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EL PLANO
ECUACIÓN GENERAL
El plano como lugar geométrico
Dados un punto p 0 y un vector no nulo n , el plano  perpendicular a n que contiene a p 0 es
el lugar geométrico de los puntos p tales que p0p  n o p 0p  o .
n

p
p
b(
0;
De la definición anterior, podemos 2;
concluir:
0)
p    p 0 p  n o p0p  o  p0p  n  0
(1)
La expresión (1) es la ecuación vectorial del plano  perpendicular a n que contiene a p 0 .


Fijado un sistema o; i ; j; k , y en él un punto p0  x0 ; y0 ; z0  perteneciente a  y un vector no
nulo n   a; b; c  perpendicular a dicho plano, resulta que para todo punto p  x; y; z  de 
p0p  n  0   x - x0 ; y - y0; z - z0   a; b; c   0
Resolviendo el producto escalar, obtenemos:
 x  x 0  a   y  y 0  b   z  z0  c  0
ax - ax0  by - by0  cz - cz0  0
ax  by  cz 
 axo  byo  czo   0
Sustituyendo -axo - byo - czo por d, nos queda:
ax  by  cz  d  0
(2)
A la expresión (2) la llamamos ecuación general del plano  perpendicular a n que
contiene a p 0 .
Observación:
 Si el plano pasa por el origen de coordenadas, es decir por el punto  0; 0; 0  , su
ecuación resulta ax  by  cz  0 , ya que a0  b0  c0  d  0  d  0
 Si d = 0 la ecuación del plano resulta ax + by + cz =0  (0;0;0) verifica la
ecuación al plano, entonces el plano pasa por el origen de coordenadas
Definición:
POLITECNICO
1
P
O
LI
T
La recta y el plano
Dadas las constantes a; b; c; d  R con a ; b y c no
simultáneamente nulas, se llama ecuación lineal en tres variables
x ; y y z la expresión: ax  by  cz  d  0 donde a ; b y c son los
coeficientes y d es el término independiente.
Teniendo en cuenta la definición anterior, resulta:
La ecuación de un plano es una ecuación lineal en tres
variables.
Ejemplo:
Determina la ecuación del plano perpendicular al vector n  1; 2;  3  que pasa por el punto
p  1; 0; 1 .
Solución:
Los infinitos planos perpendiculares a n tienen por ecuación:
x  2y - 3z  d  0; d  R
(*)
De todos ellos, el que pasa por el punto p  1; 0; 1 es el que con él se satisface la ecuación (*).
De donde:
-1 2  0 - 3  1 d  0  d  4
Entonces el plano buscado tiene por ecuación:
x  2y - 3z  4  0
POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
Dos planos en el espacio pueden ser paralelos o secantes.

PLANOS PARALELOS
Dos planos 1 y 2 son paralelos si y sólo si sus vectores normales son paralelos.
En símbolos:
1 // 2  n1 // n2 siendo n1  1 y n2  2
Gráficamente resulta:
2
P
O
LI
T
POLITECNICO
Si 1 ) a1x  b1y  c1z  d1  0 y 2 ) a2 x  b2y  c 2z  d2  0 entonces:
1 // 2  n1 // n2 siendo n1  1 y n2  2    R  0 tal que n2  n1
de donde:
a2; b2; c2    a1; b1; c1 
a2  a1

 b2  b1
c  c
1
 2
Si a1  0 ; b1  0 y c1  0 , la expresión anterior resulta equivalente a:
a2 b2 c 2



a1 b1 c1
Observación:
En particular, cuando dos planos paralelos tienen algún punto en común, son
a
b
c
d
coincidentes y resulta 2  2  2  2
a1 b1 c1 d1

