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RESUMEN DE SECCIONES CÓNICAS. Por: Carlos Alberto Ríos Villa
Círculo
Elipse (h)
Parábola (h)
Hipérbola (h)
Elipse (v)
Parábola (v)
Hipérbola (v)
Definición: Una sección
cónica es la intersección
de un plano y un cono.
Círculo
Definición: es el
conjunto de todos
los puntos que
cumple la
condición...
la distancia a un
punto fijo
(centro) es
constante
Elipse
la suma del las
distancias a los
foco es constante
Parábola
Hipérbola
la distancia al
la diferencia
foco = la
entre las
distancia a la
distancias a cada
directriz
foco es constante
a = 1/2 la
longitud del eje
(h,k): centro
mayor
a = el radio
b = 1/2 la
mayor (= 1/2 la
longitud del eje
longitud del eje
menor
mayor)
c = la distancia
b = el radio
desde el centro
menor (= 1/2 la
al foco
longitud del eje
menor)
c = la distancia
desde el vértice
al foco.
Variables:
p = la distancia
desde el vértice
Excentricidad:
al foco (o a la
Se refiera a que
directriz)
tan alargada o
r = el radio del e= excentricidad
(h,k): vértice
círculo
indica que tan
(h,k): centro
(h,k): centro
puntiaguda es la
hipérbola. Si la
redondeada o tan Directriz: recta
excentricidad es
alargada es la
de lacual
grande los focos
elipse.Si e se
equidistan todos
están cerca del
acerca a cero la
los puntos con
centro y las
elipse tiende a
respecto al foco
ramas de la
redondearse y si
hipérbola son casi
se acerca a 1
rectas verticales.
tiende a
Si la
alargarse. 0 < e
excentricidad es
< 1, si e=0 será
cercana a uno los
una
focos están lejos
circunferencia, si
del centro y las
e=1 será una
ramas de la
recta
hipérbola son más
puntiagudas.
Circunferencia
Desde la ecuación
Desde la ecuación
canónica
general
(X-h)2 + (y-k)2 = r2
x2+y2+Dx+Ey+F=0
Centro:
C(h,k).
Radio: r
Nota: recuerde que el signo
menos de la ecuación cambia el
h 
D
;
2
k 
E
2
r  h2  k 2  F
signo de h y k
Centro: C(h,K)
(x-3)2+(y+2)2=36
x2-2-6x+9+y2+4y+4=36
C(3,-2);
r=6
x2+y2-6x+4y-23=0
D=-6;
E=4;
F= -
23
h=-(-6)/2=3; k=4/2=-2
ejemplo
C(3,-2)
r= (3)2  (2)2  (23) =
36
r = 6
Elipse Horizontal:
(x-h)2 (y-k)2

 1;
a2
b2
Ax2+By2+Dx+Ey+F=0;
a > b
con A<B
Centro: C(h,k)
A = b2
Eje mayor = 2a
B = a2
Eje menor = 2b
D = -2b2h
c2 = a2- b2
Focos: X1=(h-c , k)
X2=(h+c,k)
Vértices: V1=(h-a , k)
E = -2a2k
F = b2h2 + a2k2 - a2b2
Lado recto=2b2/a
V2=(h+a , k)
B1=(h , k-b)
B2=(h , k+b)
Excentricidad; e=c/a
2
Lado recto=2b /a
(x  3)2 (y  3)2

1
9
4
a2=9
a=3
b2=4
b=2
C(-3,3)
Realizando las operaciones, mínimo
h=-3,
C2=9-4=5
k=3
C=√5=2.24
Focos:
X1=(-3-2.24,3)=(5.24,3)
Ejemplo
x 2  6x  9 y 2  6y  9

