MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN Aun cuando la bisección es una

MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
Aun cuando la bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su método de
aproximación por “fuerza bruta” es relativamente ineficiente. La falsa posición es una alternativa
basada en una visualización gráfica.
Un método alternativo que aprovecha la visualización
gráfica consiste en unir 𝑓(𝑥𝑖 ) y 𝑓(𝑥𝑢 ) con una línea recta.
La intersección de esta línea con el eje de las 𝑥 representa
una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se
reemplace la curva por una línea recta da una “falsa
posición” de la raíz; de aquí el nombre de método de la
falsa posición, o en latín, regula falsi. También se le
conoce como método de interpolación lineal.
Representación gráfica del método de la falsa posición. Con
los triángulos semejantes sombreados se obtiene la
fórmula para el método
Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje de las 𝑥 se estima mediante
Despejando 𝑥𝑟 se obtiene:
Ésta es la fórmula de la falsa posición.
𝑓(𝑥𝑖 )
𝑓(𝑥𝑢 )
=
𝑥𝑟 − 𝑥𝑖 𝑥𝑟 − 𝑥𝑢
𝑥𝑟 = 𝑥𝑢 −
𝑓(𝑥𝑢 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑢 )
𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑢 )
El valor de 𝑥𝑟 calculado con la ecuación anterior, reemplazará, después, a cualquiera de los dos
valores iniciales, 𝑥𝑖 o 𝑥𝑢 , y da un valor de la función con el mismo signo de 𝑓(𝑥𝑟 ). De esta manera, los
valores 𝑥𝑖 y 𝑥𝑢 siempre encierran la verdadera raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a
la raíz sea adecuada. El algoritmo es idéntico al de la bisección excepto en que la ecuación
𝑥𝑟 = 𝑥𝑢 −
𝑓(𝑥𝑢 )(𝑥𝑖 −𝑥𝑢 )
𝑓(𝑥𝑖 )−𝑓(𝑥𝑢 )
concluir los cálculos.
se usa en el paso 2. Además, se usa el mismo criterio de terminación para
EJERCICIOS
1. Determinar las raíces reales de 𝑓(𝑥) = −0.5𝑥 2 + 2.5𝑥 + 4.4 :
a. Gráficamente
b. Empleando la fórmula cuadrática
c. Usando el método de la Falsa Posición con cuatro iteraciones, emplee el intervalo [5,7].
2. Determinar las raíces reales de 𝑓(𝑥) = 5𝑥 3 − 5𝑥 2 + 6𝑥 − 2 :
a. Gráficamente
b. Usando el método de la Falsa Posición con cinco iteraciones, emplee el intervalo [0,1].
3. Determinar las raíces reales de 𝑓(𝑥) = −25182𝑥 − 90𝑥 2 + 44𝑥 3 − 8𝑥 4 + 0.75𝑥 5 :
a. Gráficamente
b. Usando el método de la Falsa Posición con cinco iteraciones, para localizar la raíz más grande,
emplee el intervalo [10, 20].