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Capítulo IX
CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA
9.1
INTRODUCCIÓN
La Cinemática se ocupa del movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que
originan dicho movimiento. Es decir, estudiaremos el movimiento de los cuerpos o partículas sin
considerar las fuerzas que actúan sobre ellos.
La Cinemática, a veces llamada geometría del movimiento, constituye una parte importante
del estudio de la Mecánica, por su aplicación a problemas en los que sólo intervienen movimientos
de partes de una máquina.
Para el estudio de la Cinemática, primero abordaremos la cinemática de partículas,
considerando los casos de un movimiento rectilíneo y de un movimiento curvilíneo en los diversos
sistemas de coordenadas, y luego estudiaremos la cinemática de cuerpos rígidos, considerando
situaciones en diferentes sistemas de coordenadas. Para ello es suficiente conocer y aplicar las
ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración.
9.2
CONCEPTO DE CINEMÁTICA
Parte de la Mecánica de Cuerpos rígidos que estudia el movimiento de los
cuerpos sin considerar las causas que originan dicho movimiento.
La Cinemática se divide en:
- Cinemática de partículas.
- Cinemática de cuerpos rígidos.
9.3
CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA
Parte de la cinemática que estudia los aspectos geométricos del movimiento de una
partícula, prescindiendo de su masa y de las fuerzas aplicadas.
9.3.1 Ecuaciones fundamentales de la Cinemática de una partícula
a) Para un movimiento rectilíneo de una partícula
Consideremos una partícula en movimiento a través de la trayectoria rectilínea mostrada


en la figura. Si la velocidad de la partícula, en las posiciones S 0 y S , son V0 y V ,
respectivamente, se cumplen las ecuaciones que se muestran en el cuadro siguiente.
146
Punto de referencia




a
V0
V
Trayectoria
d  s
s0
s
Aceleración variable
Aceleración constante



dV
a
dt



1
s  s0  V0 t  a t 2
2
ds
V
dt






a d s V dV

 


V  V0 ( a  0 )
a = Constante


Velocidad constante



s  s0  V0 t


V 2  V02  2 a ( s  s0 )


V 2  V02

V  V0
b) Para un movimiento curvilíneo de una partícula
Para el estudio del movimiento curvilíneo de una partícula vamos a considerar primero el
caso de coordenadas cartesianas, luego coordenadas normales y tangenciales, y
finalmente coordenadas cilíndricas y coordenadas polares.
b.1 En coordenadas cartesianas (x, y, z)
z
Ecuación de la posición:

s
Magnitud de
V

r : r  x2  y2  z 2




V  Vx i  Vy j  Vz k
z

Magnitud de

i

Ecuación de la velocidad:
r
k





r  x i  y j z k

V : V  Vx2  V y2  Vz2
y
j
x
Ecuación de la aceleración:

y



a  ax i  a y j  az k

x
Magnitud de
a : a  a x2  a y2  a z2
147
Las ecuaciones escalares de las componentes de la velocidad y la aceleración, en
coordenadas cartesianas, se indican en el cuadro siguiente:







dx
dt
a x  x  Vx

dy
dt
a y  y  Vy

dz
dt
a z  z  Vz
Vx  x 
Vy  y 
Vz  z 
Caso particular: Movimiento de un proyectil
El movimiento de vuelo libre (sin presencia del aire) de un proyectil se estudia en términos
de sus componentes rectangulares, dado que la aceleración del proyectil siempre actúa en
dirección vertical, esta aceleración se considera constante e igual a g = 9,81 m/s2 o
g = 32,2 pie/s2.
y
Ecuaciones escalares
movimiento horizontal:

V( x )

V( y )

Donde:
Vy (0)


a  g j

y
Vx (0)
el
x  x0  Vxt

V0
para
Vx  Vx (0)  V0 cos  cte
Ecuaciones escalares
movimiento vertical:
para
el
Vy  Vy (0)  gt
y0
x0
x
x
1
y  y0  Vy (0)  gt 2
2
Vy2  Vy2(0)  2 g ( y  y0 )
148
b.2 En coordenadas normales y tangenciales (n-t)
Recta en la dirección
normal (n)
Recta en la dirección
tangencial (t)

a

V


an
at
Sistema de coordenadas inerciales
Si una partícula se mueve sobre una curva conocida, la ecuación de la aceleración se
puede escribir en función de sus componentes normal y tangencial, como se indica a
continuación:



a  a n  at
O también:



a  a n n  at t
La magnitud de la aceleración de la partícula está dada por:
a  a n2  at2
Dónde:
an 
* El radio de curvatura
ecuación siguiente:
V2

