SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Estudia si son equivalentes los

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SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Estudia si son equivalentes los sistemas:
 x + y = 3
 3x - y =
a) 

 x - y = -1
 2x - y =
 x + y - z = 0
 x 

b)  2x
- z = 2  2x 

 x - y + 2z = 2  x +
 x - 3y + z = - 1
 -x


c)  - x + y - z = - 1
 2x


 x - y + 2z = 2
 - 3x
 x - y = 2
 3x d) 

 x + 2y = - 1
 -x Sol: a) Sí; b) Sí; c) No; d) Sí
1
0
3y +
z = 4
y
= 3
y - 2z = 0
+ 3y + z =
-
y + 3z =
_ +
2
0
z = -3
y = 4
y = 0
2. Estudia, y resuelve cuando sean compatibles, los siguientes sistemas:
 3x + 3y - z = 3
 x - 2y + z = 0


- 2z = 5
a)  3x
b)  x + y + z = 1


 x + y - z = 1
 x + y - z = 2
x - y + z = 1


c)  - 2x
+ z = 3

x - 3y + 4z = 0

Sol: a) S.C.D.; x=1; y=0; z=-1; b) S.C.I.; x=ë; y=1- ë; z=0; c) S.I.
3. Discute, según los valores de los parámetros, los siguientes sistemas:
 ax + 2y + z = 2
 ax + y = a


a)  x + ay - z = 0
b)  x + ay = 0


 x + 2y + z = 2

y = a
 x + y = a +1

c)  ax + y =
0

 -x
= a +1
Sol: a) a=1 S.C.I.; a=-2 S.I.; a…1 y a…-2 S.C.D.; b) a=0 S.C.I.; a…0 S.I.; c) a=2 S.C.D.;
a…2 S.I.
4. Estudia y resuelve:
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x + y + z = 3
 x - 2y + z = 1



a)  2x + y - z = 1
b)  - x + 3y - z = 5


 x + 3y - 2z = 2
 - 3x + y - 3z = - 1
= 3
 x + y

c)  2x - y + z = - 1

 3x
- z = 4
Sol: a) S.I.; b) S.C.I.; x=ë; y=2; z=1- ë; c) S.C.D. x=1, y=2, z=-1
5. Estudia y resuelve:
x - y + 2z = 2

 2x
- z = 2
 2x + y + 3z = 2

a) 
b) 
 x - y
= 1
 - x + 2y - z = - 3

3x - y
= 4
 2x - y + 2z = 0

c)  x + y + z = 3

 x
+ z = 1
Sol: a) S.C.D. x=1, y=-1, z=0; b) S.C.I.; x=1- ë; y=- ë; z=ë; c) S.C.I. x=ë, y=2, z=1- ë
6. Elimina los parámetros en los sistemas:
 x =
 x =
+ β


a)  y = 2α
b)  y =
 z = −α + β
 z =


1
2
+
−
a
a
2a
+
b
−
b
 x = 1 − a

c)  y = 2a
 z = 2 + a

Sol: a) x-y-z=0; b) x+3y+z=7; c) 2x+y=2, x+z=3
7. Calcula a y b para que los sistemas sean compatibles:
x + ay + z = - 1

 x - ay + bz = 0

y
+
2z
=
1


a) 
b)  2x - y + z = 0
 x + y - z = -a

 ax - by + z = 0

-x
+ bz =
3
Sol: a) a=2 y b=3; b) œa,b 0ú
8. ¿Para qué valores de m es compatible el siguiente sistema?
y + 2z = 0
 (m + 2)x +

a) 
x + my + z = 0
Sol: m=1 ó m=0


2x + 2y + 2z = 0
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9. Discute los sistemas:
x
-
y + 2z =
1


a)  2x + y - z = 0

 3x
+ αz = α
αx +

 -x +

b) 


αx +
y + 2z =
1
y
=
1
y + αz =
1
y + 2z = α
αy + 3z =
1
 x +

c)  αx +
3y + 4z =
0

 3x + ( α+ 2)y + 5z = α - 3
Sol: a) á=1 S.C.I.; á…1 S.C.D.; b) á=1 S.C.I.; á=-2 S.I.; á…1 y á…-2 S.C.D.; c) á=2
S.C.I.; á=5 S.I.; á…2 y á…5 S.C.D.
10. Calcula "a" para que los siguientes sistemas sean compatibles
- ax + y - z =
1

