Curvas Paramétricas en matlab

Ing. Pedro Arias Quintero
El conjunto C={(x,y,z)∈R^3 /x=x(t),y=y(t),z=z(t),t∈I} se llama
curva en el espacio. Las ecuaciones x=x(t), y=y(t), z=z(t), t∈I, se
llaman ecuaciones paramétricas de C y t el parámetro. En
algunos casos es convenientes parametrizar la curva mediante el
parámetro longitud de arco.
El vector posición de cada punto de la curva es la función
vectorial de la curva. El vector r′(t)=(x′(t),y′(t),z′(t));t∈I, es el
vector tangente (o vector velocidad) de la curva en t. Curva
regular es aquella que tiene recta tangente en cada punto de la
curva, es decir, r’(t) ≠ 0
para todo t∈I.
Ejemplos
1. Hélice circular recta. Sus ecuaciones
paramétricas son
x=sen(t), y=cos(t), z=t, t ∈[0,10π ] .
La curva C es la que envuelve al cilindro S:x²+y²=1.
Vamos a graficar C de dos formas.
Usando plot3
t=0:pi/50:10*pi; %la longitud del intervalo es
opcional
plot3(sin(t),cos(t),t)
grid on
axis Square.


Otra opción. ezplot3, para ello declaramos
simbólicamente al parámetro t.
syms t
x=cos(t);
y=sin(t);
z=t./(2*pi);
ezplot3(x,y,z,[0,10*pi],'animate')
% sobre la curva C recorre un punto de color rojo
con una velocidad proporcional a su módulo.
t=linspace(0,10*pi,101);
x=inline('cos(t)');
y=inline('sin(t)');
z=inline('t/(2*pi)');
plot3(x(t),y(t),z(t))% gráfica de la hélice.
hold on
for s=linspace(0,10*pi,20)
quiver3(x(s),y(s),z(s),-y(s),x(s),1/(2*pi)) % grafica los vectores tangentes
end
hold off
view(135,45)
Existen muchos casos donde no se puede visualizar la
curva que resulta de la intersección de dos superficies.
Ejemplos
1. La intersección de los cilindros: z=x² , z=4-y² es una curva en el espacio. Vamos a
graficar las dos superficies y luego su curva intersección.
Gráfica de las superficies
[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2);
z=x.^2; mesh(x,y,z) % grafica el primer cilindro
hold on % autoriza a la otra gráfica
z=4-y.^2; %segundo cilindro
mesh(x,y,z)
t=0:pi/32:2*pi;
u=2*cos(t);
v=2*sin(t);
w=4*(cos(t)).^2;
plot3(u,v,w,'r')
Para obtener la proyección
de esta curva al plano XY,
reemplazar w=0*ones(1,65);