datos no en función del tiempo

CINEMÁTICA:
MOVIMIENTO TRIDIMENSIONAL,
DATOS NO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO.
Un punto se mueve en el plano XY con una aceleración a constante en el sentido negativo del
eje Y. La ecuación de la trayectoria de la partícula es y = α x − β x 2 , donde α y β son
constantes positivas. Determinar la velocidad de la partícula en el origen de coordenadas.
Solución: I.T.T. 97, 03
Se trata de un movimiento parabólico. Si ponemos a cero nuestro cronómetro cuando la
partícula se encuentra en el origen (t 0 = x 0 = y0 = 0) las ecuaciones del movimiento
serán:
x( t) = v 0,x t
⎫
⎪⎪
⎬
1 2 ⎪
y (t ) = v 0,y t − at ⎪
2
⎭
⇒
x
⎧
t=
⎪
v 0,x
⎪
⎨
⎛ v 0,y ⎞
1 ⎛ a ⎞ 2
⎪
⎪ y( x ) = ⎜⎝ v ⎟⎠ x − 2 ⎜⎝ v 2 ⎟⎠ x
0,x
0,x
⎩
Comparando con la ecuación de la trayectoria del enunciado tenemos que:
v 0,y
α=
v 0,x
1 ⎛ a ⎞
, β = ⎜ 2 ⎟
2 ⎝ v 0,x ⎠

v0 =
⇒
a ˆ
( i + α ˆj ) , v 0 =
2β
a(1+ α 2 )
2β
Una partícula se mueve a lo largo de la parábola y = x 2 de modo que en cualquier instante
vx = 3ms-1. Calcule la magnitud y la dirección de la velocidad y la aceleración de la partícula
en el punto x 0 = 2 3 m .
Solución: I.T.I. 96, 01, 04, I.T.T. 96, 00, 01, 04
El vector de posición de la partícula en su movimiento a lo largo de la parábola será:





r = x i + y j = xi + x2 j
Derivando obtendremos el vector velocidad:

 dr dx 
dx 
v=
=
i + 2x
j
dt dt
dt
⇒
vx =
dx
= 3 m / s, v y = 2x v x
dt
En el momento en que la posición sea x 0 = 2 3 m :
v x ( x 0 ) = 3m / s, v y ( x 0 ) = 4m / s
Física
Cinemática
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El módulo de la velocidad será:
v ( x 0 ) = v x2 ( x 0 ) + v y2 ( x 0 ) = 5m / s
(ta ) ≈la0.306m
v r (que
ta ) ≈formará
−0.486la
m velocidad
/ s , vθ con
/ s será:
El ángulo
horizontal
tg ⎡⎣θ ( x0 ) ⎤⎦ =
vy ( x0 )
vx ( x0 )
=4 3
⇒
θ (x 0 ) ≈ 53º 8ʹ′
v r (ta ) ≈ −0.486 m / s ,
vθ (ta ) ≈ 0.306m / s
Para obtener la aceleración derivamos la velocidad:


 dv dvx  dv y  dv x  d(2x v x ) 
dx 
2 
a=
=
i+
j=
i+
j = 2v x
j = 2v x j = 18 j m / s2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
v r (ta ) ≈ −0.486 m / s

Una partícula se mueve en el plano XY con una velocidad v = a iˆ + bx ˆj , siendo a y b
constantes. En t = 0 la partícula se encuentra en el origen de coordenadas. Hallar: a) la
ecuación de la trayectoria y dibujarla, b) el radio de curvatura en función de x.
Solución: I.T.I. 97
Texto solución
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,
vθ (ta ) ≈ 0.
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