TEMA 4 Teoría de Contacto Mecanismos de Fricción y Adherencia

Objetivos
Objetivos:
Objetivos:Introducir
Introducirlos
losconceptos
conceptosbásicos
básicosque
quegobiernan
gobiernanelelcontacto
contactoentre
entredos
dossuperficies;
superficies;describir
describirlos
los
mecanismos
que
rigen
el
comportamiento
de
la
fricción
seca
y
la
adherencia
entre
superficies;
descripción
mecanismos que rigen el comportamiento de la fricción seca y la adherencia entre superficies; descripcióndede
elementos
elementosdedemáquinas
máquinasque
quehacen
hacenuso
usodedelos
losmecanismos
mecanismosdedefricción:
fricción:frenos
frenosdedetambor,
tambor,frenos
frenosdededisco,
disco,
embragues
de
disco,
embragues
cónicos,
cintas,
tornillos
de
transmisión
de
potencia,
etc.
embragues de disco, embragues cónicos, cintas, tornillos de transmisión de potencia, etc.
Problemas
Problemas:
Problemas:cálculo
cálculoyydiseño
diseñodedeelementos
elementosdedemáquinas
máquinasque
quehagan
haganuso
usodedemecanismos
mecanismosdedefricción:
fricción:frenos
frenosdede
tambor,
tambor,frenos
frenosdededisco,
disco,embragues
embraguesdededisco,
disco,embragues
embraguescónicos,
cónicos,cintas,
cintas,tornillos
tornillosdedetransmisión
transmisióndedepotencia,
potencia,etc.
etc.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
 J.M.Jiménez Bascones
TEMA 4
Teoría de Contacto Mecanismos
de Fricción y Adherencia
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q
Teoría de contacto
q
Elementos de máquinas
Indice
ðContacto normal
ðContacto tangencial
ðRozamiento y desgaste
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
 J.M. Jiménez Bascones
ðTornillos de transmisión de potencia
ðFrenos de zapata
ðFrenos y embragues cónicos
ðFrenos y embragues de disco
ðFrenos de cinta
- 4.2
4. 2 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q
Teoría de Contacto (I)
La teoría de contacto estudia fenómenos macroscópicos
resultantes de la interacción entre superficies de sólidos en
contacto:
ðRozamiento
ðDesgaste
ðAdhesión
Son fenómenos importantes porque producen:
 J.M. Jiménez Bascones
q
ðFallos de maquinaría
ðPérdidas energéticas
ðCostes de mantenimiento
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.3
4. 3 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
La teoría de contacto trata dos problemas:
ðEstudio geométrico (cinemático) del contacto
ðEstudio de las fuerzas presentes en el contacto:
ù Fuerzas normales: problema normal
– Las deformaciones en los materiales se deben a las fuerzas normales
– Estudiado por Hertz
ù Fuerzas tangenciales: problema tangencial
– Las deformaciones en el contacto se deben a fuerzas tangenciales
– Se debe tener en consideración el rozamiento; se trata de un problema no lineal
– Teorías para casos particulares desarrolladas por: Carter, Johnson y Haines y
Ollerton
ù Ambos problemas se abordan de forma independiente
ù Teoría general del contacto desarrollada por Kalker
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.4
4. 4 -
 J.M. Jiménez Bascones
q
Teoría de Contacto (II)
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Teoría de Contacto (III)
 J.M. Jiménez Bascones
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.5
4. 5 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q
Problema Normal
El problema normal pretende determinar:
ðLa superficie de contacto
ðLa distribución de
presiones en la superficie
de contacto
Se aborda el problema en
dos etapas:
ðPresión entre dos cuerpos
esféricos en contacto
ðCaso general de presión
entre dos cuerpos en contacto
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
 J.M. Jiménez Bascones
q
- 4.6
4. 6 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Sean dos cuerpos esféricos como se indica:
ðRadios: R1 y R2
ðO: Punto de contacto
ðM y N: puntos de
las esferas situados sobre
la misma vertical
ðz1 y z2: alturas sobre
el plano tangente
ðr: distancia de M y N
al eje de simetría
ðr << R1; r << R2
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
 J.M. Jiménez Bascones
q
Cuerpos Esféricos (I)
- 4.7
4. 7 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Cuerpos Esféricos (II)
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q Las alturas z1 y z2
se calculan como:
θ2
z1 = R1 (1 − cosθ ) ≅ R1
2
r = R1 sen θ ≅ R1θ
 J.M. Jiménez Bascones
luego,
r2
r2
z1 + z2 =
+
2 R1 2 R2
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.8
4. 8 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Al aplicar una fuerza P normal al plano tangente:
ðSe produce una
deformación local en O
ðEl contacto se produce en
una superficie de contacto
ðLos centros de las esferas
se aproximan una distancia α
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
 J.M. Jiménez Bascones
q
Cuerpos Esféricos (III)
- 4.9
4. 9 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q Los
Cuerpos Esféricos (IV)
puntos M y N se aproximan
ðSi los puntos M y N están en la superficie de contacto,
sufren deformaciones locales ω1 y ω2.
ðSe verifica la relación:
α − (ω1 + ω 2 ) = z1 + z2
 J.M. Jiménez Bascones
luego, se cumple la relación
R1 + R2 2
ω1 + ω 2 = α − ( z1 + z 2 ) = α −
r = α − βr 2
2 R1R2
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.10
4. 10 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Cuerpos Esféricos (V)
q Cálculo de las deformaciones locales ω1 y ω2
 J.M. Jiménez Bascones
ðSe considera r << R1
ðSe calculan ω1 y ω2
como si se trataran de
puntos sobre un cuerpo
semi-infinito
P (1−ν 2 )
ωA =
πEs
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.11
4. 11 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q
Cuerpos Esféricos (VI)
En una fuerza distribuida q, la deformación es:
qdA(1 −ν 2 )
ω M = ∫∫
πEs
Se supone una distribución simétrica de presiones
ù q0: presión máxima
ù a: radio de la superficie de contacto
ù z: altura de una semi-esfera apoyada
sobre la superficie de contacto
 J.M. Jiménez Bascones
q
q0
q= z
a
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.12
4. 12 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Cuerpos Esféricos (VII)
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q Considerando
ωM
(1 −ν )
=
ωM
(
1 −ν )
=
ωM
(1 −ν ) q
=
πE
2
πE
2
qsdsdψ
∫∫ s
∫∫ qdsdψ
 J.M. Jiménez Bascones
2
el elemento de área representado:
zdsdψ
∫∫
a
0
πE
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.13
4. 13 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Sustituyendo las expresiones, se obtiene:
 (1 − ν 12 ) (1 − ν 22 ) q0
ω1 + ω 2 = 
+

