Teoría de la Capa Límite Laminar - Universidad Politécnica de Madrid

Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
Introducción
Órdenes de
magnitud
Teorı́a de la Capa Lı́mite Laminar
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Miguel Hermanns
Universidad Politécnica de Madrid, España
4 de diciembre de 2006
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Introducción
Miguel Hermanns
Introducción
Σ
U
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
L
ρ, µ y U constantes
Si el número de Reynolds es grande
ρUL
Re =
1
µ
se obtienen las ecuaciones de Euler incompresibles
∇ · v = 0,
ρv · ∇v = −∇p +∇ · τ
con las siguientes condiciones de contorno:
x ∈ Σ : v · n = 0, v · t = 0
|x| → ∞ : v → U, p → p∞
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Ludwig Prandtl
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
Introducción
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Antes the 1904:
Los teóricos y los experimentalistas no se entendı́an
La teorı́a y los experimentos no coincidı́an
No era posible predecir la resistencia aerodinámica
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
El concepto de capa lı́mite
Miguel Hermanns
δ
Introducción
Σ
U
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
L
ρ, µ y U constantes
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
El flujo no cumple la condición v = 0:
x ∈ Σ : |v| = ue (x)
⇒
1
1
pe + ρue2 = p∞ + ρU 2
2
2
Aparece una capa lı́mite, de espesor δ L, en la cual
la viscosidad no es despreciable
A través de la capa lı́mite la velocidad decae hasta cero
Efecto del la
succión/soplado
Multiplicidad de las soluciones no viscosas
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
Las ecuaciones de Euler presentan infinitas soluciones, y
además no predicen la fuerza que actúa sobre el cuerpo:
Introducción
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
D=0
D=0
D 6= 0
No se obtiene automáticamente la solución de las
ecuaciones de Navier-Stokes correspondiente al lı́mite de
Re → ∞
⇒ Hay que tener en cuenta la capa lı́mite
Efecto del la
succión/soplado
Análisis de los órdenes de magnitud
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
Introducción
Órdenes de
magnitud
U
8
p
ρ, µ
y
y
x
y
x
Ecuaciones de
capa lı́mite
x
O
δ
L
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Uso de las coordenadas de capa lı́mite (x, y )
Curvaturas moderadas de la superficie: (R ∼ L)
Flujo plano e incompresible con viscosidad constante
Análisis de los órdenes de magnitud
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
U
8
p
ρ, µ
y
y
x
Introducción
y
x
Órdenes de
magnitud
x
O
δ
Flujo sobre una
placa plana
L
Efecto del
gradiente de
presiones
Ecuación de continuidad:
∂u
∂v
+
=0
∂x
∂y
U
vc
∼
L
δ
Velocidad transversal caracterı́stica en la capa lı́mite:
vc ∼ U
Ecuaciones de
capa lı́mite
δ
U
L
Efecto del la
succión/soplado
Análisis de los órdenes de magnitud
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
U
8
p
ρ, µ
y
y
x
Introducción
y
x
x
O
Órdenes de
magnitud
δ
L
Ecuación de cantidad de movimiento según x:
2
∂u
∂u
1 ∂p
∂ u
∂2u
u
+v
=−
+ν
+
∂x
∂y
ρ ∂x
∂x 2
∂y 2
U2
Uvc
∆x p
U
U
∼
ν 2 ν 2
L
δ
ρL
L
δ
Espesor caracterı́stico de la capa lı́mite:
r
νL
L
δ∼
= 1/2 L
U
Re
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Análisis de los órdenes de magnitud
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