1
9
4
X2=(-3+2.24,3)=(-0.76;3)
Vértices:
V1=(3-3 , 3)=(0,3)
común denominador y simplificando se
obtiene la ecuación general:
4x2+9y2+24x-54y+81=0
A=4 ;
B=9 ; D=24 ;
E=-54 ;
F=81
4=b2
b=2;
9=a2
a=3
24=-2x22 x h despejando
h=-3
V2=(3+3 , 3)=(6,3)
-54=-2x32k
B1=(3 , 3-2)=(3,1)
De igual forma que para la canónica
B2=(3 , 3+2)=(3,5)
Excentricidad:
e =√5/3=0.75
Lado recto LR=2b2/a = 2 x 4/2 = 4
despejando
k=3
encontramos los focos y los vértices.
Elipse Vertical:
(x-h)2 (y-k)2

 1;
b2
a2
a > b
Ax2+By2+Dx+Ey+F=0;
A>B
Centro: C(h,k)
A = a2
Eje mayor = 2a
C = b2
Eje menor = 2b
2
2
con
D = -2a2h
2
c = a - b
Focos: F1=(h , k-c)
F2=(h , k+c)
E = -2b2k
F = a2h2 + b2k2 - a2b2
Vértices: W1=(h-b , k);
W2=(h+b , k)
Lado recto=2b2/a
V1=(h , k-a)
V2=(h , k+a)
Excentricidad; e=c/a
2
Lado recto=2b /a
(x  1)2 (y  2)2

1
9
25
x 2  2x  1 y 2  4x  4

1
9
16
a2=25
a=5
Realizando las operaciones, mínimo
b2=9
b=3
C(1,-2)
h=1
2
C =25-9=16
común denominador y simplificando se
obtiene la ecuación general:
K=-2
C=4
Focos:
Ejemplo
F1=(1 , -2-4)
F2=(1 , -2+4)
Vértices:
W1=(1-3 , -2)=(-1,-2)
W2=(1+3 ,-2) =(4,-2)
V1=(1 , -2-5) = (1,-7)
V2=(1 , -2+5) = (1, 3)
Excentricidad; e=4/5=0.8
Lado recto LR=2b2/2=2 x 9/2 = 9
25x2+9y2-50x+36y-164=1
A=25 ; B= 9; D=-50 ; E=36 ; F=
-164
25=b2
5=b
9=a2
3=a
D=-2b2h
-50=-2x 25x h
luego h= 1
E=-2a2k
36=-2 x 9 x k
luego k=-2
De igual forma que con la ecuación
canónica se encuentran los focos y
los vértices.
Hipérbola horizontal
(x-h)2 (y-k)2

1
a2
b2
Ax2+By2+Dx+Ey+F=0
Centro: C(h,k)
A = b2
Vértices:
B = -a2
V1x=(h-a,k)
V2x=(h+a,k)
D = -2a2h
c2= b2+a2
E = 2b2k
Focos:
F = b2h2 - a2k2 - a2b2
F1=(h-c,k)
F2(h+c,k)
Lado recto=2b2/a
Asíntotas:
Excentricidad:
E=c/a
2
Lado recto=2b /a
(x  1)2 (y  2)2

1
1
4
2
2
h=1; k= -2; a =1 a=1; b
=4 b=2
Vértices:
V1x=(1-1,-2)=(0,-2)
V2x=(1+1,-2)=(2,2)
c2= 12+22
Ejemplo
c=√5=2.23
(x 2  2x  1) (y 2  4y  2)2

1
1
4
4(x 2  2x  1)  (y 2  4y  2)
1
4
Realizando las operaciones
algebraicas se obtiene la
expresión:
4x2-y2-8x-4y-4=0
Focos:
A=4; B=1; D=-8; E=-4; F=-4
F1=(1-2.23,-2) =(1.23,-2)
F2(1+2.23,-2=(3.23,-2))
a =A=4
a=2
b2=B=1
b=1
Asíntotas:
2
-8=-2 x 22 x h
-4=2 x 12 k
h=1
k=-2
De igual manera que con la
ecuación canónica se
encuentran los demás
parámetros.
Y=-2±2(x-1)
Excentricidad:
E=√5/1=√5
2
Lado recto=2 x 2 /1=8
Hipérbola Vertical
(y-k)2 (x-h)2

