fracciones algebraicas - ejercicios y examenes

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FRACCIONES ALGEBRAICAS
1. Comprueba en cada caso si las fracciones dadas son equivalentes:
2
x+2 1
+ x x +1
a)
y
b) x 2 y
3x + 6 3
x
x
3x
3
3x - 3
1
c) 2
y
d)
y
2
9 x - 9 3x - 3
x -x x-2
Sol: a) Sí; b) Sí; c) No; d) No
2. Calcula:
1
3
1
2
1
3
3
x
a)
+
b)
- 2 +
c) 2
3x
2x x
3x x
2x
x x -1
2
5
4x + 3
- x + 3x - 3
2
Sol: a) ; b)
;
c)
;
d)
6x
6 x2
x (x - 1)
x2 - 1
3. Saca factor común y luego simplifica:
2
5x + 5
- 3x
a)
b) x
2x - 6
3x + 3
x
6
Sol: a) 5/3; b) x/2; c)
; d)
x- 1
2x + 1
2
+x
c) x 2
x -1
d)
1
1
x - 1 x+ 1
d)
12x
4 x2 + 2x
4. Recuerda los productos notables, descompón en factores y simplifica:
2
2
2
2
-1
-1
-4
+ 4x + 4
a) x
b) x 2
c) x
d) x 2
x +1
2x - 4
(x - 1 )
x -4
2
2
2
- 16
x (x + 2)
- 6x + 8
-9
e) 2 x
f) 2
g) x 2
h) x4
x + 8x + 16
x + 4x + 4
x -9
x - 81
x+ 1
x+ 2
x+ 2
x-4
x
x-3
1
Sol: a) x-1; b)
; c)
; d)
; e)
; f)
1; g)
; h) 2
x -1
2
x-2
x+ 4
x+ 2
x+3
x +9
5. Descompón en factores el dividendo y el divisor y después simplifica:
2
2
3
2
+ 3x
+ 2x - 3
+ 4 2 + 3x
+ 2x - 3
a) x2
b) x 3 2
c) x 2 x
d) x2
x + x -6
x -x
x + x -6
x + 4x - 5
2
x
x+3
+x
x+ 3
Sol: a)
; b) 2 ; c) x
; d)
;
x-2
x- 2
x+5
x
6. Opera y
 4 - x
a) 
 x
  2
c)  
  x
2
d) x . 
2 
simplifica:
2
x+2
: 1 + 1 
x -4
.
b)
 

x
2 
(x + 2 )2
  x
1  
1  
+
. x
 : x 
x+ 1  
x + 1  
2
1 
x + 2 x +1 
 3
:
e)  2 +
 . 2 x2

x x +2 
x
x
2
 x

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Sol: a) 4-2x; b)
2
x- 2
+ x+ 2
; c) 3x+2; d) x2+2x; e) - x 2
x
x (x - 2)
7. Reduce a una sola fracción y resuelve:
2
2
2
x+3
2
2
a) - x +
- 2
= 0
b) 2
= 0
x +1
x- 1 x - 1
x - 2x + 1 x - 1 x + 1
x+2
x +1 x +5
c)
+
=0
x +1
x+ 2 x + 2
Sol: a) x=2, x=0; b) x=3, x=-1/3; c) x=0
8. Haz las operaciones indicadas y simplifica:
 x+ y
 1 1
x- y   x y 
x+ y
a) 
 . 

b) 
+
x+ y   y x 
xy
 x-y
 x y
x +1
x  
1 
c) 
 . x 
x+ 1  
x 
 x -1
4y
3x + 1
Sol: a) 4; b)
; c)
x+ y
x
 2xy
 .
 x+ y
9. Resuelve las siguientes ecuaciones:
1+ x
x
3x + 5 x2
x
3
x +1
a)
= 2
b)
+
= 2
x -3
x+2
x- 1
x +1
x - x -6
x -1
2
x+2
x+ 1
x
7x + 2
c) 2 x
=
- 2
d)
+
= 2
x +1
x- 2
x+2
x + 2x + 1
x -4
Sol: a) x=1, x=-2/5; b) x=0, x=-1/2; c) x=-4; d) x=3, x=0
10. Opera:
1
1
x -1
1
a)
+
- 2
b)
+
x- 1
x - 3 x - 4x + 3
x+2
x
3
x- 1
x
c) 2
- 2
d) 2
x - x - 2 x + 1 x - 3x + 2
x -1
1
3x + 4
- 3x + 5
2 - 3x
Sol: a)
; b) 2
; c) 2
; d) 2
x- 1
x + x -2
x -x-2
x -1
11. Simplifica:
9 + 6x + x 2 3 x2 - x3
·
9 - x2
3 x2 + x3
a)
2x - 4
2 2 - 8x + 8
: x
3/4 + 2/8
x-2
2
2
x + 2x + 1 · 4 x - 4x
x +1
x2 − 1
c)
2
2x + 14 x + 20
x −5
:
2
3
3
x − 50 + 2 x - 25 x 2 x - 20 x 2 + 50x
3
x +1
- 2
x- 1 x + x - 2
3
x +2
- 2
x+ 1 x + x - 2
2
3
+ 6x + 5 x - 2
- 2x
b) x 2
· 2
+ x2
x - 5x + 4 x - 4
x - 4x
2
2 x 2 - 8x - 10
x -1
·
2
+ 2x + 1
x-1
d) x
2x + 2
x+1
: 3
2
2
x + x - 2 x - 4 x - 7x + 10
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 x 3 - 6 x 2 + 11x - 6 x2 + 2x - 3 
x2 + x - 2