πE2  a
 πE1
q
Integrando:
k1
(1 −ν )
=
k2
(1 −ν )
=
2
1
πE1
2
2
πE 2
2
zdsd
ψ
=
α
−
β
r
∫∫
q0
q0 π 2
2
2
zds
=
(
a
−
r
sen
ψ)
∫
a
a 2
π
πq0
(k1 + k 2 )∫02 (a 2 − r 2 sen 2 ψ )dψ = α − βr 2
a
q0π 2
(k1 + k 2 )
(2a 2 − r 2 ) = α − βr 2
4a
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
 J.M. Jiménez Bascones
q
Cuerpos Esféricos (VIII)
- 4.14
4. 14 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
q
Se han de cumplir las
siguientes relaciones:
Cuerpos Esféricos (IX)
q
La presión máxima q0
viene dada por:
π 2a
α = (k1 + k2 )q0
2
q0  2 3 
P = ∫∫ qdA =  πa 
a 3

π2
a = (k1 + k2 )q0
4β
3 P 3
q0 =
= qmedia
2
2 πa
2
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
 J.M. Jiménez Bascones
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
- 4.15
4. 15 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Cuerpos Esféricos (X)
q Conocida la superficie de contacto y la distribución
de presiones, se calculan:
ðTensiones normales (en la superficie)
σ z = − q0 σ x = σ y = − (1 + 2ν )q0 2
ðTensiones tangenciales
 J.M. Jiménez Bascones
(en la superficie)
τ xz = (σ x − σ z ) 2
τ yz = (σ y − σ z ) 2
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.16
4. 16 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Sean dos cuerpos cualquiera como se indica
ðO: Punto de contacto
ðM y N: puntos de
las superficies sobre
la misma vertical
ðz1 y z2: alturas sobre
el plano tangente
ðr: distancia de M y N
al eje z
ðr << R1; r << R2
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
 J.M. Jiménez Bascones
q
Caso General (I)
- 4.17
4. 17 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Caso General (II)
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q Las alturas z1 y z2
se calculan como:
z1 = A1 x12 + B1 y12 + C1 x1 y1
z 2 = A2 x22 + B2 y22 + C2 x2 y 2
 J.M. Jiménez Bascones
luego,
z1 + z2 = ( A1′ + A2′ )x 2 + (B1′ + B2′ ) y 2
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.18
4. 18 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q Los
Caso General (III)
puntos M y N se aproximan
ðSi los puntos M y N están en la superficie de contacto,
sufren deformaciones locales ω1 y ω2.
ðSe verifica la relación:
α − (ω1 + ω 2 ) = z1 + z2
 J.M. Jiménez Bascones
luego, se cumple la relación
ω1 + ω 2 = α − ( z1 + z 2 ) = α − Ax 2 − By 2
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.19
4. 19 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Caso General (IV)
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Se supone una distribución
simétrica de presiones
ð q0: presión máxima
ð z: altura de un semi-elipsoide
apoyada sobre la superficie de
contacto
ð a y b: semi-ejes del elipsoide
2
q = q0
x
y
1 −   −  
a b
 J.M. Jiménez Bascones
q
2
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.20
4. 20 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Caso General (V)
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q La presión máxima q0
viene dada por:
2

