De los números naturales a los números enteros Exposición de

De los números
naturales
a los números enteros
Exposición de
contenidos
matemáticos
Sobre el número
cardinal
Introducción:
Usos del número:
Se reconocen distintos usos del número natural. Los
usos o significados del número más destacados son:
1º. Para medir o describir el tamaño de un conjunto
2º. Para describir la posición de un elemento en una
sucesión
Los números con los que describimos el tamaño o la
numerosidad de los conjuntos se llaman números cardinales.
Los números con los que describimos la posición de un
elemento en una sucesión se llaman números ordinales.
Los números ordinales son los números que empleamos para
contar y ordenar.
I. Número cardinal
La exposición está dividida en dos partes:
Ideas generales sobre el número cardinal, para el caso de
conjuntos finitos
Ideas generales sobre el número cardinal, para el caso de
conjuntos infinitos
PRIMERA PARTE.
Ideas generales sobre el número cardinal para el
caso de conjuntos finitos
El cardinal indica la cantidad de elementos
constitutivos de un conjunto
Hay dos maneras de interpretar la frase
‘cantidad de elementos de un conjunto’
 Primer sentido o ámbito de interpretación:
‘tener la misma (mayor o menor) cantidad de
elementos’ o ‘la misma cardinalidad’.
 Segundo sentido o ámbito de interpretación.
Asignación específica de un número cardinal a un
conjunto.
Primer sentido o ámbito de interpretación:
‘tener la misma (mayor o menor) cantidad de
elementos’
o
‘la misma cardinalidad’.
Se trata del ‘sentido comparativo’ del término. En este caso,
la cantidad de elementos se mide a través de una
comparación.
Por ejemplo,
Si A = { a , c, d , w , l }
Y
B= { 1 , 2, 3 , 4 , 5 }
Entonces A y B tienen el mismo número de elementos.
Tienen la misma cardinalidad.
¿Cómo se puede saber que dos conjuntos tienen la
misma cardinalidad ?:
A través de la existencia de una biyección entre los dos
conjuntos. Si existe esa biyección se puede decir que los
conjuntos tienen la misma cardinalidad.
Definición: si es posible establecer una biyección entre los
elementos de dos conjuntos, entonces se dice que los
conjuntos son equivalentes.
Pero ¿qué hay detrás de esa biyección?
Para establecer una biyección (y cualquier aplicación o
función entre dos conjuntos) es necesario introducir un
orden para que los elementos de ambos conjuntos sólo
sean considerados una sola vez. Así que al establecer la
biyección se van ordenando los elementos de los conjuntos.
Pero,
¿es necesario un cierto tipo de orden o puede ser
cualquiera?
Es decir, ¿el cardinal depende de cómo ordenemos al conjunto?
Claro que no
Por ejemplo
A’={ c , d , w , l , a }
tiene la misma cardinalidad que
A = { a , c, d , w , l }
(es posible establecer una biyección entre ellos).
De lo anterior podemos colegir los siguientes resultados:
Resultado 1: El cardinal de un conjunto no depende de su
orden.
Resultado 2. Para establecer una biyección con el objeto
de decidir si dos conjuntos son equivalentes es necesario
ordenarlos. Pero ese orden es variable (o vicariante, para
emplear terminología piagetiana) ya que el cardinal
resultante no depende de un orden en particular.
Segundo sentido o ámbito de interpretación
El segundo sentido que se le puede dar a la expresión ‘la cantidad de
elementos de un conjunto’ se refiere a la asignación específica de un
número cardinal.
P or e jem p lo:
Si A = { a , c, d , w , l }
e n t on ce s e l ca r d in a l d e A o ca r d ( A ) ó # ( A ) e s 5
Si B = { ca b a llo, p er r o, g a t o }
En t on ce s e l ca r d in a l d e B ó ca r d ( B ) ó # ( B ) e s 3.
Si C= e s e l con ju n t o v a cío
e n t on ce s e l ca r d in a l d e C ó ca r d ( C ) ó # ( C) e s 0
Si D = { 1 , 2 } e n t on ce s e l ca r d ( D ) ó # ( D ) e s 2 .
Pregunta
¿Cómo se determina el cardinal de un conjunto?
El cardinal de un conjunto se establece mediante el conteo
(También se establece mediante la ‘cardinación súbita’
o la subutización, que consiste en….
Eso nos lleva a otra pregunta:
¿Qué hacemos en realidad cuando contamos?
i.
