Subsecretaria de Educación Dirección Provincial de Educación

Subsecretaria de Educación
Dirección Provincial de Educación Primaria
Dirección de Gestión Curricular
Mejorar los aprendizajes
Área: Matemática
Equipo:
Teresita Chelle
Patricia García
Gloria Robalo
Inés Sancha
María Cecilia Wall
Andrea Novembre (coord.)
Dirección de Gestión Curricular – Mejorar los aprendizajes – Área Matemática
GACETILLA 1: La evocación de conocimientos en una clase de Sexto
grado1 2
Introducción:
En esta gacetilla reproducimos algunos fragmentos del registro de
una clase de repaso llevada a cabo en un Sexto grado, después del
adelantamiento y extensión del receso de invierno de 2009 que ocasionó
que las escuelas estuvieran un mes sin clases.
No estamos proponiendo una clase “ideal” que los maestros deberán
intentar imitar con sus alumnos, se trata de una clase que, como las de
todos los docentes, tiene aspectos a destacar y otros a mejorar, y que nos
sirve como ejemplo para empezar a pensar algunas cuestiones en torno a la
enseñanza.
¿Por qué proponemos analizar el extracto de una clase?
Poder poner la lupa sobre algunos hechos de la clase permite ubicarla
como objeto de reflexión. Esto da lugar, entre otras cuestiones, a pensar en
el tipo de interacciones que promovemos y en sus consecuencias, anticipar
cuál es el tipo de actividad matemática que nuestros alumnos pueden
desarrollar frente a un problema, pensar intervenciones que consideramos
más eficientes en función del grupo, etc.
El trabajo realizado por estos alumnos
Como trabajo para hacer durante el receso, la maestra preparó una serie de
actividades, entre las que estaban las siguientes:
Repaso
Realiza las siguientes actividades:
1) Hacé un listado de los temas que aprendiste hasta ahora.
2) Para cada tema, escribí un problema que te haya resultado fácil y
1
Agradecemos especialmente a Beatriz Moreno.
2
Queremos agradecer muy especialmente a Giselle Tallone, Silvana Botazzini y Gladys
Tedesco.
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otro que te haya parecido difícil.
3) Escribí para cada uno por qué te resultó fácil o difícil.
4) Explicá de qué manera se pueden resolver los fáciles y de qué
manera los difíciles.
5) Volvé a leer todos los problemas que se resolvieron y armá grupos de
problemas parecidos. Explicá en qué se parecen.
6) Consultá todos
los
problemas
que
resolvieron e
inventá
una
evaluación que tenga un problema de cada tipo. Resolvela.
Creemos importante aclarar que ni los alumnos, ni la maestra3 habían
trabajado con actividades de este tipo anteriormente. Los fragmentos de
registro de clase seleccionados para analizar corresponden a lo trabajado en
torno al ítem 1 de las actividades de repaso.
¿Cómo analizaremos el registro?
Hay muchísimas cuestiones que merecen ser analizadas en un
registro, pero en este caso nos detendremos en aquellos aspectos
vinculados con el estudio de los alumnos. Para ello, retomaremos la
reflexión sobre la evocación4, una de las estrategias de enseñanza que
permite volver a hacer presentes en las aulas contenidos que han sido
trabajados
con anterioridad.
Se
trata
de
situaciones
que
dan una
oportunidad a los alumnos para revisar, recordar, repensar, estabilizar y
familiarizarse con conceptos que ya han aprendido y que los introduce en la
práctica de estudiar matemática, como un tipo de trabajo personal y
autónomo.
Repensar los problemas que han sido resueltos en clases anteriores
en torno a un concepto o a un campo de problemas permite evocar acciones
sin realizarlas. Al buscar la forma de decir colectivamente qué sucedió, qué
problemas fueron tratados, qué se estudió, qué tareas y actividades se
propusieron y realizaron, los alumnos vuelven a pensar sobre los problemas
y procedimientos de resolución utilizados. Esta actividad reviste una
significación diferente a la de resolver: los alumnos tienen que pensar en el
sentido de los problemas más que en los detalles de su resolución, tienen
3
La docente está comenzando a trabajar con los lineamientos del Diseño Curricular vigente.
