo se necesita una regla
graduada.
Determinando la pendiente y la intersección con el eje y, se puede deducir valores
numéricos de constantes que obteniéndolos de curvas, resulta muy difícil.
ERRORES EN LOS GRÁFICOS
En cualquier experimento científico cuantitativo es esencial indicar los posibles errores, en
cualquier cantidad medida. Una vez que un error ha sido estimado debe representarse en el
gráfico. Por ejemplo, si las extensiones medidas en el alambre (tabla 1) son aproximadas por
 0.5mm , entonces las primeras dos medidas pueden representarse gráficamente por barras
como se muestra en la figura l. Las barras de errores se extienden por encima y por debajo de
los puntos medidos los cuales son indicados por puntos encerrados en círculos. Supóngase
además que las masas fueron medidas con un error  0.5Kg . Esta incertidumbre puede
representarse por barras horizontales que se extienden 0,5 Kg. en ambos lados de las masas
dadas (ver figura 1). Generalmente, ambos errores, horizontal y vertical, deben ser mostrados
pero pueden ser omitidos si el error asociado a la medida es muy pequeño.
FIGURA 1
FIGURA 2
En la Figura 1 la barra de errores verticales indica que la extensión es conocida ±0,05 mm. La
ausencia de barras horizontales indica que la masa es conocida muy aproximadamente en la
primera figura. Las barras horizontales en la Figura 2 indica un error de ±0,5 Kg.
TIPOS DE FUNCIONES
Cuando las magnitudes están relacionadas, decimos que una es función de la otra. Existen
diversas maneras en las cuales se relacionan las magnitudes físicas, es decir existen varios
tipos de funciones que relacionan las magnitudes.
La función matemática más simple es la línea recta y es por ello que tiene gran importancia en
el análisis de datos experimentales. A continuación se presentan tres ejemplos cuyos gráficos
en determinadas escalas permiten obtener relaciones lineales.
A) FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal es una ecuación matemática que representa una línea recta y tiene la forma:
y = mx + b
Donde m y b son números reales.
La x es la variable independiente, y es la variable
dependiente, m es la pendiente de la recta y b es la ordenada de origen. El valor de m
corresponde a:

La pendiente física o real (Ver Figura 4), que se obtiene mediante la relación:
m
y
x

La pendiente geométrica (Ver Figura 4), corresponde al ángulo de inclinación de la recta
con el eje de las x, y se calcula a través de la expresión:
m  tang 
FIGURA 3
Eje Y
y = mx + b
ΔY
b
θ
Eje X
ΔX
Ejemplo: La tabla siguiente muestra los valores de velocidad y tiempo obtenidos en un
experimento.
Tabla Nº 2: Velocidad con respecto al tiempo.
V (m/s)
5
7
9
11
13
15
t (s)
1
2
3
4
5
6
Al representar esos valores en papel milimetrado se obtiene la recta mostrada en la Figura 4.
Para obtener la relación matemática entre V y t determinamos su pendiente m y el valor de b
(intersección de la línea recta con el eje y).
Pendiente de una recta.
Es la razón de variación de la variable dependiente con respecto a la correspondiente variación
de la variable independiente para dos puntos de una recta.
m
V 11  5

 2m / s 2 (Aceleración)
t
4 1
b = 3 (intercepción de la recta con el eje V)
V  2t  3
Así, la ecuación resultante es
VELOCIDAD (m/s)
FIGURA 4: Gráfica de Velocidad vs. Tiempo
14
12
10
8
6
4
2
1
2
3
4
5
6
TIEMPO (S)
En el caso de una relación lineal entre dos magnitudes físicas es importante distinguir entre la
pendiente física o real y la pendiente geométrica. La pendiente física se obtiene mediante la
relación m 
V
 2m / s 2 (Figura 4). Este valor depende de las magnitudes de las variables y
t
puede tener un significado importante (en este caso representa la aceleración).
La pendiente geométrica, se define como la tangente del ángulo θ (Figura 4).
Este valor
depende de la inclinación de la recta y no de las magnitudes de las variables (es adimensional).
En este caso se mide los catetos de la gráfica 1 con una regla.
tg 
12  0cm
1
12  0cm
La pendiente bien sea física o geométrica puede ser: positiva, negativa o nula.

Positiva: es cuando al aumentar o disminuir el valor de X en N unidades, el valor de Y,
aumenta o disminuye en N unidades.

Negativa: Cuando al aumentar o disminuir el valor de X, disminuye o aumenta el valor de Y
en la misma cantidad de unidades.