.

:
x2 - 9
x2 - 3x + 2  x 2 + 4x + 4
e) 
2 x2 - 2x
3 x2 + 12x + 12
_
3 x 2 + 3x - 6
2x
2
 3 + 2 - 6x
- 9  x 2 - 5x + 6
g)  x 2x
_ 3 x 2
 :
2
x + 6 x + 9x 
x +x
 x +x
x-3
x +3 x +3
x
+
3
x
3
f)
_
3-x
x +3
- 1
3x
x -3
x
1+
y
h) 2 2
x -y
xy - y2
1+
a2 - 1 - a2 +1
a +b
1
+
2
2
2
2


+1
- 2a + 1
a- b

i) a + 1 a - 1 :  a
_ a
j)
2 
a - 1 a +1  a
a
+b
(a - 1 ) 
1a +1 a - 1
a -b
4
3
2
+ 2 x + 5 x + 10x + 18
x (x - 3)
Sol: a) 1; b) x
; c) 1; d) 1; e) 1; f)
; g) 1;
(x - 1) (x - 4) (x + 2)
3
2
a
h) 1; i) 2 a 2 ; j) ( a +1 )
b
12. Simplifica:
2
+ 6a + 9 a 2 + 9
a) a 2
: 4
a -9
a - 81
4
16 - x
c)
: (32 - 8 x 2 ) =
4x + 8
36
3x
x+ y
x+y
e)
:
=
6
1
x− y
x2 − y2
2y
y - 1 3- y
g)
=
y-1
3y
y
2 2 - 4ab + 2 b2
a -b
b) a
:
3x - 6
4x - 8
4
16 - x
d)
: (32 + 8 x2 ) =
4x + 8
2
-4
x-2
f) x2 2 :
=
a +b
a -b
y
y
y
- 2
=
y-2
y - 3y + 2 y - 1
4 + x2
2- x
2
Sol: a) (a+3)2; b) 8(a-b)/3; c)
; d)
; e)
;
32 (x + 2)
32
x (x + y)
x+ 2
2 (4 y 2 - 5y + 4)
f)
; g)
; h) 0
a -b
3y (y - 1)
h)
13. Opera y simplifica cuando sea posible:
2
3+ x
1
1
2y + 1
y
a)
- x 2=
b) 2
+ 2
+
=
3-x - x-3 9- x
y -y
y -1
y +1
x 2 − 3 x − 10
x2 − 4
·
4
3
2
-3 3
c) x − 2 x − 4 x + 8 2x − 5 =
d) 4 x 3 x 2 =
x + 2 6x − 2x
x -6 x +9 x
· 2
3 − x 2x − 4x
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2 x2 + 5x + 2
2x + 6
x+ 5
x -1
=
f) 2
- 2
+
=
3
2
2 x + x - 8x - 4
2x - 6
x - 3x x - 4x + 3
3
5x + 12
y 3 + y 2 + 2y + 1
x
1
- x - 12
Sol: a)
; b)
; c) 1; d)
; e)
; f) x
(x + 3) (3 - x)
y(y - 1)(y + 1)
x-3
x- 2
2x(x - 3)(x - 1)
e)
14. Divide y comprueba:
a) z5-2z4-3z3+6z2+2z-4:z2-2
b) x5-3x2-1:x2-1
c) y6-3y4+3y3+2:y3-y+1
Sol: a) z3-2z2-z+2; b) C:x3+x-3, R:x-4; c) C:y3-2y+2, R:-2y2+2y
15. Halla a para que x3-ax+125 sea divisible entre x+5. Sol: a=0
16. Hallar el valor que toma el polinomio p(x) = x2-6x+1 para x=2- . Sol: 2 -5
%
%
17. Opera y simplifica:
x- 1
x
1
x
1
x- 1
a) 2
=
b) 2
+
+ 2 =
x -1
x + 2x + 1 x + 1 x - 1
x -x
x -1
2
+x
1
1
x
x
x
c) x 2
+
=
d) 2
+
=
x +1 x - 1
x +1 x - 1
x -1
x -1
2
1
+1
1
x
x -1
3(x - 1)
2x
e)
- x2
+
=
f) 2
+
=
x +1
x -1
x +1
x
x +1
x -1
x +x
x+2
2
3x
g)2
h) 2
+ 2 =
x - x x- 1
x -1
3
2
- x - 3x
3x + 1
+ x -2
x
- x-3
Sol: a) 2
; b) 2
; c) x 2
; d) - 2 ; e) 2 ;
( x + 2x + 1) (x - 1)
x -1
x -1
x -1
x -1
2
2
- + x+ 2
2 +x+2
f) x 2
; g) 1; h) x 2
x ( x - 1)
x +x
18. Opera y simplifica si es posible:
x
x
+
x +1 =
a) x - 1
x
x
x+ 1 x - 1
 x2 + 3x + 2 x2 - x + 1 
2x - 2 x2