Retomamos algunas consideraciones sobre la evocación que han sido desarrolladas en:
DGCyE. Pcia. Bs. As., DPEP, (2009): “Cómo pensar la enseñanza en el segundo cuatrimestre
2009. Primera parte”. Disponible en www.abc.gov.ar
4
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que pensar por qué algunas estrategias de resolución son válidas más que
en el resultado5.
La evocación en el aula:
Con la intención de retomar el trabajo realizado, la docente propone a
los alumnos, en una primera instancia armar un listado con los temas
aprendidos, para luego elaborar un “machete” que contenga los aspectos
fundamentales de cada contenido. En la primera parte de la clase sucede el
siguiente intercambio:
M: maestra Al/Als:
alumno/alumnos
(en
caso
de
desconocerse
el
nombre).
M: Vamos a empezar. ¿Se acuerdan Al: Para estudiar…
que yo les pedí que hicieran el M: Para estudiar. El machete me
listado de los temas que habíamos sirve a mí para aprender a armarlo y
aprendido desde principio de año que me sirva después como una
hasta ahora? ¿Tienen el listado?
guía de estudio. Entonces, vamos a
Als: ¡Si!
aprender a hacer un machete para
M: ¿Qué vamos a hacer hoy? Vamos
tener
a hacer un machete.
necesito saber para mi prueba y con
Al: ¡Vamos! (Risas)
ejemplos para no olvidarme. Con
M: ¿Para qué sirve un machete?
esto puedo evitar tener que buscar
Al: ¡Para las pruebas!
cada tema por la carpeta, por el
(Risas)
libro, por todos lados y lo tengo en
M: ¡Para las pruebas! Tomemos
una hoja. ¿Estamos?
eso… Para las pruebas sirven, pero
Als: Sí…
todos
los
contenidos
que
¿para qué?
Disponer de un tiempo anterior a la clase para que comiencen a
preparar este trabajo genera mejores condiciones para que todos los
alumnos puedan participar del intercambio que sucede en el momento de la
evocación. Recordemos que el objetivo de la docente se centra en que los
5
Para ampliar el estudio sobre las situaciones de evocación, remitimos a la lectura de:
Sadovsky, Patricia; Sessa, Carmen; Napp, Carolina; Novembre, Andrea: “La formación de los
alumnos como estudiantes. Estudiar Matemática, serie: Apoyo a los alumnos de primer año
en los inicios del nivel medio.” Documento curricular de la Secretaría de Educación del GCBA.
Disponible en: www.buenosaires.esc.edu.ar/areas/educacion/curricula/d2web01.pdf
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alumnos recuerden y repasen los contenidos que estudiaron durante la
primera mitad del año. Estos niños nunca realizaron una tarea de ese tipo,
por lo que no tenían muy claro qué hacer ni cómo se iba a usar lo que iban
a traer de tarea. De hecho, no parecía a primera vista, un trabajo
interesante porque para muchos de los alumnos alcanzaba con hacer una
lista copiada de los títulos de la carpeta.
En este primer momento de la clase, la maestra deja en claro qué
van a hacer y por qué: “Entonces, vamos a aprender a hacer un machete
para tener todos los contenidos que necesito saber para mi prueba y con
ejemplos para no olvidarme. Con esto puedo evitar tener que buscar cada
tema por la carpeta, por el libro, por todos lados y lo tengo en una hoja”.
Situar a los niños en la tarea a resolver es fundamental para que el control
no quede sólo del lado del docente sino que sea compartido. Los alumnos
saben qué se va a hacer y por qué, no son ajenos a su aprendizaje.