Establecemos una correspondencia uno a uno:
Entre un ‘segmento inicial’ del conjunto de los números
naturales (segmento inicial de N es un subconjunto finito
de N que inicia en el 1)
Y
El conjunto A que queremos ‘medir’ o conocer su
numerosidad o cardinalidad.
ii. Asignamos al conjunto contado el último número del
proceso de conteo.
Por ejemplo, cuando contamos el conjunto
A = { a, c, d, w, l }
Lo que hacemos fue establecer una biyección entre este conjunto y un
‘segmento’ del conjunto de los número naturales: N = { 1, 2, 3, 4, 5 }
(segmento inicial de N que termina en 5)
a
c
d
w
l
1
2
3
4
5
Y definimos como el cardinal de A, el último número de
nuestro conteo (el 5).
Es decir, concluimos que card(A) = 5.
Qué se hace durante ese proceso?
i.
A
ii.
En el paso i (en el que se establece una
biyección con el segmento inicial de N
equivalente a A) se ordenan los elementos de
con base en la serie numérica
En el paso ii se asigna a A el número natural 5.
pero.. ¿por qué este número y no otro de la lista?
Recordemos qué son los números naturales y qué denotan:
El número ‘5’ es el símbolo
‘más eficiente y sofisticado’ (hasta el momento y en comparación
con otros posibles registros o representaciones)
que designa la cantidad de elementos de todos los conjuntos
equivalentes al conjunto
{1,2,3,4,5}
ó al conjunto
{1, s(1), s(s(1)), s(s(s(1))), s(s(s(s(1)))} (donde s(1) significa el sucesor de 1)
Es decir, el número ‘5’ es el cardinal de todos los conjuntos
equivalentes a los antes dados.
Así que un número cardinal lo asociamos a toda una familia de
conjuntos: a los que son equivalentes entre sí.
Para comprender mejor este papel del ‘5’ recordemos (un posible) proceso
evolutivo del número (algunos aspectos han sido tomados de Bernardo
Gómez, 1993):
◊Identificación de una unidad, es decir, la abstracción de las cualidades
materiales o físicas de los objetos para concebirlos sólo en su singularidad
(definición de una unidad).
◊Comparación directa –mediante correspondencias uno a uno- de la cantidad de
objetos concretos pertenecientes a dos conjuntos distintos (por ejemplo, el
conjunto de pieles y el grupo de personas en una tribu; o las hachas que se
tienen a disposición y los hombres de la tribu). Establecimiento de la cardinalidad
en el sentido comparativo (igual, más, menos elementos que).
◊ Elaboración de un registro ‘concreto’ o físico de la cantidad de elementos de un
conjunto dado (el conjunto registro es equivalente al conjunto dado). El conjunto
registro puede estar formado por piedras o por muescas en un hueso.
Establecimiento de la cardinalidad en el sentido comparativo (igual, más, menos
elementos que).
◊Definición de modelos o prototipos de registro de los conjuntos
equivalentes. Por ejemplo, la mano se convierte (en muchos casos) en un
modelo típico para conjuntos equivalentes (que en lenguaje moderno
tienen cardinalidad ‘cinco’).
◊Colocación de una etiqueta a cada representación de conjuntos con
cantidades específicas (una etiqueta para la cantidad que hoy denotamos
como ‘cinco’ pudo haber sido ‘mano’).
◊Imposición de un orden en los modelos o registros, conforme a un orden
de sucesión y en el que la diferencia entre uno y otro es la unidad.
◊Construcción de un sistema de numeración con un número finito de
símbolos que haga referencia a los modelos o registros y que conserven
su orden.
◊Proceso de conteo: para esto se recurre a la secuencia ordenada de
palabras-número, que es la secuencia contadora. Contar resulta de la
comparación con un conjunto de referencia, en particular el conjunto de
los nombres número “1,2,3,4,5,6…” y la recitación y emparejamiento de
sus elementos con los del conjunto dado hasta que se agote.
Es importante considerar el doble papel de la serie de los números naturales:

Los números naturales permiten ordenar a un conjunto o
conocer la posición de un elemento de un conjunto (ver
definición de ordinal arriba).
Los números naturales representan a los números
ordinales.

Los números naturales permiten determinar la cardinalidad
de un conjunto.
Los números naturales también representan a los
números
cardinales.
Una parte de los problemas que tenemos para comprender los procesos
inherentes a los usos del número provienen de los distintos significados y
papeles que le asignamos a la serie de los números naturales, en particular,
como ordinales o como cardinales.