PLANOS SECANTES
Dos planos no paralelos se llaman secantes.
Caso particular de planos secantes: Planos perpendiculares
Dos planos 1 y 2 son perpendiculares sí y sólo si son perpendiculares sus vectores normales.
En símbolos:
1  2  n1  n2 siendo n1  1 y n2  2
Gráficamente resulta:
POLITECNICO
3
P
O
LI
T
La recta y el plano
Si 1 ) a1x  b1y  c1z  d1  0 y 2 ) a2 x  b2y  c 2z  d2  0 entonces:
1  2  n1  n2 siendo n1  1 y n2  2  n1  n2  0 
a2; b2 ; c2   a1; b1; c1   0
de donde:
a1a2  b1b2  c1c 2  0
Ejemplos:
a) Determina la ecuación de un plano paralelo no coincidente a 2 x - y + 3 z = 3.
Solución:
Basta multiplicar por un mismo número a las componentes del vector normal. Uno de los
infinitos planos podría ser: 8 x - 4 y + 12 z = 3
b) Determina si los planos x  y  z - 5  0 y - x - y  z - 3  0 son perpendiculares.
Solución:
Debemos calcular el producto escalar entre los vectores normales a los planos dados, esto
es:
1 . (-1) + 1 . (-1) + 1 . 1 = - 1 - 1 + 1 = -1  0  los planos no son perpendiculares.
PROBLEMAS
1)
Determina la ecuación del plano  sabiendo que p  1; 2;  2   y a  (2; 0;  1)   .
2) a) Determina, que un plano no paralelo a los ejes coordenados y que no contiene al origen,
admite por ecuación una expresión de la forma:
x y z
   1; p, q, r  R - 0 , que se
p q r
conoce con el nombre de ecuación segmentaria del plano.
b) A partir de la ecuación segmentaria del plano, analiza las intersecciones del mismo con
los ejes coordenados.
3)
Dada la ecuación del plano 3x  2y  6z  12  0 , determina:
4
P
O
LI
T
POLITECNICO
a) su ecuación segmentaria
b) sus intersecciones con los ejes coordenados
c) su representación gráfica
4) Tres puntos no alineados determinan un único plano. Determina la ecuación del plano
que contiene a los puntos p 1;  1; 2 ; t0; 3; 3 y v1; 3; 4 .
5) Representa los siguiente conjuntos de puntos y define el lugar geométrico que determina
cada uno:
x y


a) A   x; y; z  /
d) D   x; y  / x  1
  z  1
2 3


y z


b) B   x; y; z  /
e) E   x; y; z  / x  1
  1
5 2 

c) C  x / x  1
6) Sea la ecuación del plano ) ax  by  cz  d  0 . Determina las características geométricas
del mismo si:
a) a  0
d) a  b  0
b) b  0
e) b  c  0
c) c  0
f) a  c  0
7) El plano  es perpendicular a los planos 2x  3y  z  1  0 y x  y  z  3  0 . Determina la
ecuación de  si el punto  1; 2; 4 pertenece al mismo.
8) Los vectores a  1; 1;  4 y b  (0; 3; 1) son paralelos al plano  y además el punto 1; 2; 2
pertenece al mismo. Determina la ecuación de  .
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
Analizaremos a continuación el problema de cómo calcular la distancia desde un punto p 0
cualquiera a un plano  ( p 0 no perteneciente a  ). Para ello te proponemos que realices los
siguientes pasos.
p0
i. Ubica  y p 0 en un gráfico
ii. ubica un punto p1 cualquiera de 
iii. determina p1p 0
iv. considera un vector n normal
(perpendicular) a 
v. la distancia de p 0 a  esta dada por
dist(p 0 ; )  proy n p1p 0
vector proy n p1p0
distp0 ; 
n
p1