La confección del “machete” planteada por el docente permite a los
niños organizar el repaso. Este no necesariamente se realiza siempre antes
de una prueba, sino que puede proponerse en cualquier momento del
proceso de enseñanza e irse completando a medida que van resolviendo
diferentes problemas en torno a un concepto. Su función es que los
alumnos resuman los aspectos más importantes de un contenido o de un
conjunto de problemas tratados en clase, desde una elaboración personal;
en él pueden incluir definiciones, ejemplos y aclaraciones. En su producción
escrita el alumno también puede anticipar ciertos errores, por ejemplo “no
se puede descomponer el divisor en una suma”, dicho en palabras o con
ejemplos. Se trata de que cada niño pueda escribir su “machete” de la
forma en que le resulte más fácil y clara de entender.
La clase continuó de la siguiente forma:
M: Bien. Sacamos el listado de los
M: Vivi.
temas que hicieron y los vamos
Vivi: Sistema de numeración y
anotando.
operaciones.
(Los chicos buscan en sus carpetas y
M: ¿Sistema de numeración?
la maestra se prepara para escribir
Vivi: Y operaciones.
en el pizarrón).
M: Ceci.
M: A ver… ¿quién me dice qué
Ceci: Potencias de 10.
aprendieron?
Al: ¡Ya lo dijeron, seño!
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(Comienzan a levantar las manos).
M: Lo dijeron pero no lo anotamos.
M: Dafne.
M: Cami.
Dafne: Lectura y escritura de
Cami: Traslación de ángulos con
números.
regla y compás.
(M lo escribe en el pizarrón)
Als: ¡Sí! ¿Se acuerdan de las
Al: ¿Lo anotamos, seño?
últimas actividades que resolvimos?
M: No. Primero en el pizarrón.
M: ¿Qué más? A ver, Lucas.
Vamos anotando todo el listado y
Lucas: Múltiplos y divisores.
vemos desde el principio cuáles nos
M: ¿Qué más? Rodrigo.
faltan.
Rodrigo: Números naturales y
Al: Potencias de diez.
operaciones.
M: ¿Quién más? Aldana.
Als: Seño, operaciones ya está.
Aldana: Cálculos mentales.
Al: Aprendimos a usar bien la
(M lo escribe en el pizarrón)
calculadora.
Al: ¡Yo, seño!
M: Eh, Matías.
M: Facu.
Matías: Criterios de divisibilidad.
Facu: Estrategias de cálculos.
M: Yamila.
(M lo escribe en el pizarrón)
Yamila: Cálculos mentales.
M: ¿Quién más? ¡Matías!
M: Cálculos mentales… Ya está.
Matías: Problemas y propiedades.
M escribe en el pizarrón lo que le
dice cada alumno, armando una
lista.
A medida que los alumnos dictan a la maestra qué aprendieron, van
leyendo títulos de la carpeta: Lectura y escritura de números, potencias de
diez, cálculos mentales, etc.
Estos primeros enunciados aún no están formulados en términos de
aprendizajes, los niños se valen de los títulos de las tareas como
herramientas
de
organización
de
los
conocimientos
que
fueron
construyendo en la actividad de resolver problemas. Pero la organización
que viene dada por los títulos representa una clasificación preestablecida de
los contenidos y no da cuenta de los aprendizajes personales que los niños
pudieron realizar sobre ellos, por ejemplo, “aprendí que para multiplicar por
diez, cien y mil, es más rápido agregar un cero, dos ceros o tres ceros al
número que querés multiplicar”.
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Todo el trabajo propuesto no puede llevarse adelante si el docente no
prevé la instalación de títulos o registros escritos que remitan al nombre
matemático del contenido que se está tratando. Es decir, los títulos como
“Yo solito” o “Resolvemos sin mirar” no dan pistas a los niños sobre lo que
trabajaron. Algunos títulos, que explicitan el contenido que se trabaja,
presentan el riesgo de sugerir a los niños la estrategia o la operación que
resuelve los problemas propuestos. En ese caso puede optarse por escribir
el título luego de la resolución o escribir una conclusión al finalizar que dé
cuenta de los contenidos matemáticos puestos en juego.
