Pág. 121 - IES Reyes Católicos

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Soluciones a los ejercicios y problemas
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PÁGINA 121
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Construye funciones definidas a trozos que cumplan las siguientes condiciones y dibújalas.
a) Es continua y está compuesta por dos trozos de rectas. Tiene pendiente 0 en
x = 1 y pendiente –2 en x = 4. Tiene un máximo en (3, 7).
b) Es continua y está compuesta por un trozo de parábola y un trozo de recta.
Tiene un mínimo en (0, 0) y un máximo en (2, 4).
Y
a) Por ejemplo:
°
7
£ –2x + 13
f(x) = ¢
si x < 3
si x Ó 3
X
3
Y
b) Por ejemplo:
°
x2
£ –x + 6
f(x) = ¢
si x Ì 2
si x > 2
4
X
2
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Todas las funciones exponenciales de la forma y = a x pasan por un mismo punto. Di cuál es y justifícalo. ¿En qué casos la función es decreciente?
Todas pasan por el punto (0, 1), ya que a0 = 1.
Si a < 1, la función es decreciente.
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Calcula b y c para que el vértice de la parábola y = x 2 + bx + c esté en
el punto (3, 1). ¿Cuál es su eje de simetría? ¿Cuáles son los puntos de corte con
los ejes?
Vértice en x = 3 8 – b = 3 8 –b = 6a = 6 8 b = –6
2a
Pasa por (3, 1) 8 1 = 9 – 18 + c 8 c = 10
y = x 2 – 6x + 10
Su eje de simetría es x = 3.
Cortes con los ejes:
x = 0 8 y = 10 8 Punto (0, 10)
x 2 – 6x + 10 = 0 8 x =
ta al eje X.
Unidad 5. Funciones elementales
6 ± √ 36 – 40
8 No tiene solución, por tanto, no cor2
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Soluciones a los ejercicios y problemas
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ax 2
La parábola y =
+ bx + c pasa por el origen de coordenadas. ¿Cuánto
valdrá c ? Si, además, sabes que pasa por los puntos (1, 3) y (4, 6), halla a y b
y representa la parábola.
c=0
y = ax 2 + bx
° a = 3 – b 8 a = –1/2
(1, 3) 8 3 = a + b
¢
(4, 6) 8 6 = 16a + 4b £ 6 = 16(3 – b) + 4b 8 b = 7/2
y = – 1 x2 + 7 x
2
2
Y
6
3
1
46
Calcula a y b para que la función y = a pase por los puntos (2, 2)
x–b
y (–1, –1).
a
2=—
2–b
a
–1 = —
–1 – b
y= 2
x–1
47
X
4
°
§
§ a = 4 – 2b ° 1 + b = 4 – 2b 8 b = 1
¢
¢
§ a=1+b £ a=2
§
£
Representa gráficamente la función exponencial y = 1,2x haciendo uso
de una tabla de valores. ¿Cuál es la función inversa o recíproca de y = 1,2x ?
Represéntala en los mismos ejes.
La función inversa de y = 1,2x es y = log 1,2 x.
16
–4
0
1
2
4
8
10
12
16
0,48
1
1,2
1,44
2,07
4,3
6,2
8,9
18,5
Unidad 5. Funciones elementales
14
12
y = log1,2 x
10
x
Y
y=
X
8
6
y = 1,2x
4
2
–4
2
–4
4
6
8
10
12
14
16
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P ROFUNDIZA
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Representa las siguientes funciones:
°x
a) f (x) = ¢ —
£√x
si x < 0
si x Ó 0
°x 2
§
b) f (x) = ¢ 1
§—
£x
a)
Y
b)
si x < 1
si x Ó 1
Y
X
X
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a) Representa la función y = | x |, donde | x | es el valor absoluto de x.
°–x si x < 0
b) Representa: y = ¢
£ x si x Ó 0
Compara las dos gráficas, a) y b).
a) y b)
Y
X
Son la misma gráfica.
50
Haz la gráfica de las siguientes funciones:
a) y = | x – 1|
a)
b) y = 1 + | x |
b)
Y
X
Unidad 5. Funciones elementales
Y
X
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Aplica la definición de logaritmo para calcular x en cada caso:
a) log 2 (2x – 2) = 3
b) log 2 (x – 1,5) = –1
c) log 2 4x = 2
d) log2 (x 2 – 8) = 0
a) log 2 (2x – 2) = 3 8 2x – 2 = 23 8 2x = 10 8 x = 5
b) log 2 (x – 1,5) = –1 8 x – 1,5 = 2–1 8 x = 1 + 3 = 2
2 2
2
c) log 2 4x = 2 8 4x = 2 8 x = 1
d) log2 (x 2 – 8) = 0 8 x 2 – 8 = 20 8 x 2 = 9 8 x = ±3
52
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Resuelto en el libro de texto.
Resuelve estas ecuaciones exponenciales, expresando como potencia el segundo miembro:
a) 3x
2
–5
b) 22x – 3 = 1/8
= 81
3
c) 2x + 1 = √4
2
d) 2x + 1 = 0,53x – 2
2
= 81 8 3 x – 5 = 3 4 8 x 2 – 5 = 4 8 x 2 = 9 8 x = ±3
b) 2 2x – 3 = 1 8 2 2x – 3 = 2 –3 8 2x – 3 = –3 8 x = 0
8
a) 3 x
–5
3
c) 2 x + 1 = √4 8 2 x + 1 = 2 2/3 8 x + 1 = 2 8 x = 2 – 1 8 x = – 1
3
3
3
()
d) 2 x + 1 = 0,5 3x – 2 8 2 x + 1 = 1
2
3x – 2
8 2 x + 1 = 2 –(3x – 2) 8
8 x + 1 = –(3x – 2) 8 4x = 1 8 x = 1
4
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Sabemos que el lado desigual de un triángulo
isósceles mide 6 cm. Llama x al otro lado y escribe la ecuación de la función que nos da su área.
Represéntala.
x
x
3 cm
6 cm
25 Y
20
15
La altura del triángulo es h = √x 2 – 9 .
10
A(x) = 3√x 2 – 9
5
3
X
Unidad 5. Funciones elementales
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Un móvil que inicialmente llevaba una velocidad de 8 m/s frena con una
aceleración de –1 m/s2. Escribe la ecuación de la velocidad en función del tiempo y represéntala.
v=8–t
Y
X
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Tenemos 200 kg de naranjas que hoy se venderían a 0,40 €/kg. Cada día
que pasa se estropea 1 kg y el precio aumenta 0,01 €/kg. ¿Cuándo hemos de
vender las naranjas para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál será ese beneficio?
Sea t el tiempo, en días.
La función que da el precio de las naranjas según transcurren los días es (kilos de naranjas Ò precio de cada kilo):
P(t) = (200 – t)(0,40 + 0,01t)
P(t) = 80 + 2t – 0,40t – 0,01t 2 = –0,01t 2 + 1,60t + 80
El máximo de la función está en el punto de abscisa:
–b = –1,60 = 80
2a –0,02
Las naranjas se deben vender, para obtener el máximo beneficio, dentro de 80 días,
y se venderán por 144 euros.
Unidad 5. Funciones elementales