;
at 
dV
dV
V
dt
ds
 , en un punto de la trayectoria curvilínea, se calcula con la
  dy  2 
1    
  dx  
 
d2y
dx 2
3/ 2
149
b.3 En coordenadas cilíndricas (r, , z)
Ecuación de la posición:
z



rp  r r  z z

VZ
Ecuación de la velocidad:

V




V  Vr r  V   Vz z


rp
Vr
Dónde:


Ecuación de la aceleración:
z


Vr  r ; V  r  ; Vz  z
y




a  a r r  a   a z z

r
Dónde:



 
ar  r  r ( )2 ; a  r   2 r 
x

az  z
Nota: Si z = 0, entonces tenemos coordenadas polares.
Las ecuaciones correspondientes en este caso son:


Ecuación de la posición:
r rr
Ecuación de la velocidad:
V  Vr r  V 



Magnitud de la velocidad: V  Vr2  V2
Dónde:


Vr  r ; V  r 

Ecuación de la aceleración:


a  ar r  a 
Magnitud de la aceleración: a  ar2  a2
Dónde:



 
ar  r  r ( )2 ; a  r   2 r 
150
9.4
PROBLEMAS RESUELTOS DE CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA
PROBLEMA Nº 1
Una partícula recorre una línea recta de tal forma que la magnitud de su velocidad viene dada por
V  60 (1  e t ) pies / s , en donde t se expresa en segundos. Determine la distancia recorrida
cuando t  3 s y la magnitud de su aceleración en ese instante.
Resolución
En un movimiento rectilíneo de partículas, la ecuación de V viene dada por: V 
ds
dt
Reemplazando V  60 (1  e t ) en esta ecuación, tenemos:
60 (1  e t ) 
t
A continuación integramos:
ds
dt
 60 (1  e
t
60 (1  e t ) dt  ds
S
) dt   ds
0
s  60 (t  e t  1)
0
Evaluando para t  3 s , obtenemos que la distancia recorrida es:
s  122,98 pies
Para calcular la magnitud de la aceleración cuando t  3 s utilizamos la ecuación: a 
Entonces: a 
dV
dt
d [60(1  e t )]
 60 e t
dt
Evaluando para t  3 s , obtenemos que la magnitud de la aceleración es:
a  2,99 pies / s 2
PROBLEMA Nº 2
Si una partícula recorre una línea recta de tal modo que durante un breve intervalo de tiempo
2 s  t  6 s , su movimiento se describe por V  (4 / a) pies / s , en donde a se expresa en
pies / s 2 . Si V  6 pies / s y s  10 pies cuando t  2 s , determine la magnitud de la aceleración y
la posición de la partícula cuando t  3 s .
Resolución
Para calcular la magnitud de la aceleración cuando t  3 s utilizamos la ecuación: a 
dV
dt
De la condición dada: V  (4 / a) pies / s , despejamos a y obtenemos: a  (4 / V )
Reemplazando este valor de a en la ecuación inicial, tenemos:
4 dV

V
dt
V dV  4 dt
151
V
t


A continuación integramos: V dV  4 dt
6
V  8t  20
2
Evaluando para t  3 s , obtenemos que: V  44 pies / s
Por lo tanto, la magnitud de la aceleración cuando t  3 s es: a 
4
4

 0,603 pies / s 2
V
44
Para calcular la posición de la partícula cuando t  3 s , utilizamos la ecuación: V 
8t  20 
En esta ecuación reemplazo V  8t  20 y tenemos:
3

Integrando esta última ecuación, tenemos:
ds
dt
ds
dt
8t  20 dt  ds
s
8t  20 dt   ds
2
s = 16,32 pies
10
PROBLEMA Nº 3



