Me gustaría entender lo de Fourier

A mí también
Si usted quiere estudiar la fase en el audio, rápidamente se encontrará con algunas
explicaciones referidas a la circunferencia y la señal senoidal, lo cual es más o menos
fácil de entender.
A partir de esto, resulta más sencillo entender la interacción entre dos señales que
experimentan diferencias en este aspecto.
Particularmente, siempre me confunde el contraste con las formas de onda que nos
cruzamos todos los días.
“Ok, está bien lo del círculo y los grados pero, ¿qué pasa con la música, que no
se parece a una onda senoidal?”
Los sinusoides y las circunferencias remiten directamente a un proceso cíclico formado
por dos partes opuestas.
La música me late que no.
Si usted continúa estudiando, es probable que se encuentre con un señor: José Fourier.
Aquí, es donde uno empieza a desayunarse con la idea super extraña de que todo está
hecho de señales senoidales.
Todo.
Toda forma de onda compleja.
Hasta algunas personas podrían estar hechas de senoides, conocidos comúnmente como
“aparatos”.
Por todo lo anterior, y antes de analizar lo del círculo, los grados y la senoidal, voy a
recurrir a distintos autores (y a un experimento barato) para convencerme un poco más
de que todo está fabricado con sinusoides.
(La puerta de salida permanecerá abierta para todo aquél que sienta la necesidad de
acudir a los textos que tratan el tema con la seriedad que se merece).
Los transformistas del sonido
Allá por el 1800 d.c. había un señor, llamado Joseph Fourier, que tuvo una idea: la
Transformada de él.
Hay otro señor, Kalid Azad, que ofrece una explicación muy bella de la Transformada
de Fourier:
http://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/
Kalid habla mucho (mucho) de movimientos circulares y, hacia el final del artículo, nos
regala esta descripción:
Cuya traducción sería:
Tristemente, por más colores que le ponga, formo parte de la humanidad que no sabe
mucha matemática; aunque es bastante alentador que toda la simbología pueda
reescribirse en el lenguaje de nosotros.
La ecuación de ahí arriba sería, aparentemente, la Transformada de Fourier.
Kalid Azad explica que, dada un señal en función del tiempo, la Transformada de
Fourier extrae cada “ingrediente cíclico” (la onda senoidal) y nos da información
sobre la intensidad (amplitud), retraso (fase relativa) y velocidad (frecuencia) de cada
ciclo, dando como resultado una “receta de ciclos” (espectro).
Otras amables palabras pueden leerse en el texto “Time, Frequency, Phase and Delay”
en el sitio de Liberty Instruments (http://www.libinst.com/tpfd.htm).
La diferencia es que aquí, en vez de hablar de senos, hablan de cosenos.
Permítanme extraer y traducir un pequeño párrafo:
“Teoría de Fourier en cinco minutos:
Fourier demostró que cualquier señal en función del tiempo puede, en principio,
construirse a partir de una suma de señales cosenoidales debidamente amplificadas y
retardadas. Esto significa que usted podría, al menos en teoría, tomar una cantidad
enorme de ondas cosenoidales, ponerlas en la entrada de un sistema que sume los
valores de tensión (amplificados y desfasados) en cada instante y recrear, a la salida,
cualquier posible señal en función del tiempo. Recuerde que cada onda cosenoidal varía
entre valores positivos y negativos, y la suma en cada instante puede ser, por lo tanto,
positiva, negativa o cero. Si se siente incómodo con la idea de que su preciada
grabación de la Novena de Beethoven pueda fabricarse, simplemente, con un montón de
generadores de señal senoidal, debo mencionar que esa tarea requeriría una cantidad
infinita de ellos; esto es teoría abstracta.
La Transformada de Fourier, utilizada en muchos analizadores de señal, esencialmente
desarma una forma de onda variable en el tiempo, en las ondas cosenoidales que la
componen.”
Va queriendo.
Finalmente, voy a transcribir algunos pedacitos de la cuarta edición de un libro que se
llama “Master Handbook of Acoustics” de Alton Everest, los cuales dieron lugar a mi
tosco experimento.
“ (…) cualquier onda periódica compleja puede ser sintetizada a partir de ondas
senoidales de diferentes frecuencias, diferentes amplitudes y diferentes relaciones de
tiempo (fase).”
En la página 13 del manual de Alton, hay un gráfico que muestra tres señales senoidales
de distinta frecuencia que se suman para crear una nueva forma de onda (la imagen fue
un poco recortada):
Everest escribe al respecto:
“La onda senoidal simple de la Fig. 1-11A ha sido progresivamente distorsionada a
medida que otras señales senoidales le fueron agregadas. Ya sean estas, ondas acústicas
o señales electrónicas, el proceso puede revertirse. La onda distorsionada de la Fig. 111E puede ser desensamblada, por decirlo así, en los componentes senoidales simples
f1, f2 y f3, ya sea a través de filtros acústicos o electrónicos. Por ejemplo, si se hace
pasar la onda de la Fig. 1-11E a través de un filtro que permita solo f1 y rechace f2 y f3,
la onda senoidal f1 original, de la Fig. 1-11A, emerge en prístina condición.”