U
8
p
ρ, µ
y
y
x
Introducción
y
x
x
O
Órdenes de
magnitud
δ
L
Ecuación de cantidad de movimiento según y :
2
2
∂v
∂v
u
∂ v
1 ∂p
∂2v
u
+v
+O
=−
+ν
+
∂x
∂y
R
ρ ∂y
∂x 2
∂y 2
∆y p
Uvc
vc2
U2
vc
vc
∼
ν 2 ν 2
L
δ
L
ρδ
L
δ
Variaciones de presión a través de la capa lı́mite:
∆y p ∼ ρU 2
δ
ρU 2 ∼ ∆x p
L
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Análisis de los órdenes de magnitud
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
U
8
p
ρ, µ
y
y
x
Introducción
y
x
Órdenes de
magnitud
x
O
δ
Flujo sobre una
placa plana
L
Resumen del análisis de los órdenes de magnitud:
vc ∼
δ∼
U
Re1/2
L
Re1/2
Ecuaciones de
capa lı́mite
∆x p ∼ ρU 2
∆y p ∆x p
La presión no varı́a a través de la capa lı́mite:
p(x, y ) = pe (x)
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Ecuaciones de capa lı́mite
Ecuaciones de Navier-Stokes simplificadas:
Miguel Hermanns
Introducción
∂u ∂v
+
=0
∂x
∂y
∂u
1 dpe
∂2u
∂u
+v
=−
+ν 2
u
∂x
∂y
ρ dx
∂y
Condiciones de contorno e ”inicial”:
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
u(x, y = 0) = 0
v (x, y = 0) = 0
u(x = 0, y ) = u0 (y )
u(x, y δ) = ue (x)
Ecuación de la región exterior:
ue
Órdenes de
magnitud
due
1 dpe
=−
dx
ρ dx
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Ecuaciones de capa lı́mite
Miguel Hermanns
Ecuación de capa lı́mite para la función de corriente ψ:
∂3ψ
∂ψ ∂ 2 ψ
∂ψ ∂ 2 ψ
1 dpe
−
=
−
+
ν
∂y ∂x∂y
∂x ∂y 2
ρ dx
∂y 3
Condiciones de contorno e ”inicial”:
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
ψy (x, y = 0) = 0
ψ(x, y = 0) = 0
ψy (x = 0, y ) = u0 (y )
ψy (x, y δ) = ue (x)
Ecuación de la región exterior:
ue
Introducción
due
1 dpe
=−
dx
ρ dx
Efecto del la
succión/soplado
Propiedades de las ecuaciones de capa lı́mite
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
El problema planteado es parabólico
Introducción
Las soluciones no cumplen que v → 0 cuando y → ∞
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Sus soluciones no dependen del número de Reynolds:
ũ =
u
,
U
x̃ =
x
,
L
p̃ =
U
vc = √ ,
Re
p
,
ρU 2
v̄ =
v
,
vc
ȳ =
y
δ
L
δ=√
Re
∂ũ ∂v̄
+
= 0,
∂x̃
∂ȳ
∂ũ
∂ũ
dp̃e
∂ 2 ū
ũ
+ v̄
=−
+ 2,
∂x̃
∂ȳ
dx̃
∂ȳ
ũ(x̃, ȳ = 0) = 0
v̄ (x̃, ȳ = 0) = 0
ũ(x̃, ȳ → ∞) = ũe (x̃)
ũ(x̃ = 0, ȳ ) = ũ0 (ȳ )
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Resultados de la capa lı́mite
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
Proporciona el esfuerzo de fricción en la pared:
ρU 2
U
∂u ∼
τw = µ
∼
µ
∂y y =0
δ
Re1/2
Proporciona el punto de separación de la capa lı́mite:
⇒ Resuelve el problema de la multiplicidad de soluciones
⇒ Determina la fuerza que actúa sobre el cuerpo
Criterio de separación de la capa lı́mite: τw = 0
Introducción
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Resultados de la capa lı́mite
Miguel Hermanns
Proporciona el espesor de la capa lı́mite:
Introducción
⇒ Espesor δ(x) basado en percentiles:
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
u(x, y = δ(x)) = 0.99ue (x)
Flujo sobre una
placa plana
⇒ Espesor de desplazamiento δ ∗ (x):
Z ∞
u
∗
δ =
1−
dy
ue
0
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
y = Y + δ∗
y =H
y =Y
U
x
ue (x)
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Flujo sobre una placa plana
Miguel Hermanns
U
p∞
x
≈
Introducción
y
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Ecuaciones de Euler:
∇ · v = 0,
ρv · ∇v = −∇p
Condiciones de contorno:
y → ∞ : u = U, v = 0, p = p∞
x > 0, y = 0 : v = 0
Solución:
u = U, v = 0, p = p∞
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Capa lı́mite sobre una placa plana
Miguel Hermanns
U
Introducción
8
p
Órdenes de
magnitud
δ (x)
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Ecuaciones de capa lı́mite y condiciones de contorno:
∂u ∂v
+
=0
∂x
∂y
∂u
∂u
1 dpe
∂2u
u
+v
=−
+ν 2
∂x
∂y
ρ dx
∂y
x > 0, y = 0 : u = 0, v = 0
y →∞:u=U
x = 0 : u = u0 (y ) = U
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Capa lı́mite sobre una placa plana
Miguel Hermanns
U
Introducción
p
8
Órdenes de
magnitud
δ (x)
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Ecuaciones de capa lı́mite y condiciones de contorno:
∂ψ ∂ 2 ψ
1 dpe
∂3ψ
∂ψ ∂ 2 ψ
−
=
−
+
ν
∂y ∂x∂y
∂x ∂y 2
ρ dx
∂y 3
x > 0, y = 0 : ψy = 0, ψ = 0
y → ∞ : ψy = U
x = 0 : ψy = u0 (y ) = U
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Capa lı́mite sobre una placa plana
Miguel Hermanns
U
Introducción
8
p
Órdenes de
magnitud
δ (x)
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
No existe longitud caracterı́stica L (L ⇔ x):
u
∂u
∂u
∂2u
+v
=ν 2
∂x
∂y
∂y
2
U
Uvc
U
∼
∼ ν 2
x
δ
δ
Espesor caracterı́stico de la capa lı́mite:
r
√
νx
δ∼
⇒ ψc ∼ Uδ ∼ νUx
U
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Solución de Blasius
Miguel Hermanns
U
Introducción
8
p
Órdenes de
magnitud
δ (x)
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
El problema de capa lı́mite a resolver es:
∂ψ ∂ 2 ψ
∂ψ ∂ 2 ψ
∂3ψ
−
=
ν
∂y ∂x∂y
∂x ∂y 2
∂y 3
Este problema admite solución de semejanza:
r
√
U
, ψ = 2νUxf (η)
η=y
2νx
La ecuación a resolver será:
f 000 + ff 00 = 0,
f (0) = f 0 (0) = 0,
f 0 (∞) = 1
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Solución de Blasius
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
Las componentes de la velocidad vienen dadas por:
r
νU
0
ηf 0 − f
u = Uf (η), v =
2x
Introducción
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Solución de Blasius
Miguel Hermanns
Introducción
experimental
perfil de Blasius
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Solución de Blasius
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
Introducción
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Solución de Blasius
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
Esfuerzo local en la pared:
f 00 (0) ρU 2
ρU 2
∂u √
=
0.332
τw = µ
=
1/2
∂y y =0
2 Rex1/2
Rex
Introducción
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Espesor de desplazamiento:
r
Z ∞
u
2νx
x
∗
1−
dy =
δ =
lı́m (η − f ) = 1.721 1/2
U
U η→∞
0
Rex
Velocidad vertical:
r
v∞ (x) =
νU
U
lı́m (η − f ) = 0.860 1/2
2x η→∞
Rex
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Efecto del gradiente de presiones
Miguel Hermanns
u
∂u
∂u
1 dpe
∂2u
+v
=−
+ν 2
∂x
∂y
ρ dx
∂y
due
1 dpe
ue
=−
dx
ρ dx
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Separation
point
τw = 0
Boundary
layers
Efecto del
gradiente de
presiones
Profile point
of inflection
Backflow
δ ( x)
Nearly
inviscid
core flow
Introducción
U(x)
x
U(x)
δ ( x)
Separation
Nozzle:
Decreasing
Throat:
Constant
Diffuser:
Increasing pressure
Dividing
streamline
Efecto del la
succión/soplado
Efecto del gradiente de presiones
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
1 dpe
∂ 2 u =
2
∂y y =0 µ dx
Introducción
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Criterio de separación de la capa lı́mite: τw = 0