POLITECNICO
5
P
O
LI
T
La recta y el plano
PROBLEMAS
9) Demuestra que dado el plano
perteneciente
dist(p0 ; ) 

y
el
punto
) ax  by  cz  d  0 , el punto
p1  x1; y1; z1 
perteneciente
p0  x0 ; y0 ; z0 
,
a
no
entonces
ax0  by0  cz0  d
a2  b2  c 2
10) Halla la distancia del punto r  1; 2; 4 al plano ) 2x  3y  z  1  0 .
11) Determina la ecuación de el o los planos paralelos a 3x  y - 5z  2  0 , cuya distancia al
punto s  0; - 2; 3  es 140 .
PROBLEMAS ADICIONALES
12) Determina el plano perpendicular al plano ) x + y + z - 1 = 0, paralelo al vector
u   -1; 0; 2 y que pase por el punto p(0; -1; 2).
13) Determina justificando la respuesta si son V(verdaderas) o F(falsas) cada una de las
siguientes proposiciones:
a)
Si 1 ) x  y  2z  1  0 y  2 )  2x  2y  1  0 entonces 1 //  2
b)
el plano z = 3 es paralelo al eje z.
c)
Dos planos perpendiculares a un tercero son paralelos entre si.
d)
El plano x + 2y – 4 = 0 es paralelo al plano xy.
e)
Los planos 1 ) x  2y  z  2  0 y 2 ) 2x  y  3  0 son perpendiculares.
14) Dados los plano ) x  2y  z  3  0 y ) x  2y  z  5  0 ,
a)
Justifica que son paralelos
b)
Calcula la distancia entre ambos, es decir, dist(; ) .
RECTA EN EL ESPACIO
ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS
T
La recta en el espacio como lugar geométrico
Dados un punto p 0 y un vector no nulo u , la recta T
paralela a u que pasa por p 0 , es el lugar geométrico
de los puntos p tales que p 0 p // u o p 0p  o .
p
po
u
De la definición, resulta:
p  T  p 0p // u o p0p  o  p0p  u ;   R
(**)
A la expresión (**) ecuación vectorial de T paralela (o en la dirección de) al vector u que pasa
por el punto p 0
6
P
O
LI
T
POLITECNICO
Fijado
un
sistema
o;

i ; j; k ,
en
él
un
z
punto
p0 x 0 ; y 0 ; z 0  y un vector no nulo u  u1; u2 ; u3  , para
p0
todo punto px; y; z perteneciente a la recta T paralela a
u que pasa por p 0 resulta:
k
p0p  u ;   R
u
j
p
i
y
x  x 0 ; y - y 0 ; z - z0   u1; u2; u3 
x
x  x 0 ; y - y 0 ; z - z0   u1; u2; u3 
 x  x 0  u1

 y  y 0  u2 ;   R
 z  z  u
0
3

de donde:
Es decir:
 x  x0   u1

 y  y0   u2 ;   R
z  z   u
0
3

(2)
Parámetro
Coordenadas del punto de paso
Componentes escalares del vector dirección
A la expresión (2) la llamamos ecuaciones paramétricas de la recta T que pasa por el punto p 0
y es paralela al vector u .
ECUACIÓN CANÓNICA
 x  x0   u1

Sea la recta T dada por sus ecuaciones paramétricas:  y  y0   u2 ;   R
z  z   u
0
3

Suponiendo u1 ; u 2 y u3 distintos de cero, y despejando  de todas las ecuaciones, resulta:

x  x0
(1)
 
u1

y  y0

(2) ;   R
 
u2


z  z0
(3)
 
u3

POLITECNICO
7
P
O
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T
La recta y el plano
Igualando (1) con (2) y con (3), obtenemos:
x  x 0 y  y 0 z  z0


u1
u2
u3
A esta última expresión la llamamos “ecuación canónica de la recta T” que pasa por el punto
p 0 y es paralela al vector u .
PROBLEMAS
15) Determina la ecuación canónica de la recta que:
a) es paralela al vector u   2; 5; 1 y contiene al punto p  6; 4; 2 
b)
pasa por los puntos a  5; 4;  1 y b  3; 1;  5 
 x  2
x 1 2  y z 5

16) Dadas las rectas R)  y  1  3 ;   R y T)
, determina:


3
6
7
z  4  

a) un vector paralelo a T
b) si son paralelas
c) un punto de R y otro de T
RECTA DETERMINADA POR LA INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS NO PARALELOS.
Si se conocen las ecuaciones de dos planos no paralelos  y  , y M es la recta intersección de
dichos planos, la ecuación de la misma la podemos expresar con el sistema:
 a x  b1y  c1z  d1  0
M)  1
a2 x  b2 y  c 2 z  d2  0
(***)
siendo a1x  b1y  c1z  d1  0 la ecuación del plano  y a2 x  b2y  c 2z  d2  0 la ecuación
del plano  .
La ecuación (***) se la conoce con el nombre de “ecuación general de la recta”.
Ejemplos:
a) Determinar la ecuación de la recta A que pasa por el punto p (-2 ; 0 ; 1) y es paralela al
vector u   -1; 2; 1 .
Solución:
 x  -2 - 

La recta A)  y  2 ;
z  1  

8
P
O
LI
T
POLITECNICO
 R
2x  y - z  3
b) Dada la recta B) 
 x  y  3z  1
i. Determina un punto p  B
ii. Calcula un vector v // B
iii. Escribe sus ecuaciones paramétricas
iv. Determina la intersección entre B y el plano xy
Solución:
i)
Si por ejemplo tomamos x = 0, resulta:
y - z  3
1
1
5
 3  z  1- 3z  4z  -2  z  -  y  3 -  y 

2
2
2
y  3z  1
5
1

p  0; : - 
2
2

i
ii)
j
k
2 1 -1   4; - 7; 1 . Luego un vector podría ser: v   8; - 14; 2 .
1 1 3
iii)

 x  4

5

 y  - 7 ;   R
2

1

z  - 2  
iv)
2x  y  3
z0
 3  2x  1  x  x  2  y  1  2  y  1  t  2; - 1; 0 
x  y  1
PROBLEMAS
17)
x  2  

Dado el plano 3 x + 2 y - 2 z + 5 = 0 y la recta  y  1   ;   R . ¿Existe intersección
z  -2 - 

entre ellos? En caso afirmativo determina analíticamente la misma.
18)
2x - y  z  6
Dada la recta 
, Calcula:
-x  y - z  1
a) sus ecuaciones paramétricas.
b) las coordenadas del punto p para  = 1
c) su intersección con el plano “yz”
POLITECNICO
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O
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T
La recta y el plano
19)
Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos p(3; 1; 0) y q(0; 2; -1) y que es
paralelo a la recta de intersección de los planos: 2x  z  3 y  x  y  3z  12 .
20)
¿Tienen algún punto en común las rectas L y M?
x  1 

L)  y  3  2 ;   R
z  2  

21)
Grafica los siguientes lugares geométricos en distintos sistemas de referencia en el
espacio:
a)  x; y; z  / z  4
d)  x; y; z  / x  3; y  4; z  5
b)
c)
22)
 x  17  3

M)  y  4   ;   R
z  -8 - 

e)  x; y; z  /
 x; y; z  / x  0; z  0
 x; y; z  / x  ; y  ; z  4;   R
3x  2y  6; z  0

 

   
Dados en un 0; i ; j;k  el punto a(1; 0; -2) y los vectores ob  ( 1; 1; 2) y v  j  k .


Determina:

a)
la ecuación de la recta ab
b)


la ecuación del plano  tal que contenga a la recta ab y sea paralelo al vector v
c)
d)
las coordenadas del punto de intersección de la recta ab con el plano xy
la ecuación de recta S perpendicular al plano xz que pase por el punto a

23)

 

   
Dados en un 0; i ; j;k  , el punto m (0; 1; -1) y los vectores ot  (1;  1; 2) y s  i  k .


Determina justificando las respuestas.