Hacia el final del capítulo 1, Alton mete una fotito de la forma de onda de un ruido
aleatorio (ruido blanco) y explica:
“Existe poco parecido visual entre la señal senoidal y el ruido aleatorio, a partir de lo
que muestra el osciloscopio de rayos catódicos; aunque guardan una relación oculta. Se
puede considerar que el ruido aleatorio está formado por componentes senoidales que
cambian constantemente de frecuencia, amplitud y fase. Si usted hace pasar al ruido
aleatorio a través de un filtro estrecho y observa la salida del mismo en un osciloscopio
de rayos catódicos, verá una inquieta onda senoidal que cambia constantemente su
amplitud. Teóricamente, un filtro infinitamente estrecho entregaría una onda senoidal
pura, pero nerviosa.”
Hasta ahora todo indica que los sinusoides serían los responsables de todas las formas
conocidas.
Este último párrafo de Alton fue el que me hizo exclamar: “¡Qué diablos! Voy a filtrar
formas complejas y que sea lo que Dios quiera.”
Entonces, agarré un software de edición de audio que se llama Sound Forge y me generé
un poco de señal cuadrada y un poco de ruido blanco.
La frecuencia de la onda cuadrada es 100 Hz y, según los transformistas, también está
formada por movimientos circulares.
100 Hz es la frecuencia de su senoidal fundamental.
Los demás sinusoides que la componen aparecen en aquellas frecuencias que resultan de
multiplicar a la fundamental por números impares, es decir, 300, 500, 700, etc.
El objetivo del experimento es filtrar la onda cuadrada y el ruido, como decía Everest, y
encontrar así los senoides ocultos.
Para tal fin se utilizó otro programa de edición (perteneciente a una antigua civilización)
que se llama Cool Edit Pro.
Se introdujo la señal cuadrada:
Se ajustó un filtro, como explicaba Everest:
Con las frecuencias de corte inferior en 299 Hz, la superior en 301 Hz y pendientes de
octavo orden, se pretende obtener un filtro pasabanda “estrecho” que solo deje pasar
300 Hercios (el tercer armónico de 100).
A la salida del filtro:
Zoom en el eje de tiempo:
¡300 Hercios!
Debe ser cierto entonces.
El mismo software realiza análisis de frecuencia, es decir, usa la Transformada de
Fourier para mostrarnos los ingredientes espectrales de la señal, y aparecen así todos los
demás armónicos de la fundamental.
A continuación, se repite la operación con el ruido blanco:
El mismo filtro centrado en 300 Hz y:
Oia… ¿qué onda?
Onda nada.
¡No! ¡Espere!
Se aplicó una ganancia de 30dB y:
“Si usted hace pasar al ruido aleatorio a través de un filtro estrecho y observa la
salida del mismo en un osciloscopio de rayos catódicos, verá una inquieta onda
senoidal que cambia constantemente su amplitud.”
Zoom en un pedacito:
Ahí está, el sinusoide inquieto de 300 ciclos por segundo.
Antes de continuar, la Transformada de Fourier para el ruido blanco:
A esta altura, alguno podría sospechar que los senoides aparecen porque ambas señales
fueron generadas por la computadora.
No queda más remedio que filtrar a Beethoven.
Como no tengo la novena sinfonía, agarré un par de temitas bárbaros de Steely Dan.
También se podría usar I Want To Break Free, The Look de Roxette, o Color
Esperanza, entre otros.
Gaslighting Abbie:
Más de uno ya me escuchó con esta forma de onda.
Se aplica el mismo filtro, y esta vez 24dB de ganancia:
Y ahí está, subiendo y bajando, modulada durante todo el pasaje, la senoide de 300 Hz.
Zoom:
El análisis de frecuencia de la señal original muestra:
Se filtraron algunas frecuencias más:
Este fragmento de música no fue fabricado por un generador de señal.
Estas senoidales y tantas otras, están metidas ahí adentro subiendo y bajando
incansablemente para darle forma a Gaslighting Abbie.
Y podemos escucharlas una por una.
(Alguno estará pensando en la posibilidad de recrear esta canción sumando todos sus
componentes sinusoidales. Pero mejor no, porque nos va a llevar un rato infinito)
Digamos que este experimento no se puede usar para demostrar que toda forma de
onda compleja está compuesta por señales senoidales, para eso está el análisis de
Fourier.
Está claro que no se utilizaron filtros infinitamente estrechos para conseguir estas
senoides.
También resulta curiosa la cantidad de ganancia necesaria para encontrar la señal a la
salida del filtro.
La función del Cool Edit Pro, para los que deseen hacerlo en su computadora, está en el
menú “Effects”, luego “Filters” y después “Scientific Filters…” y se ve así:
Lo interesante es que si se usan pendientes de orden más bajo, se puede escuchar, por un
lado, la senoidal delimitada por Cutoff y High Cutoff, y por otro, de fondo, el resto de
la música.
Y para terminar.
Siempre me pregunté por qué los acoples suenan como una senoidal.
¿De dónde salen esos tonos?
¿Puedo pensar, después de todo, que un micrófono y un parlante generan un loop de
ganancia enorme en una frecuencia específica y, dado que todo está compuesto de
senoides, estas formas asoman la cabeza?
Acá terminan estas hojas sobre Fourier.