Nula: Cuando la pendiente de una recta es cero el valor de Y no depende de X, es decir el
valor de Y es constante.
B) FUNCIÓN PROPORCIONAL
La ecuación matemática de una función proporcional está definida por:
y = mx
Este es un caso particular del anterior con la diferencia que la recta pasa por el origen de
coordenadas y b toma el valor de cero.
C) FUNCIÓN EXPONENCIAL
La ecuación de una función exponencial está definida por:
y = bamx
Donde m, a y b son constantes.
Al representar los valores de las variables, dependiente e independiente en el papel
milimetrado, debe resultar la curva característica de la función exponencial tal como se indica
en la figura 5.
Aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación se obtiene
Log y = Log b + mx Log a
Si en particular a vale 10, debe aplicarse logaritmo en base diez. Si a tiene un valor cualquiera,
debe aplicarse logaritmo en base ese mismo valor. Por ejemplo, si a = 2, se aplica logaritmo en
base 2, Se tiene entonces:
Si la base a corresponde a la base 10 se tiene
Log Y =Log b + mx
Si se grafica directamente Log y = Log b + mx en función de x en papel milimetrado se obtiene
una recta. Para ello hay que calcular el Logaritmo decimales de y.
Sin embargo puede
utilizarse un papel especial llamado "semi-Logarítmico", ya que en una escala las divisiones son
proporcionales al Log. decimales y en la otra escala las divisiones son lineales. Dicho gráfico
será una recta, ya que si se hace un cambio de variables
u = Log y, c = Log b
se tendrá
u = mx + c
Al graficar en papel semilogarítmico se llevan directamente los valores de y a la escala
logarítmica (no se calculan los logaritmos) y los de x sobre la escala lineal, obteniendose una
recta (Figura 6). El valor de la pendiente viene dada por:
m
u  log y log y 2  log y1


x
x
x 2  x1
b es la intercepción de la recta con el eje y.
FIGURA 5
FIGURA 6
Ejemplo: La tabla siguiente muestra los valores de diferencia de temperaturas y tiempo
obtenidos en un experimento.
Tabla Nº3: Diferencia de Temperaturas con respecto al tiempo.
T-T0 (oC)
56
49
44
40
35,5
30,0
25,1
19,8
15,8
t (s)
0
4
8
12
17
23
30
40
50
Al representar esos valores en papel semi logaritmico se obtiene la recta mostrada:
Diferencia de Temperaturas (ºC)
FIGURA 7: Gráfica de Diferencia de Temperaturas vs. Tiempo
Fig. 2 Gráfico de diferencia de temperatura Vs. tiempo
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
TIEMPO (S)
En este caso
m
log17  log35,5 1,23  1,55 0,32


  0,01
40  12
28
28
y b = 56
y  56  10 0, 01 X
La ecuación resultante es
D) FUNCIÓN POTENCIAL
La ecuación de una función potencial está definida por:
y = bxm
Donde b y m son constantes.
Al representar los valores de las variables, dependiente e independiente en una gráfica sobre el
papel milimetrado, debe resultar la curva característica de la función potencial de la forma como
se indica en la figura 8. Si tomamos logaritmo de ambos lados se obtiene:
Log y = Log b + m Log x
Luego al graficar directamente Log y en función de Log x se tendrá una variación lineal entre los
logaritmos de las variables x e y.
Si se hace un cambio de variables v = Log y
u = Log x y c = Log b
Se tiene que en grafico corresponde a una recta
v = mu + c
En este caso se utiliza un papel especial llamado Bi-Logarítmico, cuyas escalas en ambos ejes
x e y están divididas en segmentos proporcionales a los logaritmos de base 1O.
En la figura 9 se muestra la línea recta que se obtiene al representar la tabla de valores en
papel bilogarítmico.
La pendiente se determina por
m
v v 2  v1  log y log y 2  log y1



u u 2  u1  log x log x 2  log x1
Por lo tanto para graficar una función tal como esta ecuación, se utilizará papel bi-logarítmico o
también llamado Logaritmico (papel cuyos ejes son ambos logarítmicos con un número de
ciclos variables en cada eje) graficando v en función de u y se obtendrá una recta (ver figura 9).
y (escala lineal)
v (escala logarítmica)
FIGURA 8
FIGURA 9
Ejemplo: La tabla siguiente muestra los valores de distancia y tiempo obtenidos en un
experimento.
Tabla Nº 4: Distancia con respecto al tiempo.
t(s)
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
d (m)
5
19,5
44,1
78,4
122,0
Al representar esos valores en papel bi-logaritmico se obtiene la recta mostrada en la Figura 10.
En este caso
m
log 78,4  log 44,1 1,89  1,64 0,25


