1. Debido a las elevadas tasas de interés, una empresa reporta que

1.
Debido a las elevadas tasas de interés, una empresa reporta que el 30% de sus
cuentas por cobrar de otras empresas están vencidas. Si un contador toma una
muestra aleatoria de cinco de esas cuentas, determine la probabilidad de cada uno de
los siguientes eventos, utilizando la fórmula de la probabilidad binomial :
(a) ninguna de las cuentas está vencida,
(b) exactamente dos cuentas están vencidas,
(c) la mayor parte de las cuentas están vencidas,
(d) exactamente el 20% de las cuentas están vencidas.
0
5
2
3
0
5
(a) P(X =0 |n = 5, p = 0.30)= 5Co(0.30) (0.70) =[5!/(0!5!)] (0.30) (0.70) =
(1)(1)(0.16807) =016807
2
3
(b) P(X =2 |n = 5, p = 0.30) = 5C2(0.30) (0.70) = [5!/(2!3!)] (0.30) (0.70) =
(10)(0.09)(0.343)= 0.3087
(c) P(X>=3 |n= 5,p = 0.30) = P(X =3)+P(X =4)+P(X =5) =0.1323+0.02835+0.00243
=0.16308
3
2
4
1
5
0
en donde P(X = 3) = [5!/(3!2!)] (0.30) (0.70) = (10)(0.027)(0.49) =0.1323
P(X = 4) =[5!/(4!1!)] (0.30) (0.70) = (5)(0.0081)(0.70)=0.02835
P(X = 5) =[5!/(5!0!)] (0.30) (0.70) = (1)(0.00243)(1) =0.00243
1
1
4
(d) P(X/n=0.2 |n=5,p = 0.30) = P(X=1I n=5,p = 0.30)= 5C (030) (070) =[5!/(1!4!)]
1
4
(030) (0.70)
= (5)(0.30)(0.2401) = 0.36015
2.
Una empresa de comercialización por correo tiene una circular que produce una tasa de
respuestas de 10%. Suponga que se envían por correo 20 de esas circulares en calidad de
prueba de mercado, en un área geográfica nueva. Suponiendo que se aplica la tasa de
respuesta del 10% en la nueva área, determine ias probabilidades de tos siguientes
eventos
(a) nadie responde,
(b) exactamente dos personas responden,
(c) la mayoría de las personas responde,
(d) cuando menos el 20% de las personas responde,
(a) P(X = 0 | n = 20, p = 0.10) = 0.1216
(b) P(X = 2 | n = 20, p = 0.10) = 0.2852
(c) P(X = 11 | n = 20, p = 0.10) = P(X = 11)+P(X= 12)+ ...=0.0000=0
(d) P(X/n= 0.20 |n=20 ,p= 0.10) = P(X>=3 | n=20, p =0.10)
= P(X =0)+P(X = 1)+ P(X =2)+P(X =3)
=0.1216+0.2702+0.2852+0.1901 =0.8671
3.
Puede considerarse que la fórmula binomial está compuesta de dos partes: una fórmula de
combinaciones que determina el número de formas distintas en las que puede ocurrir el
evento designado, y la regla de multiplicación para determinar la probabilidad de cada
secuencia. Supóngase que se eligen al azar tres artículos de un proceso que se sabe
produce 10% de artículos defectuosos. Construya un diagrama de árbol de tres etapas que
ilustre la selección de los tres artículos y utilice D para indicar que se selecciona un artículo
defectuoso y D' para identificar la selección de un artículo sin defectos. También, anote los
valores de probabilidad adecuados en el diagrama y utilice la regla de la multiplicación para
eventos independientes con el objeto de determinar la probabilidad de que ocurra cada una
de las posibles secuencias de tres eventos.
4.
Con los datos del problema 3, determine la probabilidad de que exactamente uno de los
tres artículos muestreados esté defectuoso, haciendo referencia a la figura 6-1 y utilizando
la regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes.
Al comenzar desde la parte superior del diagrama, las secuencias cuarta, sexta y séptima
incluyen exactamente un artículo defectuoso. Por ello,
P(X =1) = (D y D' y D') + (D' y D y D') + (D' y D' y D)
= 0.081 + 0.081 + 0.081 = 0.243
5.