2x
+
ay
+
z
=
0

 2ax + y - z = 0


a)  3x - 2y + az = 0
b) 

_ ay + z = 2a

 ax - y + z = 0

ax
=
1
(a
1)x
2y
=
2


c) 
- x + y + az = 0


- y + 2z = a
Sol: a) œa0ú; b) a=-1; c) a=2
11. Resuelve los siguientes sistemas matricialmente, sin aplicar Cramer ni Gauss:
 1 -2 1  x   1 
 x + y - z = -2

  


a)  2x
- z = 0
b)  - 1 - 1 2   y  =  - 1 

   


 x - y + 3z = 8
 1 1 -1   z   2 
 1 2
 -1 
 3

 x  



c)  3 - 1    +  2  z =  - 3 

  y  



2
 2 -1 
 1


Sol: a) x=1, y=-1, z=2; b) x=2, y=1, z=1; c) x=0, y=1, z=-1
12. Discutir los sistemas según los valores de k:
 kx - 2y - (k + 2)z = k - 1
 x - y + 2z


a)  x + ky
=
k
b) 
y - kz


 - x + 2y + (k + 2)z =
 kx + ky
0
Sol: a) k=0 S.I.; k=1 S.C.I.; k=-2 S.C.D.; k…0, k…1 y k…-2 S.C.D.; b) k=0
S.C.I.; k…0 y k…1 S.C.D.
= k
= 2
= 5
S.I.; k=1
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13. Elimina parámetros:
 x = λ

a)  y = λ + 2
 z = λ − 1

 x =

b)  y =
 z =

λ
2
λ −
2
= α + β
= α
= α − β
= α + 2β
y= 2
 - x+ y = 2

 x - 2y + z = 0
Sol: a) 
b) 
c) 

 x - z= 2
 2x - y - t = 0
x-z =1



c) 


x
y
z
t
14. Resuelve los sistemas:
 x + y - z = 1

a)  x - 3y + z = - 1

 2x - 2y
= 1
 2x + y + z = 2

c) 
y - z = 0

 x + y
= 1
z = 0
 x + y 
e)  x + 2y + 3z = 3

 - x - 4y - 11z = 1
Sol: a) S.I.; b) x=0, y=1, z=2; c) x=1- ë, y=ë,
y=-1, z=2
 x + y - z = -1

b)  3x + y - 2z = - 3

 2x - y + z = 1
 x + y - z = 1

d)  x + 2y
= 2

 2x + 3y - z = 3
1
 2x - y - z =

f)  x - y
= 2

 x + 3y - z = - 4
z=ë; d) x=2ë, y=1- ë, z=ë; e) S.I.; f) x=1,
15. Discute los siguientes sistemas según los valores de los parámetros:
x + 2y - z =
2

x
2y
+
z
+
t
=
1

 3x
_ + 2z =
5


a)  αx + y - 2z
_ = 3
b) 

 x + y + z = a
 - x + 2y - z - t = α

2x - y - 3z = - 2
 ax + y + z = 1

c)  x + ay + z = 1

 x + y + az = 1
Sol: a) á=-1 S.C.I., á…-1 S.C.D.; b) a=3 S.C.D., a…3 S.I.; c) a=1 S.C.I.; a=-2 S.I.; a…1,
a…-2 S.C.D.
16. Resuelve los siguientes sistemas:
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x + y + 2z = 0

 3x - 2y + z = 0

a) 
 4x - y + 3z = 0

x - 4y - 3z = 0
Sol: a) x=á, y=á, z=- á; b) x=1, y=2
y =
1
 3x −

b)  2 x + 2y =
6

 x − 3y = − 5
17. Discutir los sistemas según los valores de k:
 x + y + z = 0
 x + ky + 2z = 0


a)  kx + y + z = 0
b)  x + 2y + z = 0


 x + ky + z = 0
 3x + 5y + 2z = 0
 x + y - z = 0

c)  kx - 4y + kz = 0

 5x - 2y + z = 0
Sol: a) k=1 S.C.I., k…1 S.C.D.; b) k=3 S.C.I., k…3 S.C.D.; c) k=3 S.C.I., k…3 S.C.D.
1
 2x + y + z =