_
(x + 1 )2
(x - 1 )2
x - 1 

c)
=
x 2 + 2x + 1 + x 2 - 2x + 1
(x + 1 )2
x2 - 1
2
+ 2x - 3
3x + 1 x2 - 2x + 1
e) x
+
=
x- 1
2x
3x
x2 - 2x + 1 - x2 - 1
x +1 =
b) x - 1
x
1
+
x -1
x2 - 1
x 2 - 1 + x 2 + 2x + 1
x +1
d) x + 1
=
1
1
x2 - 3x + 2 x 2 + x - 6
2
2
x + 2x + 1 − x - x + 1
x −1
( x - 1) 2
f)
=
2
x +1
x + 2x +1
+
x+1
x2 - 1
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x- 1
x -1
x- 3
x-2
2x
3
+
=
h) 2
+
=
x- 1
x + 3 x +1
x + 1 (x - 1 )2
x -1
3
- 3 2 - x- 3
x (x + 3) ( x2 - 3x + 2)
4 2 + 31x + 1
Sol: a) -x; b) 0; c) x 2x
; d)
; e) x 2
;
2
x +3
x +3
2
- 2 + 2x - 2
+ 4x + 11
2 3 - 3 2 - 4x - 1
f) x 2
; g) x
; h) x 2 x
(x + 3) (x + 1)
( x - 1) (x - 1)
x
g)
19. Opera y simplifica:
x2 + 3x + 2
2
-1
3x - 3
x-3
x +2
a)
=
b) x
+
- 2
=
(x + 2)(x + 1)
x+ 2
x+3
x + 5x + 6
x -1
x-3
x -3
x -1
3x - 3
2x - 2
c)
+
- 2
=
d)
+
=
x+2
x + 3 x + 5x + 6
x+2
x+3
x+2
x-2
x- 1
x+ 2
3
2
2x
e)
+
=
f)
- 2
+
=
x +1 x +3
x +1
x+ 1 x - 1
x -1
3
2
1
+6 2+ x - 6
2 2 -6
3 (x - 1)
+ 6x + 1
Sol: a)
; b) x 2 x
; c) 2 x
; d)
; e) x
;
x+ 2
(x + 3) (x + 2)
(x + 3) (x + 1)
x + 5x + 6
x + 5x +6
2 2 + 5x - 5
f) x 2
x -1
20. Opera y simplifica:
3
2
x
3x
x + 2 3x - 1
a)
- 2
+
=
b)
- 2 =
x+ 1 x - 1
x -1
x - 1 x +1
x -1
3
2
x
3
2
x
- 2
+
- 2
+
x- 1 =
x-1
c) x + 1 x - 1
d) x + 1 x2 - 1
=
x+ 5
x − 25
x- 5
x 2 − 4x - 5
3
2
x
- 2
+
1
1
x
x- 1 =
e) x + 1 2 x - 1
f)
+
+ 2 =
2
x -1
(x - 1 )
x - 6x + 5
x -1
2
x -1
x+5
2 x2 - x + 3
x- 5
x+5
2 x2
Sol: a)
; b)
; c)
; d) 1; e)
; f)
x +1
x+ 1
x-5
(x - 1 )2 (x + 1)
x2 - 1