P = ∫∫ qdA = ∫∫ q0 zdA = q0  πab 
3

3 P
3
q0 =
= qmedia
2 πab 2
deformación en un punto de la superficie de
contacto se calcula como:
 J.M. Jiménez Bascones
q La
qdA(1 −ν 2 )
ω M = ∫∫
πEs
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.21
4. 21 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Caso General (VI)
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Sustituyendo las expresiones anteriores, se obtiene:
2
3 q0
(k1 + k 2 )
2 πab ∫∫
q
Integrando:
2
u v

1−   −  
 a   b  dudv = α − Ax2 − By 2
( x − u )2 + ( y − v )2
 3π P (k1 + k 2 ) 
a = m

 4 ( A + B) 
1/ 3
 J.M. Jiménez Bascones
q
 3π P(k1 + k 2 ) 
b = n

 4 (A + B) 
1/ 3
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.22
4. 22 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Caso General (VII)
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Los parámetros de la solución se obtienen de la tabla
siguiente:
 3π P (k1 + k 2 ) 
a = m

4
(
A
+
B
)


1/ 3
θ
m
n
30
35
40
45
 3π P(k1 + k 2 ) 
b = n

4
(
A
+
B
)


1/ 3
50
55
60
65
70
cos θ =
75
80
B− A
A+ B
85
90
2,731 2,397 2,136 1,926 1,754 1,611 1,486 1,378 1,284 1,202 1,128 1,061 1,000
0,493 0,530 0,567 0,604 0,641 0,678 0,717 0,759 0,802 0,846 0,893 0,944 1,000
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.23
4. 23 -
 J.M. Jiménez Bascones
q
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Caso General (VIII)
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q
Con la solución anterior, se puede estudiar el caso de dos
cilindros de ejes paralelos
1
P = πbq0
2
2P
q0 =
πb
 4P (k1 + k 2 )R1 R2 
b=

R1 + R2


 J.M. Jiménez Bascones
1/ 2
siendo P la carga por unidad de longitud
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.24
4. 24 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q
Problema Tangencial (I)
El problema tangencial pretende determinar:
ð La relación entre las velocidades y las fuerzas
tangenciales
ð Calculadas estas relaciones y usando las
ecuaciones de la elasticidad se calculan las
tensiones en el material
ð Se consideran los sólidos en contacto por la acción
de una fuerza normal y con un movimiento relativo
Diversas aproximaciones
 J.M. Jiménez Bascones
q
ð Carter
ð Johnson
ð Haines y Ollerton
ð Solución general: Kalker
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.25
4. 25 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q
Las velocidades tangenciales
de los sólidos no son iguales:
no hay contacto de rodadura
El deslizamiento se cuantifica
con un parámetro adimensional:
el “pseudo-deslizamiento”
V1 − V2
νx =
(V1 + V2 ) / 2
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
 J.M. Jiménez Bascones
q
Problema Tangencial (II)
- 4.26
4. 26 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q
q
q
Aproximación de Carter (I)
Considera el caso de dos
cilindros de ejes paralelos
Se produce deslizamiento en la
dirección de rodadura
Divide la zona de contacto en
dos partes:
ð Zona de adhesión
ð Zona de deslizamiento
La distribución de fuerzas de
rozamiento se obtiene como
diferencia de dos distribuciones
circulares
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
 J.M. Jiménez Bascones
q
- 4.27
4. 27 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Aproximación de Carter (II)
q Dimensiones de las zonas de deslizamiento y
adhesión
siendo
νx =
V1 − V2
(V1 + V2 ) / 2
1 1 1 1 
=  + 
ρ 4  R1 R2 
µ es el coeficiente de rozamiento y a el semiancho de la zona de contacto
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.28
4. 28 -
 J.M. Jiménez Bascones
b νx ρ
=
−1
a 2 µa
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Aproximación de Carter (III)
q En el caso de rodadura pura, no hay zona de
Si
νx ρ
0<
<4
µa
 J.M. Jiménez Bascones
deslizamiento (νx=0)
q En el caso de deslizamiento puro, la zona de
adhesión desaparece por completo
q La fuerza total de rozamiento varía entre 0 y µN
 2 (a − b )2 