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Soluciones de Falkner-Skan
Miguel Hermanns
Si la distribución de velocidades es de la forma
Introducción
ue (x) = Ax
m
⇒
pe (x) ∼ x
2m
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
entonces el problema tiene solución se semejanza:
r
r
m + 1 ue (x)
2
νxue (x)f (η)
η=y
, ψ=
2
νx
m+1
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
La ecuación a resolver será:
f 000 + ff 00 + β(1 − f 02 ) = 0,
f (0) = f 0 (0) = 0,
f 0 (∞) = 1
con el siguiente parámetro:
β=
2m
m+1
U
πβ
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Soluciones de Falkner-Skan
Miguel Hermanns
Introducción
Casos especiales de las soluciones de Falkner-Skan:
Órdenes de
magnitud
β = 0: Solución de Blasius:
r
2νx
ue (x) = U ⇒ δ ∼
U
Ecuaciones de
capa lı́mite
πβ = 0
U
Efecto del
gradiente de
presiones
β = 1: Punto de remanso sobre un cuerpo romo:
r
ue (x) = Ax ⇒ δ ∼
ν
A
Flujo sobre una
placa plana
U
Efecto del la
succión/soplado
π
Soluciones de Falkner-Skan
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
Introducción
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Si β > 0 ⇒ la capa lı́mite se adhiere más a la pared
Si β < 0 ⇒ aparece un punto de inflexión
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Efecto de la succión/soplado
Miguel Hermanns
Sin succión
Con succión
Introducción
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Succión:
Retrasa la separación de la capa lı́mite
Retrasa la transición a la turbulencia
Aumenta los esfuerzos de pared
Soplado:
Favorece la separación de la capa lı́mite
Reduce los esfuerzos de pared
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Efecto de la succión/soplado
Si la distribución de succión/soplado es de la forma
Miguel Hermanns
Introducción
vw (x) = vw∗
U
Órdenes de
magnitud
1/2
Rex
Ecuaciones de
capa lı́mite
entonces el problema tiene solución de semejanza:
r
√
U
η=y
, ψ = 2νUxf (η)
2νx
La ecuación a resolver será:
√
f 000 + ff 00 = 0, f (0) = − 2vw∗ ,
con el siguiente parámetro:
vw∗
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
f 0 (0) = 0,
f 0 (∞) = 1
Efecto de la succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
Introducción
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Si vw∗ < 0 ⇒ la capa lı́mite se adhiere más a la pared
Si vw∗ > 0 ⇒ aparece un punto de inflexión
Para vw∗ = 0.619 se produce la separación
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Efecto de una protuberancia localizada
Miguel Hermanns
Re =
UL
ν
1
U
p∞
Introducción
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
≈
Flujo sobre una
placa plana
L
`L
La teorı́a de capa lı́mite deja de ser válida, por
ejemplo, cerca del borde de salida o cuando hay
desprendimiento
En esos casos la teorı́a del ”Triple-Deck”, o capa
lı́mite interactiva, permite estudiar dichos flujos
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Efecto de una protuberancia localizada
Miguel Hermanns
Re =
UL
ν
1
Órdenes de
magnitud
U
p∞
Ecuaciones de
capa lı́mite
δ∼
≈
Introducción
L
q
νL
U
`L
La longitud ` de la protuberancia es pequeña frente a
la longitud de desarrollo L de la capa lı́mite
La altura h de la protuberancia es pequeña frente al
espesor δ de la capa lı́mite
Flujo plano e incompresible con viscosidad constante
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Efecto de una protuberancia localizada