De los problemas 3 y 4, determine la probabilidad de obtener exactamente un artículo
defectuoso utilizando la fórmula binomial, y observe la correspondencia entre los valores
obtenidos mediante la fórmula y los que se obtuvieron del diagrama de árbol.
1
2
P(X =1| n = 3, p = 0.10) =3C1(0.10) (0.90) = [3!/(1!2!)] (0.10)(0.81)
=3(0.081)=0.243
Por ello, la primera parte de la fórmula binomial señala el número de grupos distintos de
posiciones que pueden incluir el número designado de éxitos (en este caso existen tres formas
en las que puede incluirse un articulo defectuoso en el conjunto de tres). La segunda parte de
la fórmula representa la regla de la multiplicación para los eventos independientes
especificados.
6.
En un año específico el 70% de las acciones que se negociaron en la Bolsa Mexicana de
Valores aumentaron de precio, en tanto que el 30% restante permanecieron sin cambios o
experimentaron una reducción en su precio. Al principio del año, un asesor de inversiones
eligió 10 de las acciones y las calificó como "especialmente recomendables". Si las
acciones de estas 10 empresas representan una selección aleatoria, ¿cuál es la
probabilidad de que:
(a) la totalidad de las 10 y
(b) cuando menos 8 de las acciones aument en de valor
(b) P(X =10 | n =10,p =0.70) =P(X'= 0 | n =10,q =0.30)=0.0282
(Nota: cuando p es mayor que 0.50, el problema debe replantearse en términos de X'
(léase complemento de X) y se concluye que X' = n - X. Por ello, el evento "aumenta el
precio de las 10" es igual al de “no se reduce el precio de ninguna").
(c) P(X> =8 | n =10,p =0.70) =P(X'<=2 | n =l0,q =0.30)
=P(X' =0) +P(X '=1) +P(X' =2)
= 0.0282 + 0.1211 + 0.2335 = 0.3828
(Nota: cuando se replantea un enunciado de probabilidad en términos de X', en vez de X, y
cuando hay implícita una desigualdad, debe revertirse el símbolo de la desigualdad del
enunciado original.)
7.
AI utilizar la computadora, determine:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
P(X =5 | n =9, p =0.50)
P(X =7 | n =15, p =0.60)
P(X <=3 | n =20, p =0.05)
P(X >=18| n = 20, p =0.90)
P(X > 8 | n =10, p = 0.70)
(a)
(b)
(c)
P(X =5 | n =9, p =0.50) =0.2461
P(X =7 | n =15, p =0.60) =P(X'=81n=15, q=0.40) =0.1181
P(X <=3 | n =20, p =0.05) =P(X=0) +P(X=1) +P(X=2)+P(X=3)
= 0.3585 + 0.3774+ 0.1887 + 0.0596 =0.9842
P(X >=18| n = 20, p =0.90) =P(X' <=2 | n =20, q =0.10)
= P(X' = 0) + P(X' =1)+ P(X' = 2)
= 0.1216 + 0.2702 + 0.2852 = 0.6770
P(X > 8 | n =10, p = 0.70) = P(X' <2 | n =10, q =0.30)
= P(X'=0)+P(X'= 1) =0.0282+0.1211 =0.1493
(d)
(e)
8.
S i se lanza una moneda cinco veces, la distribución de probabilidad con respecto al
número de caras que se basa en la distribución binomial, con n = 5 y p = 0.50 Determine:
(a) el número esperado de caras y
(b) la varianza de la distribución de probabilidad utilizando las fórmulas generales para
variables a discretas.
Tabla 6.10 Distribución binomial de probabilidad del número de caras que ocurren en cinco
lanzamientos de una moneda.
Número de caras (X)
Probabilidad [P (X) ]
0
0.0312
1
0.1562
2
0.3125
3
0.3125
4
0.1562
Al utilizar la Tabla 6.11,
(a) E(X)=2.4995=2.5
2
2
2
(b)V(X)=E(X ) - [E(X)] =7.4979 - (2.4995) =7.4979-6.2475 =1.2504 =1.25
5
0.0312
Tabla 6.11
Número de
caras (X)
0
1
2
3
4
5
9.