En un pasaje posterior, la docente va interviniendo para que puedan
identificar qué aprendizajes se incluyen en algunos de esos grandes títulos:
M: Camilo.
M: Brian.
Camilo: Los triángulos.
Brian: Ángulos interiores de un
M: Nuria.
polígono.
Nuria: Ángulos.
M: Rodri.
M: ¿Qué de ángulos? A trasladarlos
Rodrigo: Justificación.
vimos, y eso ya está.
M: ¡¡Justificación!!
M: Lola.
Los chicos revisan sus carpetas y
Lola: Cómo construir un triángulo.
cuadernos mientras la maestra
M: A ver, puse triángulos y ahora
escribe en el pizarrón.
pongo construcción.
M: Dani.
M: ¿Algo más?
Dani: Propiedades conmutativa,
A: Polígonos.
asociativa y distributiva.
Juana: Traslación de figuras con
M: Propiedades conmutativa…
regla y compás.
Vamos a poner propiedades.
M: Sí, pero tiene que ver con los
As: Pero ya está eso…
ángulos.
M: Bueno, lo dejamos ahí incluido.
(Juana asiente).
¡Facu!
Con la pregunta ¿qué de ángulos?, la maestra promueve que Nuria
especifique qué aspectos retuvo de las actividades matemáticas resueltas
bajo ese título o qué resultó importante para ella. La maestra también
realiza intervenciones que apuntan a que los niños establezcan relaciones
entre los aprendizajes que van identificando. Al decir: “puse triángulos,
ahora pongo construcción”, está informando a sus alumnos que la actividad
de construcción es un conocimiento que se vincula con el contenido
triángulos. Lo mismo ocurre cuando Juana propone “traslación de figuras
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con regla y compás”, la docente informa que es un contenido que se
relaciona con los ángulos.
Hay también algunos “aprendizajes” sobre los que la maestra no
decide intervenir, pues no es su propósito en ese momento. Cuando Brian
dice haber aprendido “ángulos interiores de un polígono”, no puede saberse
a qué se refiere, sin embargo, la docente no indaga en ese momento. Si lo
hiciera a propósito de cada afirmación, este momento de la clase se
extendería demasiado en el tiempo.
Resulta interesante analizar cómo a medida que transcurre el
intercambio, algunos niños van “despegándose” de los títulos de las tareas
que proponían en el comienzo de la clase, para dar lugar a la identificación
de aprendizajes que constituyen prácticas propias del trabajo matemático.
Es así como Rodrigo puede reconocer a la justificación como uno de los
aprendizajes
realizados.
La
“justificación”
no
corresponde
a
ningún
contenido que pueda identificarse con un título de la carpeta. Se trata del
reconocimiento de un aprendizaje acerca del quehacer matemático en esa
clase: “para hacer matemática tenemos que justificar y aprendimos a
hacerlo”.
A medida que los niños van apropiándose de este trabajo de
evocación de lo aprendido, la docente puede promover la reorganización de
los contenidos propuestos por los alumnos, seleccionando sobre cuáles va a
trabajar con mayor nivel de profundización. Por ejemplo, discutir si las
potencias de 10 y la justificación son contenidos parecidos o diferentes,
distinguiendo los contenidos matemáticos, como las potencias de 10, de los
que se refieren al trabajo que es propio de la matemática, como la
justificación.
