U.T.N. F.R.B.B. Mecánica del Sólido Sergio R. Val PROBLEMA N°1: Vibraciones mecánicas Analizar el problema en idioma inglés sobre un montaje antivibratorio para el tambor de una secadora centrífuga. - Traducir - Expresar en unidades SIMELA - Relacionar con la teoría de la asignatura Expresar conclusiones acerca del funcionamiento de la máquina y de los resultados obtenidos. Se propone montar un tambor de secador centrífugo como muestra la Fig. 1-1. Las características apropiadas de los resortes y amortiguadores disponibles serán seleccionadas para las siguientes condiciones. - Peso total del canasto más el contenido = 50Lb ≈ 22.68Kg Velocidad de giro ω = 400rpm Máximo desbalanceo asumido = 20Lb.in ≈ 0.3567Kg.cm. (producto del peso y de la excentricidad) La amplitud de vibración en cualquier dirección no debe ser más que ½” (1.27cm) en resonancia. Solución: Se eligen las coordenadas X e Y como muestra la Fig. 1-2 Si se considerar una pequeña deflexión x del centro del canasto. El resorte 1 se estirara, el resorte 3 se comprime, y el resorte 2 sufrirá un cambio despreciable de longitud. Las fuerzas del resorte serán aproximadamente tal como se indica en la Fig. 1. La fuerza neta del resorte en la dirección X es: ΣFs= -(k.x.cos30º cos 30º).2= -1.50 kx En otras palabras, la constate de resorte equivalente en la dirección X es keq=-1.5 k. Un análisis similar concluiría al mismo valor para la constate de resorte en la dirección Y. Si la fuerzas de amortiguamiento en la dirección X e Y se investigaran en la misma manera como anteriormente las fuerzas de los resortes, encontraríamos que el factor amortiguamiento efectivo en ambas direcciones X e Y es 1.5 c=Ceq -1- U.T.N. F.R.B.B. Sergio Val Mecánica del Sólido Debido a que todos los coeficientes en las ecuaciones diferenciales para los movimientos en X e Y serán iguales, necesitamos investigar sólo una ecuación. M &x& + 1.5 c x& + 1.5 k x = (me) ω 2 sen ω t Donde Fo= (me) ω2 La cual fue desarrollada de la ecuación (1) de la Pág.3 del apunte. La amplitud del desplazamiento será: Y= me ω 2 (1.5k - M ω 2 ) 2 + (1.5c.ω ) 2 [1] Que surge de la ecuación (3) de la Pág.3 del apunte adjunto. Por analogía con la teoría para la cual la ecuación diferencial era idéntica en forma; la amplitud de la fuerza transmitida será: FTR = me ω 2 (1.5k ) 2 + (1.5c.ω ) 2 (1.5k - M ω 2 ) 2 + (1.5c.ω ) 2 Se vio en teoría que para mantener pequeña a la fuerza transmitida, hacemos la frecuencia natural inferior con respecto a la frecuencia de operación que se especifica. Para un diseño tentativo, escogeremos hacer ω / ωn= 3. Ya que en este sistema la frecuencia natural es ωn=√ 1.5 k /M, esto significa que diseñaremos de manera que 1.5 k = ωn2M = (ω / 3)2 M ó k= M.ω 2 (400 x 2π / 60) 2 (50/32.2) = = 201 lb/ft = 16.8 lb/in = 3 Kg/cm 9.(1,5) 9.(1,5) Ahora calculamos el factor de amortiguamiento c requirió para limitar la amplitud del desplazamiento a 1/2 in. (1.27cm). a resonancia. Reemplazando en la ecuación [1], nos queda: Y = m e ωn2 / √ 0 + (1.5 c ωn)2 ó c= (m e. ωn /1.5 Y) = 11.5 lb-seg/in = 0.96 lb-seg/in = 0.1714kg-seg/cm. Donde: Y= 1/24 ft=12.7mm, me= (20/32.2) (1/12) =0.0517 slug-ft=23kg-cm. ωn = (2π x400 / 60)/3=13.9 rad/seg Respuesta. Diseñar para: ωn=ω/3 → → k= 16.8 Lb /in = 3 Kg /cm = 2943N/m. 2 U.T.N. F.R.B.B. → Mecánica del Sólido Sergio Val → c= 0.96 Lb- seg/in = 0,1714 Kg - seg /mm = 167,7N.seg/m. 400.π kg cc = 2. M ωn = 2.50 Lb.0,45 . 30 Lb 3seg C/Cc = 0,266 = 628,31N.seg/m. Conclusión: El factor amplificador M es: M= 1 C = 2 2 Fo c ω ω 2 f k [1 - ] + 2. . ωn cc ωn y expresa la razón de la amplitud de la deflexión causada por la vibración forzada a la deflexión causada por la fuerza Fo (estática). En la gráfica siguiente puede verse que la amplificación de la amplitud aumenta cuando disminuye c/cc y que la amplitud máxima se produce en general para Por lo tanto, con C/Cc=0,266 y ωf ωf ωn ≠ 1 ωn = 3 , la gráfica nos indica que la amplificación es baja para nuestra máquina, encontrándose muy cercana a cero, óptima condición de funcionamiento. 