Hoja de trabajo para el cálculo del valor esperado y de la varianza para el problema
6.11
Probabilidad
[P(X)]
0.0312
0.1562
0.3125
0.3125
0.1562
0.0312
Valor ponderado 1
[XP(X)]
0
0.1562
0.6250
0.9375
0.6248
0.1560
E(X)=2.4995
Número al
cuadrado (X 2)
0
1
4
9
16
25
Valor ponderado al cuadrado
[X2P(X)]
0
0.1562
1.2500
2.8125
2.4992
0.7800
E(X2)=7.4979
Con referencia al problema 8, determine:
a. El numero esperado de caras y
b. La varianza de la distribución de probabilidad, utilizando las formulas especiales para
distribuciones binomiales de probabilidad, y
c. Compare sus respuestas con las que se obtuvieron en el problema 8
(a)
E(X)= n p =5(0.50)=2.5
(b)
V(X) = n p g = (5)(0.50)(0.50) = 1.25
(c)
Las respuestas que se obtuvieron con las fórmulas especiales aplicables a las
distribuciones binomiales corresponden a las respuestas que se obtuvieron mediante
las fórmulas generales más laboriosas que son aplicables para cualquier variable
aleatoria discreta.
10. En promedio, cada hora cinco personas realizan transacciones en ei mostrador de
"servicios especiales" de un banco. Suponiendo que la llegada de esas personas tiene una
distribución independiente e Igualmente probable en todo el periodo de interés, ¿cuál es la
probabilidad de que más de 10 personas deseen realizar transacciones en el mostrador de
servicios especiales en una hora específica?
P(X > 10 | λ = 5.0) = P(X <=11 | λ = 5.0) = P(X =11)+ P(X =12)+ . . .
= 0.0082 + 0.0034+ 0.0013 + 0.0005 + 0.0002 = 0.0136
11. En promedio, un barco llega a cierto muelle cada dos días; ¿cuál es la probabilidad de que
lleguen dos o más barcos en un día seleccionado al azar?
Como el promedio por dos días = 1.0, entonces A, = promedio por día = 1.0 x (1/2) = 0.5.
P(X >_2 | λ =0.5) = P(X =2)+P(X =3) + …
= 0.0758+0.0126+0.0016+0.0002 = 0.0902
En promedio, cada rollo de 500 metros de acero laminado tiene dos defectos. Un defecto es
una raspadura o alguna otra irregularidad que afectaría el uso de ese segmento de la hoja de
acero en el producto terminado. ¿Cuál es la probabilidad de que un segmento específico de
100 metros no tenga ningún defecto?
Si el promedio por rollo de 500 metros = 2.0, entonces λ = promedio por rollo de 100
metros = 2.0 x (100/500) = 0.40.
P(X =0 | λ =0.40)=0.6703
12. Una compañía de seguros está considerando la adición de cobertura para una enfermedad
relativamente rara en el campo de los seguros médicos mayores. La probabilidad de que
una persona elegida al azar tenga esa enfermedad es 0.001, y en el grupo asegurado
existen 3 000 personas.
a.
b.
¿Cuál es el número esperado de personas que tiene la enfermedad en el conjunto?
¿Cuál es la probabilidad de que ninguna persona de las 3 000 tenga la enfermedad?
a.
La distribución del número de personas que tendrá la enfermedad seguiría la
distribución binomial de probabilidad con n =3000 y p =0.001.
E (X) = n p = (3,000) (0.001) = 3.0 personas
b.
No existen valores tabulados de probabilidades binomiales para n = 3 000 y p = 0.001.
Tampoco resulta atractiva la solución algebraica de la fórmula binomial debido a los
números grandes implicados. Sin embargo, puede utilizarse la fórmula de la
distribución Poisson para aproximar la probabilidad binomial, porque n >= 30 y
(n)(p)> 5. Por lo tanto,
c.
λ =n p = (3000)(0.001)=3.0
PBinomial(X = 0 | n = 3000, p =0.001) = PPoisson (X = 0 | λ = 3.0) = 0.0498
13. Se ha ajustado el proceso de fabricación de un tornillo de precisión de manera que la
longitud promedio de los tornillos sea µ = 13.0 cm. Por supuesto, no todos los tornillos
tienen una longitud exacta de 13 centímetros, debido a fuentes aleatorias de variabilidad.