Al finalizar la memoria colectiva de lo aprendido durante la primera
parte del año, la maestra propone a los niños que copien la lista. El listado
así confeccionado no es suficiente para evocar los aprendizajes que los
niños realizaron, es necesario introducirlos en el análisis de alguno o todos
los contenidos enunciados, según la decisión del docente. El nombre de un
concepto no contiene los conocimientos que de él se desprenden,
principalmente porque éstos son personales. No se trata de que vuelvan a
resolver los problemas de cada contenido, sino de volver a mirar lo que
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hicieron. Con este propósito, la docente indica que trabajen en parejas para
escribir sobre uno de los contenidos de la lista, estrategias de cálculo:
“Van a tener que escribir una oración chica donde diga qué es una
estrategia de cálculo…
Van a escribir qué es una estrategia, cómo se
resuelve un cálculo mental y un ejemplo”.
Para responder a la consigna, los alumnos trabajan mirando sus
libros y carpetas6:
Pareja 1:
Pareja 5:
Una de las alumnas dicta y las dos
Al1: Para nosotros la estrategia de
escriben:
cálculo es una forma de facilitar la
“Una estrategia es una forma más
cuenta haciendo una o más cuentas
fácil de hacer una cuenta.”
y descomponiendo el número. Y
ahora estamos haciendo cómo se
Pareja 2:
resuelve… y estamos hablando.
Dos alumnas charlan. Una le dice a
(Hablan entre ellos)
la otra: “Descomponés el número
Al1: Se resuelve…
para que la cuenta se te haga más
Al2: Descomponiendo los números.
fácil.” Van a escribir y se detienen.
La que habló dice: “¿Cómo se
Pareja 6:
resuelve? Podés poner,
Están hablando.
descomponés el número para que se
Al: Entonces ponemos…
te haga más fácil.”
Al: …ponemos 60 por 10 y 60 por 20
La otra nena acota: “…alguno de los
números…”
igual a esto… Acá da 600 y acá 1200
(lo dicen entre los dos) y sería…
1200 más 600, 1800.
Pareja 3:
(En la carpeta tiene escrito
M: Chicas, ¿ustedes ya pensaron
60 × 10 = 600
qué es una estrategia de cálculo?
60 × 30 = 600 + 1200 = 1800)
Al1: Una estrategia de cálculo es
Al: Era fácil.
una forma más rápida de resolver
Al: Claro. Podemos poner otro
un cálculo.
número más complicado…
60 × 20 = 1200
M: Ah. ¿El ejemplo ya lo tienen?
Al2: Por ejemplo descomponiendo el
Pareja 7:
número para que la cuenta se haga
Al1: La estrategia se resuelve…
más fácil.
Al2: desarmando, descomponiendo
6
Recomendamos la lectura del documento “Cálculo Mental y Algorítmico”, disponible en
www.abc.gov.ar
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M: Aha… ¿y el ejemplo?
los números. Por ejemplo 24 por 12
Se sonríen y miran en el libro.
es 24 por 6 más 24 por 6.
Al1: Por ejemplo… (le muestran un
Al1: O si no 520 por 24. Tenés que
ejercicio que tienen resuelto en el
ir descomponiendo el 24. Hacés 520
libro, donde calcularon 1520 × 12)
por 20, después 520 por 4 y a lo
1520 por 12 es lo mismo que hacer
último sumás todos los resultados.
20 por 12 y 1500 por 12 y después
M: ¡Muy bien! ¡Bien, Matías!
lo sumás y te da el resultado.
Pareja 8:
Pareja 4:
Al: Usando una distinta estrategia
M: ¿Qué están pensando?
siempre
Al: Cálculos mentales… eh…
resultado.…
te
va a dar el mismo
estrategias de cálculo es cuando
descomponés un número para hacer
una distinta estrategia pero siempre
te va a dar el mismo resultado que
hacer la cuenta común.
Es interesante observar cómo los niños pueden reflexionar sobre los
cálculos sin volver a resolverlos, los miran con el propósito de inferir qué
hay de general en la resolución de todos ellos y producir una definición de
estrategia de cálculo lo suficientemente sintética como para incluirla en el
“machete”. Cuando buscan ejemplos, tampoco se centran en la resolución
misma, intentan encontrar el cálculo que mejor “muestra” la explicación del
concepto que han escrito: “Era fácil. Claro, podemos poner otro número
más complicado”.