1
2
2
a
b
Ax2+By2+Dx+Ey+F=0
Centro: C(h,k)
A = -a2
Vértices:
B = b2
V1y=(h,k-a)
V2x=(h,k+a)
c2= b2+a2
D = 2a2h
E = -2b2k
Focos:
F = b2k2 - a2h2 - a2b2
F1=(h,k-c)
F2(h,k+c)
Asíntotas:
b
x  h  (y  k )
a
b
x  h  (y  k )
a
Excentricidad: e =c/a ;
2
Lado recto=2b /a
(y  3)2 (x  2)2

1
9
4
2
=9
a=3
b2=4
b=2
h=2
k=-3
a
(y 2  6y  9) (x 2  4x  4)2

1
9
4
4(x 2  2x  1)  9(y 2  4y  2)
1
36
Efectuando las operaciones
algebraicas respectivas se obtiene la
ecuación:
Centro: C(2,-3)
2
2
4y -9x +24y+36x-36=0
Vértices:
V1y = (2,-3-3) = (2,-3)
Ejemplo
3
V2x = (2,-3+3) = (2,0)
c2= 32+22=9+4=√13=3.6
A=-9; B=4; D=36; E= 24; F=-36
-9=-a
2
a=3;
36 = 2 x 32h
4=b2 b=2
h=2
Focos:
24 = -2 x 22k
F1=(2,-3—3.6)=(2,-6.6)
F2=(2,-3+3.6) =(2,0.6)
Con estos datos se
Asíntotas:
k=-3
establecen los demás
parámetros de igual forma
X=2±2/3(y+3)
que con la ecuación
Excentricidad:
canónica.
e=√13/3=1.2
2
Lado recto=2 x 2 /3 = 8/3
Parábola horizontal
(y
2
- k) = 4 p(x -h)
2
y + Dx + Ey + F = 0
Si 4p>0 abre a derecha
Si 4p<0 abre a izquierda
Vertice: V(h,k)
Foco:
Si abre a Derecha: F(h+p , k)
Si abre a Izquierda: F(h-p , k)
D
E
D
E
F
= -4 p
= -2k
=-2h
=-4 p
=k2 +4 ph
Directriz:
Si abre a derecha:
X = h – p
Si abre a Izquierda:
X = h + p
Lado recto LR = │4 p│
Eje focal Y=k
Y2-4y+4=8x-24
h = 3;
k = 2; 4p = 8
p=2
Como 4P > 0 abre a la derecha
D=-8
-8=-4p;
p=2
Vértice: V(h,k) = (3,2)
E= -4
-4=-2k;
k=2
Foco: F(h - p,k) = (3-2,2) =
F = 28
28 = 22 + 8h; h=3
(1,2)
Ejemplo
Y2-4y-8x+28=0
h-p = 3-2 =1
La directriz es:
entonces:
x=1
Eje focal: y = k osea: y = 2
Lado recto LR= 8
Con estos datos
encontramos los demás
parámetros de igual forma
que con la ecuación canónica
Parábola vertical
(x - h)2= 4 p(y - k)
2
x + Dx + Ey + F = 0
donde:
Vértice V(h,k))
D =-2h
E =-4 p
F =h2 +4 pk
Foco:
Si abre arriba F(h , k+p)
Si abre abajo F(h , k-p)
Directriz:
Si abre arriba Y=k + p
Si abre abajo Y=k - p
Eje focal: X = h
Lado recto
LR = │4 p│
x2-6x+9=8y-16
h = 3;
k= 2 ;
x2-6x-8y+25=0
4p = 8
p=2
D = -6; E = -8; F = 25
Como 4p>0 abre hacia arriba.
Foco: F(h,k+p)=(3,2+2) = (3,4)
Ejemplo
Directriz: y = k+p =2+2
entonces la directriz es y = 4
Eje focal: x = h
osea:
Lado recto: LR = 4p = 8
x = 3
-6 = -2h
-8 = -4p
h = 3
p = 2
F =h2 +4 pk
25 = 32 + 8k;
k = 2
Con estos datos
encontramos los demás
parámetros de igual forma
que con la ecuación canónica