 2,08
log 4  log 3
0,60  0,48 0,12
El valor de b se obtiene en el punto de corte de la recte con el eje y para x=1
La ecuación resultante es
d  5  t 2,08
Observación.
El papel logarítmico aparece dividido en ciclos, lo hay de 1x1 ciclos, 2x1, 3x2, 2x3, etc. Al llevar
los valores al papel, debe tener en cuenta que si el número uno del primer ciclo representa las
unidades, el segundo uno representa las decenas y el tercero las centenas y así
sucesivamente. Si el uno del primer ciclo representa las décimas, el del segundo representa las
unidades y el tercero las decenas.
Distancia (m)
FIGURA 10: Gráfica de Distancia vs. Tiempo
TIEMPO (S)
E) FUNCIÓN CUADRÁTICA
Su ecuación viene dada por:
y = bx2
Esta es un caso particular de la función potencial, en donde al graficar y vs. x2 en papel
milimetrado se obtiene una recta. También se obtiene una recta al graficar Log y como función
de Log x.
PROCEDIMIENTO PRACTICO
Experiencia Nº 1
Dada una tabla de valores (suministrada por el profesor) cada equipo debe responder las
siguientes interrogantes:
a. Construya la gráfica en papel milimetrado.
b. Compare la gráfica, con las estudiadas anteriormente, ¿Que tipo de función se obtiene?
c. Si la recta no pasa por el origen de las ordenadas, ¿que indica esto?
d. Determine el valor de la pendiente e indique que representa este valor en la función.
e. Escribe la forma de la ecuación.
f.
¿Qué proporcionalidad existe entre las variables?
g. ¿Cuales son sus conclusiones sobre la Experiencia Nº 1?.
Experiencia No. 2
Dada una tabla de valores (suministrada por el profesor) cada equipo debe responder las
siguientes interrogantes:
a. Construya la gráfica en papel milimetrado y papel Semi logaritmico.
b. Compare la gráfica, con las estudiadas anteriormente, ¿Que tipo de función se obtiene?
c. Determine el valor de la pendiente e indique que representa este valor en la función.
d. Escribe la forma de la ecuación
e. ¿Qué tipo proporcionalidad existe entre las variables?
d. Según el tipo de función ¿puede obtener una línea recta? ¿Cómo lo hace?
f.
¿Cuales son sus conclusiones sobre la Experiencia Nº 2?.
Experiencia No. 3
Dada una tabla de valores (suministrada por el profesor) cada equipo debe responder las
siguientes interrogantes:
a. Construya la gráfica en papel milimetrado y papel Bi logaritmico.
b. Compare la gráfica, con las estudiadas anteriormente, ¿Que tipo de función se obtiene?
c. Determine el valor de la pendiente e indique que representa este valor en la función.
d. Escribe la forma de la ecuación.
e. ¿Qué tipo proporcionalidad existe entre las variables?
f.
Según el tipo de función ¿puede obtener una línea recta? ¿Cómo lo hace?
g. ¿Cuales son sus conclusiones sobre la Experiencia Nº 3?.
BIBLIOGRAFIA
ACOSTA, R. y SANTANDER, J.; Manual de Laboratorio de Física, Tomo Análisis de Medidas. Valencia,
Venezuela. 1973. Pag. 91-134.
ALVARENGA. B., MAXIMO. A.; Física General con Experimentos Sencillos. Tercera Edición. México,
D.F. 1983.
HILL Y STOLlBERG; Física, Fundamentos y Fronteras. Laboratorios Segunda. Edición, México, D.F.
1975.
KREYSZIG E.: Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Tercera Edición, Editorial Zimusa, 1984.
HALLlDAY D. RESNICK. R.; Física. Tomo l. Cia. Editorial Continental S.A. México 1973.
FINN. E. Y ALONSO M.; Física, Vol. l. Mecánica. México 1976.
Para un objeto con movimiento uniformemente acelerado se hicieron las siguientes
mediciones.
Tabla A. Velocidad de un objeto con movimiento uniformemente acelerado.
t (s)
1
2
3
4
5
v (m/s)
8
11
14
17
20
Al soltar un objeto en caída libre, se hicieron las mediciones que se indican en la tabla
B.
Halle la ley que rige el movimiento.
Tabla B. Distancia en función del tiempo para un objeto que cae libremente.
t (s)
1
1.5
2
2.5
d (m)
4.9
11
19.6
30.6
Se tiene con una cierta cantidad del elemento químico polonio. Después de 138días
permanecerá solamente la mitad de la misma. Con esta información obtenga la ley que
rige el fenómeno. ¿Qué cantidad de polonio quedará después de un año? Proceda a
obtener los datos para graficar la tabla C.
Tabla C. Porcentaje de Polonio en función del tiempo.
t (días)
0
138
276
414
p (%)
100
50
25
12.5