Área de una Superficie

2.5. Área de una superficie.
Sea g una función con primeras derivadas parciales continuas, tal que z = g ( x, y ) ≥ 0
en toda la región D del plano xy. Sea S la parte de la gráfica de g cuya proyección en el
plano xy es R como se ilustra en la Figura XX, siendo S una superficie suave (y para
simplificar la definición, que ningún vector normal a la superficie es paralelo al plano
xy). Se definirá la expresión que permite calcular el área A de la superficie S.
Figura 54. Superficie S y región R.
Sea P = { R1 , R2 ," , Ri } una partición interior de la región R, donde las longitudes de los
lados de los rectángulos Ri son ∆xi y ∆yi . Sea ( xi , yi , 0 ) un punto interior al elemento
de la partición Ri , y sea Pi ( xi , yi , f ( xi , yi ) ) el punto correspondiente en la superficie S.
Si se considera que el plano tangente a la superficie S en Ci , siendo ∆Ti y ∆Si , las
áreas de las regiones en el plano tangente y en la superficie S, respectivamente,
obtenidas al proyectar la región Ri en el plano tangente y en la superficie S. Cuando la
norma de la partición, P , es pequeña, entonces el valor de ∆Ti es una aproximación
de ∆Si , y por tanto
n
∑ ∆T
i =1
i
es una aproximación del área A de la superficie S. Y al
tomar el límite de esta suma de Riemann cuando P → 0 se obtiene
n
A = Lim ∑ ∆Ti
P →0
i =1
Sean los vectores u y v con punto inicial Pi , que son los vectores tangentes a las
curvas que se generan en la superficie S en los planos y = y0 y x = x0 , respectivamente,
como se observa en la Figura XX. Y recordando que la interpretación geométrica que
tienen las derivadas parciales, es que representan la pendiente de las rectas tangentes
determinadas por los vectores u y v , que en estos planos son g x ( xi , yi ) y g y ( xi , yi ) ,
respectivamente. Por tanto los vectores u y v vienen dados por
u = ( ∆xi , 0, g x ( xi , yi ) ∆xi )
v = ( 0, ∆yi , g y ( xi , yi ) ∆yi )
Ahora bien, el área del paralelogramo que esta determinado por los vectores u y v, esta
determinado por la norma del producto vectorial de ellos, es decir, u × v , asi
iˆ
u × v = ∆xi
0
ˆj
0
∆yi
kˆ
g x ( xi , yi ) ∆xi = − g x ( xi , yi ) ∆xi ∆yi iˆ − g y ( xi , yi ) ∆xi ∆yi ˆj + ∆xi ∆yi kˆ
g y ( xi , yi ) ∆yi
Entonces,
∆Ti = u × v =  g x ( xi , yi )  +  g y ( xi , yi )  + 1 ∆xi ∆yi
2
2
Al sustituir esta expresión en el límite de la suma de Riemann cuando
P →0,
sabiendo que ∆xi ∆yi = ∆Ai , y al aplicar la definición de la integral doble se obtiene que
n
A = Lim ∑  g x ( xi , yi )  +  g y ( xi , yi )  + 1 ∆xi ∆yi = ∫∫  g x ( x, y )  +  g y ( x, y )  + 1 dA
P →0
2
2
2
i =1
2
R
En donde R, es la región que proyecta la superficie sobre plano xy. Esta definición se
emplea cuando la superficie S, esta definida en forma explicita por z = g ( x, y ) . Y
puede reescribirse en términos de los vectores u y v como representa a continuación
A = ∫∫ n dA = ∫∫ g x × g y dA .
R
R
Por tanto, si la superficie S es una superficie definida en forma paramétrica por la
función vectorial g : ℜ2 → ℜ3 / g ( u , v ) = ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) , obsérvese que el
área de la superficie S viene definida por la integral doble definida por
A = ∫∫ n dA = ∫∫ gu × g v dudv
R
R
En donde,
2
2
 ∂ ( y , z )   ∂ ( x, z )   ∂ ( x , y ) 
gu × g v = 
 + 
 + 

u
,
v
u
,
v
∂
∂
(
)
(
)