Así que la serie numérica y el 5 (en particular) juega un doble papel en el
proceso de conteo:
Juega el papel de ordenador del conjunto a numerar (A) y permite
determinar su ‘ultimo elemento’. Este elemento se define con base en el
orden que se ha impuesto al conjunto A a través de la serie numérica.
Este proceso es el que se describió en el inciso i.
Y sirve también para medir el tamaño del conjunto A, es decir, sirve
como cardinal, por lo que se dijo en ii.
SEGUNDA PARTE
Ideas generales sobre el número
cardinal para el caso de conjuntos
infinitos
Sobre los conjuntos infinitos
En la primera parte de este módulo definimos una función biyectiva
de
en el conjunto de los pares mediante la siguiente regla:
f(x)=2x. En este caso asociamos a cada número natural, su doble:
1
2
3
4
5
& etc.
2
4
6
8
6
Esto nos deja ver varias cosas:
Que el conjunto de los naturales es equivalente al conjunto de los pares
Que el conjunto de los naturales N tiene un subconjunto propio (menor que
él mismo, el conjunto de los pares,) que es equivalente a N.
¿A qué otros conjuntos les sucede esto mismo?
que contienen
equivalentes a sí mismos
subconjuntos
propios
que
son
Por ejemplo, ¿esto les sucede a los conjuntos finitos?
Es decir, podemos hallar un subconjunto propio de un
conjunto finito que sea equivalente al conjunto dado?
¿Cómo se argumentaría la respuesta?
Con base en lo anterior
Se define:
Un conjunto A es infinito si contiene algún
subconjunto propio que es equivalente a A.
Reflexión:
En la noción común VIII de Los Elementos de Euclides se
establece que: el todo es mayor que las partes. ¿Qué es lo que
pasa entonces con la anterior definición?
!Conjuntos numerables
Un conjunto es numerable si es equivalente al conjunto de los
números naturales
Esto significa que tienen el mismo número de elementos que
N.
Veamos, ¿qué conjuntos tienen el mismo número de
elementos que N?
Los pares, los impares, los enteros, los primos,
Todos esos, son conjuntos que tienen el mismo tamaño.
Pero ¿cómo medimos el tamaño de los conjuntos infinitos?
O dicho de otra manera
¿Qué número cardinal les asociamos?
Recordemos cómo asociamos un cardinal a un conjunto finito:
Mediante el proceso de conteo… eligiendo el último número…
Pero ¿cuál es el último número en el caso de los naturales?, es decir,
¿Cuál es el número que sigue después de la serie infinita
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , …?
¡No hay tal número dentro de la serie! Se tiene que buscar fuera de ella!
Cantor, que fue quien edificó la teoría de los números ‘transfinitos’,
llamó al número cardinal que designa la cantidad de elementos de
un conjunto numerable:
Aleph cero, que se denota como:
Es muy importante destacar que cuando se habla de la
cardinalidad de los conjuntos infinitos se está considerando
al conjunto infinito en su sentido actual, es decir, como una
totalidad que posee una estructura. Esto es muy distinto al
infinito potencial que está presente cuando se enlista a los
números naturales, pero no se les considera como una
totalidad completa y actual. Euclides en Los Elementos
incluyó un tratamiento potencial del infinito (posiblemente
influido por las posturas aristotélicas sobre el infinito).
¿Qué otros conjuntos numerables se pueden destacar?
Por ejemplo, los racionales
serán numerables…?
De entrada no lo parece, ya que aparentemente el conjunto contiene a
muchísimos más números, pero…
Considérese el siguiente arreglo:
Sígase la trayectoria comenzando por (1,1) y asociando a cada
paso un número natural.
Lo anterior nos indica que hay tantas fracciones en la tabla como números
naturales! (y en la tabla hay incluso más fracciones que números racionales)
Así que los números racionales son numerables, es decir, hay tantos
números naturales como racionales, es decir,
es equivalente a
es decir, tienen la misma cardinalidad,
tienen el mismo número de elementos.
Pero… ¿habrá sólo un tamaño de infinito? ¿o habrá algún número
cardinal mayor que
?
Sí, en efecto. Por ejemplo, el conjunto de los números contenidos en el
segmento [0,1] no es numerable, es infinito pero su cardinalidad es
mayor que la de
.
La cardinalidad de este tipo de conjuntos (la cardinalidad del continuo)
Cantor la definió como
o como aleph 1:
No contento con todo lo anterior…
Cantor definió después a una sucesión infinita de sucesiones infinitas
de números cardinales…