La desviación estándar de la longitud de los tornillos es σ = 0.1 cm. y se sabe que la
distribución de las longitudes tiene una forma normal. Determine la probabilidad de que un
tomillo elegido al azar tenga una longitud de entre 13.0 y 13.2 cm. e ilustre la proporción de
área bajo la curva normal asociada con este valor de probabilidad.
De la figura 7.7:
X − µ 13.2 − 13.0
=
= + 2 .0
σ
0 .1
P(13.0 ≤ X ≥ 13.2) = P(0 ≤ z ≥ +2.0) = 0.4774 (de la tabla z)
z=
14. Para la situación que se describió en el problema 13, ¿cuál es la probabilidad de que la
longitud del tornillo exceda de 13.25 cm.? Ilustre la proporción del área bajo la curva normal
correspondiente a este caso
Con referencia a la figura 7.8,
X − µ 13.25 − 13.0
=
= +2 .5
σ
0 .1
P( X > 13.25) = P( z > +2.5) = 0.5000 − 0.4938 = 0.0062
z=
15. Del problema 13, ¿cuál es la probabilidad de que la longitud del tornillo esté entre 12.9 y
13.1 cm.? Ilustre la proporción del área bajo la curva normal correspondiente a este caso.
Con referencia a la figura 7.9,
− µ 12.9 − 13.0
z = Xσ = 0.1 = −1.0
− µ 13.1 − 13.0
X
=
=
= +1.0
z
1
1
2
σ
2
0.1
P(12.9 ≤ X ≤ 13.1) = P (−1.0 ≤ z ≤ +1.0) = 0.3413 + 0.3413 = 0.6826
(Nota: ésta es la proporción de área desde -1.0 z a µ, más la proporción desde µ hasta 1.0 z.
Note también que, como la distribución normal de probabilidad as simétrica, las áreas hacia la
izquierda de la media para valores negativos de z son equivalentes a las áreas que se
encuentran del lado derecho de la media)
16. ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud de los tornillos del problema 13 se encuentre
entre 12.8 y 13.1 cm.? Ilustre la proporción del área bajo la curva normal para este raso.
con referencia a la figura 7.10
− µ 12.8 −13.0 − 0.2
z = Xσ = 0.1 = 0.1 = −2.0
− µ 13.1 − 13.0 0.1
=
=
= +1.0
z =X
1
1
2
σ
2
0.1
0.1
P(12.8 ≤ X ≤ 13.2) = P (−2.0 ≤ z ≤ +1.0) = 0.4772 + 0.3413 = 0.8185
17. En el problema 13, ¿cuál es la probabilidad de que la longitud del tomillo esté entre 13.1
y 13.2 cm.? Ilustre la proporción del área bajo la curva normal que es relevante en este
caso.
Con referencia a la fi gura 7-11,
− µ 13.1 − 13.0
z = Xσ = 0.1 = +1.0
1
1
z
2
=
X
− µ 13.2 −13.0
=
= +2.0
σ
0.1
2
P(13.1 ≤ X ≤ 13.2) = P (+1.0 ≤ z ≤ +2.0) = 0.4772 − 0.3413 = 0.1359
(Nota: la probabilidad es igual a la proporción del área de 13.0 a 132, menos la proporción de
área de 13.0 a 13.1.)
18. El tiempo que se requiere para reparar cierto tipo de transmisión automotriz en un taller
mecánico tiene distribución normal con media µ= 45 min. y desviación estándar σ = 8.0
min. El gerente de servicio planea hacer que se inicie la reparación de la transmisión de
los automóviles de los clientes diez minutos después de que se recibe el vehículo, y le
dice al cliente que el automóvil estará listo en una hora. ¿Cuál es la probabilidad de que
el gerente esté equivocado?
Ilustre la proporción de área bajo la curva normal para este caso.
De la figura 7-12,
P( error ) P( X > 50 min), Puesto que el trabajo real comienza en 10 minutos
X − µ 50 − 45 5.0
=
=
= +0.62
σ
8 .0
8 .0
P( X > 50) = P( z > +0.62) = 0.5000 − 0.2324 = 0.2676
z=
19. Con referencia al problema 18, ¿qué asignación de tiempo de trabajo se requiere para
que haya una probabilidad del 75% de que la reparación de las transmisiones se lleve a
cabo dentro de ese tiempo? Ilustre la proporción de área correspondiente.