El movimiento curvilíneo de una partícula está dado por r  [8t 2 i  (t 3  5) j ] m , en donde t se
expresa en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración de la partícula
cuando t  3 s . Asimismo, determine la ecuación y  f (x) de la trayectoria.
Resolución

Sabemos que la ecuación de r , en coordenadas cartesianas y en el plano, viene dada por:



r  ( x i  y j)



Comparando esta ecuación con la dada en el enunciado: r  [8t 2 i  (t 3  5) j ] m , tenemos que:
x  8t 2 ,
* Recuerde que si derivamos
y  (t 3  5)
x e y obtenemos las componentes V X y VY de la velocidad.
Cálculo de “V” (magnitud de la velocidad) y “a” (magnitud de la aceleración) cuando t = 3s
En coordenadas cartesianas y en el plano, la magnitud de la velocidad viene dada por:
V  V X2  VY2 . . . (1)
Dónde:
VX 
dx 
x
dt
V X  16 t
VY 
dy 
y
dt
VY  3t 2
Reemplazando en (1), tenemos: V  (16t ) 2  (3t 2 ) 2
152
Evaluando V para t  3 s obtenemos que:
V  55,07 m / s
Para calcular la magnitud de la aceleración, en coordenadas cartesianas y en el plano, utilizamos:
a  a X2  aY2 . . . (2)
Dónde:
aX 
dV X 
x
dt
a X  16
aY 
dVY 
y
dt
aY  6t
Reemplazando en (2), tenemos: a  (16) 2  (6t ) 2
Evaluando a para t  3 s obtenemos que:
a  24,08 m / s 2
Cálculo de la ecuación y  f (x) de la trayectoria
De la condición del problema, tenemos que: x  8t 2 ,
y  (t 3  5)
de la ecuación de x :
Despejamos t
x  8t 2

t
x
8
Luego, reemplazamos t en función de x en la ecuación de y y obtenemos la ecuación y  f (x)
de la trayectoria.
y  (t 3  5)

 x
y 
8
3/ 2
5
PROBLEMA Nº 4
Un automóvil recorre una pista circular cuyo radio es de 250 pies de tal forma que su rapidez,
durante un breve intervalo de tiempo
0  t  4 s , es V  3(t  t 2 ) pies / s , donde t se expresa
en segundos. Determine la magnitud de la aceleración cuando
recorrido desde
t  3 s . ¿Qué distancia habrá
t  0 hasta t  3 s ?
Resolución
En un movimiento curvilíneo la magnitud de la aceleración, en coordenadas n-t, viene dada por:
t
a  a n2  at2
. . . (1)
n

V

Dónde:
an 
V
2

y
at 
dV
dt

an

at
153
Para calcular a n primero hallo
en
V utilizando la ecuación V  3(t  t 2 ) . Evaluando esta ecuación
t  3 s obtenemos V  36 pies / s . Luego:
an 
Para calcular a t derivo
V2


(36 pies / s) 2
250 pies
an  5,184 pies / s 2
V respecto al tiempo, luego evalúo para t  3 s y obtengo:
at  21 pies / s 2
Reemplazamos los valores a n y a t en la ecuación (1):
a  21,6 pies / s 2
a  (5,184) 2  (21) 2
Para calcular la distancia recorrida desde
Por condición del problema
t  0 hasta t  3 s , utilizo: V 
ds
. . . (2)
dt
V  3(t  t 2 ) . Si a continuación reemplazamos V en la ecuación
(2), y luego integramos y despejamos
s  40,5 pies
s , obtenemos:
PROBLEMA Nº 5
Una partícula describe la trayectoria
r  2 ft . Si   t 2 rad , calcule:
a) La velocidad de la partícula cuando
  600 .
Aplicar coordenadas polares y comprobar el
resultado aplicando coordenadas cartesianas.
b) La aceleración de la partícula cuando
  600 .
Aplicar coordenadas polares y comprobar el
resultado aplicando coordenadas cartesianas
Resolución
Datos:
y