Miguel Hermanns
Re =
UL
ν
1
Órdenes de
magnitud
U
p∞
Ecuaciones de
capa lı́mite
δ∼
≈
Introducción
L
q
νL
U
`L
Como la longitud de la protuberancia es pequeña, ` L,
u
∂u
∂2u
∂u
+v
=ν 2
∂x
∂y
∂y
U2
Uvc
U
∼
ν 2
`
δ
δ
la viscosidad no actúa en la mayorı́a de la capa lı́mite (y ∼ δ)
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Efecto de una protuberancia localizada
Miguel Hermanns
Re =
UL
ν
1
Órdenes de
magnitud
U
p∞
Ecuaciones de
capa lı́mite
δ∼
≈
uc
q
νL
U
δv δ
L
`L
La viscosidad sólo actúa en una subcapa viscosa de espesor
δv , donde la velocidad caracterı́stica es uc ∼ (U/δ)δv U:
u
Introducción
∂u
∂u
∂2u
+ v
=ν 2
∂x
∂y
∂y
uc2
uc vc
uc
∼
∼ ν 2 ⇒ δv ∼ δ
`
δv
δv
1/3
`
L
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Efecto de una protuberancia localizada
Miguel Hermanns
v = ∇φ
∇2 φ = 0
U
Re =
UL
ν
1
Órdenes de
magnitud
u = U + δu
v = δv
p = p∞ + δp
p∞
Ecuaciones de
capa lı́mite
A(x) ∼ δv
δ∼
≈
uc
q
νL
U
δv ∼ h
`L
L
∼`
δv
`
⇒
δp ≈ −ρUδu ∼ ρU 2
La corriente exterior es irrotacional
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
La protuberancia de altura h ∼ δv desplaza verticalmente
la capa lı́mite una distancia A(x) ∼ δv e induce
perturbaciones en la corriente exterior:
(δu, δv ) ∼ U
Introducción
δv
`
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Efecto de una protuberancia localizada
Miguel Hermanns
v = ∇φ
∇2 φ = 0
U
Re =
UL
ν
1
Órdenes de
magnitud
u = U + δu
v = δv
δp ∼ ρU 2 δv /`
p∞
Ecuaciones de
capa lı́mite
A(x) ∼ δv
δ∼
≈
uc
q
νL
U
δv ∼ h
L
`L
∼`
Las perturbaciones en la presión δp afectarán a la delgada
subcapa viscosa si:
u
Introducción
∂u
∂u
1 ∂p
∂2u
+ v
=−
+ ν 2
∂x
∂y
ρ ∂x
∂y
2
uc
uc vc
δp
uc
δ2
∼
∼
∼ ν 2 ⇒ δv ∼
`
δv
ρ`
δv
`
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Efecto de una protuberancia localizada
Miguel Hermanns
v = ∇φ
∇2 φ = 0
Re =
U
UL
ν
1
Órdenes de
magnitud
u = U + δu
v = δv
δp ∼ ρU 2 δv /`
p∞
Ecuaciones de
capa lı́mite
A(x) ∼ δv
δ∼
≈
uc
q
νL
U
δv δ
`L
L
∼`
De las dos condiciones anteriores se obtienen las escalas
caracterı́sticas del problema:
1/3
`
δv ∼ δ
L
2
δ
δv ∼
`
⇒
Introducción
`
1
∼ 3/8 1
L
Re
δv
1
∼ 1/8 1
δ
Re
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Efecto de una protuberancia localizada
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
El problema a resolver en la subcapa viscosa es:
Miguel Hermanns
∂u ∂v
+
=0
∂x
∂y
∂u
∂u
1 dp
∂2u
u
+v
=−
+ν 2
∂x
∂y
ρ dx
∂y
donde la presión viene dada por:
Z
ρU 2 ∞ A0 (x1 )
dx1
p=−
π −∞ x − x1
y las condiciones de contorno a imponer son
y = h(x) : u = v = 0
y δv : u = λ [y + A(x)]
x → −∞ : u = λy , v = 0
Las incógnitas del problema son ahora u, v , p(x) y A(x)
Introducción
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado
Efecto de una protuberancia localizada
Teorı́a de la Capa
Lı́mite Laminar
Miguel Hermanns
Introducción
Propiedades del problema en la subcapa viscosa:
El problema ya no es parabólico sino elı́ptico
Admite desprendimientos locales de la capa lı́mite
La teorı́a ”Triple-Deck” también es aplicable a:
Las cercanı́as del punto de separación
La región en torno al borde de salida de un perfil
La interacción de ondas de choque con capas lı́mite
Cambios bruscos de las condiciones de contorno
Órdenes de
magnitud
Ecuaciones de
capa lı́mite
Flujo sobre una
placa plana
Efecto del
gradiente de
presiones
Efecto del la
succión/soplado