3 U.T.N. F.R.B.B. Sergio Val Mecánica del Sólido Resumen analítico de un sistema con amortiguamiento y excitación armónica forzada Solamente son descriptas las expresiones matemáticas a los efectos de recordar y orientar lo visto en la asignatura de Mecánica del Sólido. La excitación armónica es originada en el modelo presentado, con la fuerza generada por una masa rotante m girando a una velocidad angular, a una distancia r respecto del centro e impulsada por el motor. Por lo tanto sabemos que la ecuación de movimiento es: M . &x&+ c x& + k x = (Fo) sen ω. t (1) La solución de esta ecuación consta de dos partes, la función complementaria que en este caso es una vibración libre amortiguada (es la solución de la homogénea m &x& + c x& + k x = 0) y la solución particular, que es una oscilación estacionaria de la misma frecuencia de la excitación. Se puede suponer que la solución particular es de la forma: x = X sen (ω.t - Φ) (2) donde X es la amplitud de la oscilación y Φ es la fase del desplazamiento respecto a la fuerza excitadora. La amplitud y fase en la ecuación (2) se calculan sustituyéndola en la ecuación diferencial (1). Cabe recordar que en el movimiento armónico las fases de la velocidad y aceleración están adelante del desplazamiento en 90° y 180° respectivamente. Los términos de la ecuación diferencial pueden ser representados gráficamente tal como muestra la figura 1. Se puede observar que: (3) (4) Figura 1 Las ecuaciones (3) y (4), si las expresamos en forma adimensional, permiten una clara representación gráfica de estos resultados. Si dividimos numerador y denominador de dicha ecuaciones por k se obtiene: 4 U.T.N. F.R.B.B. Sergio Val Mecánica del Sólido (5) k (6) Las expresiones (5) y (6) pueden expresarse en términos de las cantidades siguientes: Las expresiones no dimensionales de amplitud y fase quedan: (7) (8) Las representaciones gráficas de estas expresiones serán realizadas con los valores obtenidos en el modelo de laboratorio. Las ecuaciones (7) y (8) indican que la amplitud adimensional Xk/F0 y la fase Φ, son funciones solamente de la razón de frecuencias ω/ωn y del factor de amortiguamiento según se demuestra en los gráficos obtenidos. Se puede observar que el factor de amortiguamiento tiene gran influencia sobre la amplitud y el ángulo de fase, en la zona próxima a resonancia. Si realizamos un 5 U.T.N. F.R.B.B. Sergio Val Mecánica del Sólido diagrama de fuerzas como muestra la figura 2, podrá comprenderse mejor el fenómeno físico. Figura 2_ Relación vectorial en vibración forzada Como puede observarse para pequeños valores de ω/ωn < 1, tanto las fuerzas de inercia como las de amortiguamiento son pequeñas, lo que traduce en un pequeño ángulo de fase. La magnitud de la fuerza global es entonces casi igual a la fuerza del resorte como se muestra en la figura 2(a) Para ω/ωn =1 el ángulo de fase es 90° y el diagrama de fuerzas esta indicado en la figura 2 (b). La fuerza de inercia, que ahora es mayor es equilibrada por la fuerza del resorte, mientras que la fuerza aplicada supera la fuerza de amortiguamiento. La amplitud y la resonancia pueden calcularse de las ecuaciones (5) y (7) o de la figura 2(b) (9) A valores grandes de ω/ωn >>>1, el ángulo de fase se aproxima a 180° y la fuerza aplicada se emplea casi enteramente para vencer la fuerza de inercia, tal como muestra la figura 2(c). Resumiendo, la ecuación diferencial y su solución completa, incluyendo el término transitorio, puede escribirse como: (10) (11) 6