  (2t ) rad / s

  (t ) rad
2

  2 rad / s 2
r

r  (2 ) ft  (2t 2 ) ft

r  (4t ) ft / s

  600
r  4 ft / s 2
x
154

V cuando   600
a) Cálculo de
Primero hallo “t” cuando
  600  ( / 3) rad . Para ello aplico la condición:   (t 2 ) rad
Igualando valores de “  ” tenemos:
( / 3) rad  (t 2 ) rad
t  1,023 s

a.1) Hallo
V en coordenadas polares:

 
 
Se sabe:
V  r r  r 
Luego:
V  4t r  (2t 2 ) (2t )  . . . (1)

Reemplazando


t  1,023 s en la ecuación (1), obtenemos:




V  (4,092 r  4,282  ) m / s
V  5,92 m / s
En la figura siguiente se muestra el vector velocidad y sus componentes en coordenadas

polares.
V
y


V
Vr
r
  600
x

a.2) Hallo
V en coordenadas cartesianas:
Cuando el movimiento se realiza en el plano, se cumple que:



 
 
V  Vx i  V y j  x i  y j . . . (2)

Para hallar

x y y debemos recordar que:
y
x  r cos
y  r sen
y
r

x
x
155
Luego:




x  r (sen )  r cos  2t 2 ( 3 / 2)2t  4t (1/ 2)




y  r (cos )  r sen
y  5,685 m / s



Reemplazamos
x  1,6626 m / s



x y y en (2): V  (1,6626 i  5,685 j ) m / s
V  5,92 m / s

a cuando   600
b) Cálculo de
b.1) En coordenadas polares:

Se sabe:




 

a  ( r  r ( ) 2 ) r  (r   2 r  ) . . . (3)




a  (4  2t 2 (2t ) 2 ) r  (2t 2 (2)  2(4t )2t )


a  (4,76 r  20,93 ) m / s 2

Magnitud de la aceleración: a  21,46 m / s
2
En la figura siguiente se muestra el vector aceleración y sus componentes en coordenadas
polares.

a
y

a

ar
r
  600
x
b.2) En coordenadas cartesianas:
Para un movimiento en el plano se cumple:



 
 
a  a x i  a y j  x i  y j …(4)

Hallando


x y y se obtiene que: x  20,51m / s

Reemplazando en (4), tenemos:


2
y

y  6,34 m / s 2
a  (20,51 i  6,34 j ) m / s 2


a  21,46 m / s 2
156
PROBLEMA Nº 6

Un caballo en un carrusel se mueve de acuerdo con las ecuaciones r  8 pies ,   2 rad / s y
z  (1,5 sen ) pies , donde t se expresa en segundos. Determine las magnitudes de la
velocidad y aceleración máximas y mínimas del caballo durante su movimiento.
Resolución
Según el enunciado el movimiento curvilíneo esta dado en coordenadas cilíndricas, por lo tanto la
magnitud de la velocidad viene dada por:
V  Vr2  V2  VZ2
. . . (1)
V y V z necesito conocer la primera y segunda derivada de r , z , así como
Para calcular Vr ,
la segunda derivada de  . Estas derivadas, son:





r  0 ; r  0 ;   0 ; z  1,5 cos  ( ) ;


z  1,5 sen ( )
Luego:

Vr  0
Vr  r

V  r 
V  8 (2) pies / s 16 pies / s


Vz  1,5 cos  ( )  3 cos  pies / s
Vz  z
Reemplazando en (1) tenemos:
V  0 2  (16) 2  (3 cos  ) 2
De esta última ecuación se concluye que los valores mínimo y máximo de V son:
VMINIMA  16 pies / s
VMAXIMA  16,27 pies / s
;
Para calcular la magnitud de la aceleración, utilizamos:
a  ar2  a2  a Z2
. . . (2)
Donde:


a r  r  r ( ) 2

ar  0  8(2) 2  32 pies / s 2
 
a  r   2 r 

az  z
a  0

a z  3 sen ( )  6 sen pies / s 2
Reemplazando en (2) tenemos:
a  (32) 2  (6 sen ) 2
De esta última ecuación se concluye que los valores mínimo y máximo de a son:
aMINIMA  32 pies / s 2
;
aMAXIMA  32,5576 pies / s 2
157