Tal como se ilustra en la figura 7-13, entre la media y el punto percentil 75 se incluye una
proporción de área del 0.2500. Por lo tanto, el primer paso en la solución implica
determinar el valor de z requerido encontrando el área en el cuerpo de la tabla Z que esté
más cercano a 0.2500. El área más próxima es 0.2486, con Z0.75=+0.67. Después, se
convierte este valor de z en el valor que se requiere de X, de la siguiente manera:
X = µ + zσ = 45 + ( 0.67)(8.0) = 50.36 nim.
20. Con referencia al problema 7.6 ¿cuál es la asignación de tiempo de trabajo que se
requiere para que haya una probabilidad de sólo e130% de que pueda terminarse el
trabajo de reparación dentro de ese lapso? Ilustre la proporción de área correspondiente.
Como una proporción de área de 0.30 se encuentra a la izquierda del valor desconocido
de X en la figura 7-14, se sigue que hay una proporción de 0.20 entre ese punto percentil
y la media. Consultando el apéndice 5, se encuentra que la proporción de área más
cercana a ese valor es 0.1985, al cual corresponde un valor de z0.30=-0.52. El valor de z
es negativo porque el punto percentil se encuentra del lado izquierdo de la media.
Finalmente, se convierte el valor de z al valor que se requiere de X.
Por lo tanto,
X = µ + zσ
X =45+(-0.52)(8.0)=45-4.16=48.84 min.
21. Se ha encontrado que el 17% de las personas que entran a un centro comercial realizan
cuando menos una compra. Para una muestra de n =50 personas, ¿cuál es la
probabilidad de que cuando menos 40 de ellas realicen una o más compras?.
Puede utilizarse la aproximación normal del valor binomial de probabilidad que se
requiere porque n >30, np >5 y nq >5
µ = np = (50)( 0.70) = 35.0
σ = npq = (50)( 0.70)( 0.30) = 10.5 = 3.24
PBinomial( X ≥ 40 | n = 50, p = 0.70) ≅ PNormal ( X ≥ 39.5 | µ = 35.0,σ = 3.24)
X − µ 39.5 − 35.0 4.5
=
=
= +1.39
σ
3.24
3.24
P( X ≥ 39.5) = P( z ≥ +1.39) = 0.5000 − 0.4177 = 0.0823
z=
22. Para la situación que se describe en el problema 21, ¿cuál es la probabilidad de que
menos de 30 de entre 50 personas muestreadas realicen cuanto menos una compra?.
Al considerar que, del problema 21, µ = 35.0 y σ =3.24,
P
Binomial
( X ≥ 30 | n = 50, p = 0.70) ≅ P Normal( X ≥ 29.5 | µ = 35.0,σ = 3.24)
X − µ 29.5 − 35.0 − 5.5
=
=
= −1.70
σ
3 .24
3.24
P( X ≥ 29.5) = P( z ≥ −1.70) = 0.5000 − 0.4554 = 0.0446
z=
23. Se sabe que las solicitudes de servicio llegan en forma aleatoria y en forma de proceso
estacionario a un promedio de 5 solicitudes por hora ¿Cuál es la probabilidad de que se
reciban más de 50 solicitudes de servicio durante un turno de 8 horas?
Como la media del periodo de 8 horas para este proceso de Poisson excede λ = 10,
puede utilizarse la distribución normal de probabilidad para aproximar el valor de
probabilidad Poisson. Como
P
Binomial
µ = λ = 40.0 y σ = λ = 40. = 6.32 ,
( X > 50 | λ = 40.0) ≅ P Normal ( X ≥ 50.5 | µ = 40.0, σ = 6.32)
z=
X − µ 50.5 − 40.0 10.5
=
=
= +1.66
σ
6.32
6.32
P( X ≥ 50.5) = P( z ≥ +1.66) = 0.5000 − 0.4515 = 0.0485
24. Con referencia al problema 23, ¿cuál es la probabilidad de que se reciban en un turnode8
horas, 35 solicitudes de servicio?
Como
P
Binomial
( X > 50.5 | λ = 40.0) ≅ P Normal( X ≥ 35.5 | µ = 40.0,σ = 6.32)
X − µ 35.5 − 40.0 − 4.5
=
=
= −0.71
σ
6.32
6.32
P( X ≥ 35.5) = P( z ≥ −0.71) = 0.5000 − 0.2612 = 0.2388
z=