π  a −
4 

Fx = µN
πa 2
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.29
4. 29 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Aproximación de Johnson
Generaliza la teoría de Carter
para pseudo-deslizamientos
longitudinal y transversal y
spin nulo
q Aproxima la zona de
adhesión por un área elíptica
q La distribución de fuerzas de
rozamiento es diferencia de
dos distribuciones semielipsoidales
Experimentalmente, se comprueba que
la parte anterior de la zona de contacto
no responde a esta teoría
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.30
4. 30 -
 J.M. Jiménez Bascones
q
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Aproximación de
Haines y Ollerton (I)
Estudian el problema tangencial
considerando deslizamiento en
la dirección de rodadura
q Consideran la teoría de Carter
aplicable en “láminas” de la zona
de contacto paralelas a la
dirección de rodadura
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
 J.M. Jiménez Bascones
q
- 4.31
4. 31 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Aproximación de
Haines y Ollerton (II)
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q
De la teoría de Carter
b νx ρ
=
−1
a 2 µa
νx ρ
b=
−a
2µ
suponiendo constantes νx y ρ, se tiene
q
νx ρ
= constante
2µ
 J.M. Jiménez Bascones
b+ a =
El límite posterior de la zona de adhesión se mantiene a
distancia constante del límite posterior de la zona de
contacto
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.32
4. 32 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Teoría General de Kalker (I)
La teoría general de Kalker pretende relacionar las pseudodeslizamientos con las fuerzas tangenciales y el momento
según z.
q La resolución del problema normal proporciona las
dimensiones de la superficie de contacto y la distribución
normal de presiones. Los problemas normal y tangencial se
suponen independientes.
q La compresión y la fricción producen deformaciones que
afectan a las velocidades de deslizamiento.
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.33
4. 33 -
 J.M. Jiménez Bascones
q
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Velocidad de
deslizamiento
Cinemática
Deformaciones
Teoría General de Kalker (II)
Rozamiento
Distribución de
fuerzas de
rozamiento
Ecuaciones de
equilibrio
Fuerzas
tangenciales y
momento normal
 J.M. Jiménez Bascones
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Ecuaciones de la elasticidad
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.34
4. 34 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Teoría General de Kalker (III)
q Cinemática
vx = vsr. x + vdf . x
v y = vsr. y + vdf . y
∂u x dx ∂u x
+
∂x dt ∂t
∂u y dx ∂u y
v y = V (ν yx + φx ) +
+
∂x dt ∂t
r
r
∂u ∂u
r r
v = s −V
+
∂x ∂t
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
 J.M. Jiménez Bascones
vx = V (ν x − φy ) +
- 4.35
4. 35 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
Teoría General de Kalker (IV)
q Ecuaciones del rozamiento
ðZona de adhesión
∂u x dx ∂u x 
v x = 0 = V (ν x − φy ) +
+
∂x dt ∂t 
∂u y dx ∂u y 

v y = 0 = V (ν yx + φx ) +
+
∂x dt ∂t 
r
P ≤ µq
 J.M. Jiménez Bascones
ðZona de deslizamiento
r
r
v
P = − µq r
v
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.36
4. 36 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
q Ecuaciones
Teoría General de Kalker (V)
de equilibrio
ðFuerzas tangenciales
Fx = ∫∫ p x dΩ 

Ω

Fy = ∫∫ p y dΩ

Ω
 J.M. Jiménez Bascones
ðMomento normal
r r
M z = ∫∫ r × pdΩ
Ω
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.37
4. 37 -
Departamento
Departamentode
deIngeniería
IngenieríaMecánica,
Mecánica,Energética
Energéticayyde
deMateriales
Materiales
Ingeniaritza
Ingeniaritza Mekanikoa,
Mekanikoa,Energetikoa
Energetikoaeta
etaMaterialeen
MaterialeenSaila
Saila
Teoría General de Kalker (VI)
 J.M. Jiménez Bascones
Tema
44
Tema
TEORÍA
DE
CONTACTO
TEORÍA DE CONTACTO
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MÁQUINAS
- 4.38
4. 38 -