Una cuestión a destacar es que en esta clase se habla de “estrategias
de cálculo” refiriéndose a “estrategias de cálculo mental”, pero claramente
es una forma de comunicación compartida entre los alumnos y la docente.
Como parte de la instancia colectiva, donde la maestra propuso una
discusión sobre lo que cada pareja produjo, acordaron escribir un “machete”
común, que tuviese en cuenta las diferentes características importantes
para retener.
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Las estrategias de cálculo mental son formas diferentes para
hacer cuentas. Se usan una o más cuentas. Te da el mismo
resultado sin importar cómo lo hacés. Se hace desarmando los
números y hay muchas maneras de hacerlo.
Por ejemplo, para hacer 1520 × 12 se puede hacer 20 por 12 y
1500 por 12 y después sumás los resultados. También se puede
hacer 1520 × 6 y al resultado multiplicarlo por 2.
Cada pareja de alumnos tuvo la oportunidad de hacer su propio
“machete” y enriquecerlo con lo que los demás produjeron. Las diferentes
experiencias personales y conocimientos de los niños pueden aportar
información no tenida en cuenta o no considerada como un aprendizaje.
Esto no se puede dar sin un espacio colectivo de intercambio entre los
alumnos y el docente.
Así, la maestra introduce a los niños en este tipo de práctica de
estudio, de modo que en próximas situaciones cada alumno se encuentre en
mejores condiciones de confeccionar su propio “machete” enunciando los
aprendizajes que ha realizado desde su experiencia personal.
La síntesis que logran hacer los alumnos y los ejemplos de cálculos
que utilizan se corresponden con los conocimientos que han podido
construir hasta este momento. Sin duda, los recursos de cálculo que
dominan se irán ampliando y las definiciones que producen se irán haciendo
más precisas, en clases y años sucesivos. Asumir la provisoriedad y el largo
plazo en la construcción de los conocimientos supone aceptar que, por
ahora, son estos los aprendizajes que los niños pueden explicitar.
A modo de cierre
En esta gacetilla hemos propuesto algunas reflexiones sobre la
evocación como situación de enseñanza, que pretende instalar un tipo de
práctica de estudio de la matemática. Sabemos que muchos docentes
proponen a sus alumnos actividades de repaso de los contenidos tratados.
Estas actividades suelen consistir en volver a resolver algunos problemas
seleccionados por el docente, similares a los resueltos en el transcurso de
las clases anteriores, sin un espacio para que los niños reflexionen sobre el
conocimiento que han puesto en juego en esa resolución, los errores que
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han sido recurrentes, o los aspectos del contenido importantes para retener.
Por eso, hemos considerado necesario detenernos a analizar algunas
condiciones didácticas que convierten al repaso en una vuelta a lo
aprendido a partir de cierto distanciamiento de las actividades realizadas.
En este caso se trata de una vuelta atrás para no volver a hacer, sino para
reflexionar sobre lo hecho.
La evocación puede ser utilizada por el docente de muchas maneras,
de acuerdo a los objetivos que se plantee. Por un lado, es una estrategia
útil para evaluar la apropiación de contenidos por parte de los alumnos, y
por el otro es una actividad que funciona como herramienta para recuperar
los conocimientos necesarios para encarar el aprendizaje de un nuevo
contenido que los involucren.
Del mismo modo, pensamos que el análisis de los fragmentos del
registro de clase nos permite tomar distancia del lugar de quien da la clase
para mirar qué pasa con ella. Esta posición nos da la posibilidad de mirar a
nuestros alumnos en clase y a nosotros enseñando, nos da la oportunidad
de evaluar diversas posibilidades de acción y detectar problemas. Se trata
entonces, de reflexionar sobre los diferentes procesos que ocurren con el
objetivo de mejorar nuestras prácticas de enseñanza.
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