 
  ∂ ( u, v ) 
2
EJEMPLO 50. Determine el área de la superficie lateral del paraboloide definido por
z = x 2 + y 2 delimitada por los planos z = 1 y z = 3
Solución. Esta superficie que esta definida explícitamente, tiene una parametrización
x

 x  




dada por g : ℜ → ℜ / g ( x, y ) =  y  = 
y
 , con 1 ≤ z ≤ 3 , por lo que la
 x 2 + y 2   z = f ( x, y ) 
2
3
integral para calcular el área de su superficie queda planteada de la siguiente manera
A = ∫∫  f x ( x, y )  +  f y ( x, y )  + 1dA
2
2
R
= ∫∫
[2 x] + [2 y ]
2
2
+ 1dA
R
2π
∫ [ 2r cos θ ] + [ 2rsenθ ]
π
= ∫ ∫ 4r + 1rdrdθ
=∫
0
2
0
3
2
2
1
3
+ 1rdrdθ
2
1
3
3

1 2π  2
= ∫  ( 4r 2 + 1) 2  dθ
0
8
3
1
(
= 37 37 − 5 5
) π6
Al resolver la integral, en este caso es apropiado, realizar un cambio en coordenadas
polares debido a la región R que proyecta la superficie sobre el plano xy.
Figura 55. Paraboloide Circular del Ejemplo 50.
EJEMPLO 51. Determine el área de la superficie lateral del paraboloide definido por
z = x 2 + y 2 delimitada por los planos z = 2 y z = 4
Solución. Esta superficie que esta definida implícitamente, tiene una parametrización
 u   x
dada por g : ℜ → ℜ / g ( u , v ) =  v  =  y  , con 2 ≤ u ≤ 4 y 2 ≤ v ≤ 4 , por lo que
u 2 + v 2   z 
2
3
la integral para calcular el área de su superficie queda planteada de la siguiente manera
2
A = ∫∫ gu × g v dudv = ∫∫
R
R
2
2
 ∂ ( x, y )   ∂ ( y , z )   ∂ ( x, z ) 

 +
 +
 dudv
 ∂ ( u, v )   ∂ ( u, v )   ∂ ( u, v ) 
Donde,
∂ ( x, y ) 1 0
=
= 1;
∂ ( u, v ) 0 1
∂ ( y, z ) 0 1
=
= −2u ;
∂ ( u, v ) 2u 2v
∂ ( x, z ) 1 0
=
= 2v
∂ ( u , v ) 2u 2v
Así pues, la integral para determinara el área de este cono truncado esta dada por
2
2
2
 ∂ ( x , y )   ∂ ( y , z )   ∂ ( x, z ) 

 +
 +
 dudv
 ∂ ( u, v )   ∂ ( u, v )   ∂ ( u, v ) 
A = ∫∫
R
[1] + [ −2u ] + [ 2v ] dudv
= ∫∫
2
2
2
R
2π
4
0
2
2
4
0
2
=∫
∫
π
=∫ ∫
1 + [ −2r cos θ ] + [ 2rsenθ ] rdrdθ
2
2
4r 2 + 1rdrdθ
4
3

1 2π  2
= ∫  ( 4r 2 + 1) 2  dθ
0
8
3
2
=
π
6
( 65
65 − 17 17
)
Al resolver la integral, en este caso es apropiado, realizar un cambio en coordenadas
polares debido a la región R que proyecta la superficie sobre el plano xy, en donde se
observa que 2 ≤ r ≤ 4 y 0 ≤ θ ≤ 2π .
Figura 56. Superficie S del Ejemplo 51.
EJERCICIOS PROPUESTOS 2.5.
Determine el área de las superficies que se indican a continuación
1) La superficie dada por el cilindro z 2 + y 2 = 3 , entre los planos x = −2 y x = 3 .
2) El paraboloide 4 + x 2 + y 2 = z , que se encuentra para y ≤ 9 .
3) El cono truncado x 2 + z 2 = y 2 , entre los planos y = 1 y x = 4 .
4) El hemisferio x = 4 − y 2 − z 2 y el plano yz.