¿Es mto un ángulo recto?
b) Si los puntos m; t y h(0; 2; 1) son coplanares.
a)

c)
24)
La recta T tal que T// mt  oT .
Determina justificando la respuesta si son V(verdaderas) o F(falsas) cada una de las
siguientes proposiciones:
a)
Las rectas R)
 3 x  2y  z  2  0
x3 y2
z
y T) 
son paralelas.


1
2
3
 x  4y  2z  1  0


2
 x

b) La recta  y  2   ;   R es perpendicular al plano 2x + 2y - 2z = 0.
z  3  

c)
10
P
O
LI
T
 x  1 
 x y z 1

Las rectas :  y  3 ;   R y 
son paralelas.
2x  y  z  1  0
z  2  

POLITECNICO
 x  1  4

Dados la recta R )  y  2  4 ;   R y el plano  ) 6x + 9y - 4z + 12 = 0. Determina si
 z  3

R  .
25)
 x  1  

Dados el plano ) - 2x  3y  2z  6  0 y la recta M)  y  2  2;   R . Determina
 z 3

las coordenadas de p y t si M    p y eje z   t .
26)
Dado el plano  de la figura. Determina:
a)
su ecuación segmentaria
b)
la ecuación de la recta perpendicular a  que pasa por b .
27)
z
c(0;0;2)
y
x
y
a(2;0;0)
x
RESPUESTAS
Plano
z
1. 2x  z  0
2.
r
a. Demostración a cargo del alumno
b. Intersección con el eje x  p; 0; 0
Intersección con el eje y  0; q; 0
Intersección con el eje z  0; 0; r 
q
y
x
3.
a.
x
y
z

 1
4 6 2
z
c.
b. Intersección con el eje x   4; 0; 0
2
Intersección con el eje y  0;  6; 0
-4
Intersección con el eje z  0; 0; 2
-6
y
x
POLITECNICO
11
P
O
LI
T
La recta y el plano
4.
4x  4z  12  0
5.
Se determinan características, las representaciones a cargo del alumno
1 1 
; 1
2 3 
a. Plano perpendicular al vector  ;
b.
c.
d.
e.
Plano paralelo al eje x
Punto en un eje
Recta en el plano xy paralela al eje y
Plano paralelo al plano yz
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Paralelo al eje x
Paralelo al eje y
Paralelo al eje z
Paralelo al plano xy
Paralelo al plano yz
Paralelo al plano xz
6.
7.
 ) 4x  3y  z  6  0
8.
 ) 13x  y  3z  17  0
9.
Demostración a cargo del alumno
3
10.
14
11.
3x  y  5z  87  0  3x  y  5z  53  0
12.
2x  3y  z  5  0
13.
a. F
14.
a.
b. F
1 2 1
 
1 2 1
c. F
b.
d. F
e. V
2
6
Recta en el espacio
x6 y4

 z2
2
5
a.
16.
a. Un vector paralelo a T puede ser 3;  6;  7
b. No son paralelos
c. 0; 1;  4  R y  1; 2; 5  T
17.
 3 10 3 
Si existe intersección y es el punto   ;  ; 
7 7
 7
12
P
O
LI
T
POLITECNICO
b.
x  5 y  4 z 1


8
3
4
15.
18.
x  3

a. posibles ecuaciones paramétricas y  5  ;   R
z  

b. 3; 6; 1
c. no existe intersección con el plano “yz”
19.
5x  7y  22z  8  0
20.
Si, 2;  1;  3
21.
A cargo del alumno
22.
x  1  2

a. y  
;  R
 z  2  4

b. ) - 5x  2y  2z  1  0
 1 
c.  0; ; 0 
 2 
x  1

d. y  λ ; λ  R

z  2

23.
a. mto no es recto
x  

c. T ) y  2;   R
 z  3

b. Si
24.
a. F
b. V
c. F
25.
R no está incluida en 
26.
 13 14 1 
p  ;  ; -  y t0; 0; - 3
3 3
 3
27.
x y z
a.    1
2 2 2
x  

b. por ejemplo R) y  2  ;   R
z  

POLITECNICO
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P
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