18. Resuelve por Cramer el siguiente sistema:
 x - y + z = -4

 3x - y + z = - 2
Sol: x=1; y=2; z=-3
19. Elimina parámetros a, b:
 x = a + b

a)  y = 2a - 3b

 z = a + b
 x = a + 1

b)  y = 2a − b
 z = a + b − 1

 x = a
 x = a
 y = a − b


c)  y = a − 1
d) 
 z = 1 − a

 z = 2 − a
 t = a + b
Sol: a) x=z; b) 3x-y-z=4; c) x-y=1, x+z=2; d) x+z=1, 2x-y-t=0
20. En el sistema halla ì para que:
2
 x + µy =

 µx +
y = µ+1
a) No tenga solución
b) Tenga infinitas soluciones
c) Tenga solución única
d) Tenga una única solución en la que x=3
Sol: a) ì=1; b) ì=-1; c) ì…"1; d) ì=-1/2
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x + 2y + 3z = 1

 x - y + kz = 2

21. Discutir el sistema para los distintos valores de k: 
y z = 1


x + 8y +
z = 3
Sol: k=2 S.C.D.; k…2 S.I.
22. Resolver:
x =
2 + 3y
 x + 2y = 6 + z
 z +


a)  2 x + 3 z = 2 + y
b)  2 x + 3z =
y −
1


 x + 2z = y
 z + 5y = − 3
 x = 2 − 2y

c)  y + x =
1 + z

 x = 2z
Sol: a) x=3, y=1, z=-1; b) S.I.; c) x=2ë, y=1- ë, z=ë
 x + ay + az = 1

23. Discute el sistema:  - x + ay + az = - 1

 3x - ay - az = 3
Resuelve por el método de Gauss.
Sol: œa0ú S.C.I.; x=1, y=- ë, z=ë
24. Resuelve el siguiente sistema matricialmente, sin aplicar Cramer ni Gauss.
 x - y + 3z = - 1

Sol: x = 1; y = 2; z = 0
 2x - y - z = 0

 3x
+ z = 3
25. Discutir y resolver los sistemas según los valores de los parámetros:
2x + k y 
k
x
y
+
2z
=
0

 3x +
y +


a)  x + 3y - k z = 2 k
b) 

 x - ky +

4y - 3z =
2

4x + 3y
kx - y + kz = k


c) 
x - y - kz = 1

 (k - 1)x
_ 2k z = k
Sol: a) k=1 S.C.I.; k=5/4 S.I., k…1 y k…5/4 S.C.D.; k=1
b) k=1 ó k=-25/6 S.C.D., k…1 y k…-25/6 S.I.
c) œk0ú S.I.
z =
0
2z =
1
z =
2
_ = -k
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26. Estudia y resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas:
1
 3x - y + z =
 x - 3y + z

2y + z = 4
a) 
b) 
 -x
+ 2z

 2x
- z = -2
x + 2y - z = 1
2x + y - 2z


 2x - y + 2z = 3
 3x - y


c) 
d) 
 x - 2y + z = 0
 - x + 2y - z


x + 6y - 3z = 1
3y + z
= 0
= 0
=
1
= 2
= 0
= 4
_ = -2
 x - y = 2
 x + 2y - z


e)  2x - y = 5
f)  3x - y + z - 3t = - 2


 x + 2y = 5
 x - y - 2z - 4t = - 3
 2x + 3y + z = - 4
 3x - y = 1


3
g)  - x + y + 2z =
h)  x + 2y = 3


 x - 2y - 3z =
 3x - 6y = 0
3
 x + 2y + z = - 1

i)  2x + 3y - z = 0

 x + y + 2z = 1
Sol: a) x=0, y=1, z=2; b) x=2á, y=á, z=á; c) S.I.; d) x=1, y=1, z=1; e) x=3, y=1; f) x= ë1, y=- ë, z=1- ë, t=ë; g) S.I.; h) S.I.; i) x=3, y=-2,z=0