solucionario ensayo mt- 044

SENSCESMT044-A14V1
SOLUCIONARIO
ENSAYO MT- 044
1.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Conjuntos numéricos
Comprensión
1
2
90 , quedando
90 .
3
3
1 2
De ellos, los repartió en tres grupos iguales, quedando cada grupo con
90 .
3 3
Si de los 90 dulces se comió la tercera parte, entonces se comió
Luego, a uno de los grupos le sacó 5 dulces y los puso en otro, es decir el grupo menor
1 2
1 2
queda con
90 5 y el grupo mayor queda con
90 5 .
3 3
3 3
Por lo tanto, la expresión que representa la cantidad de dulces que tiene el grupo mayor es
1 2
90 5 .
3 3
2.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
5
2 5
:
=
3
3 6
5
3
Conjuntos numéricos
Aplicación
2 6
=
3 5
5 12
3 15
=
25 12
15
15
=
13
15
Al desarrollar las alternativas resulta:
5 14 14 2
21 5 21 3
17 30 17 13
2
15
15
15
1
1 6
5
1
6
6
6
5 8 15 16 31
6
5:
9
13
3
18 18 18
3 15
5
13 13
Por lo tanto, el resultado de
5
3
2 5
17
:
es igual al resultado de 2
.
3 6
15
3.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Conjuntos numéricos
Análisis
Al traspasar cada alternativa a decimal resulta:
3
2
4
1
= 0,375
= 0,4
≈ 0,444
= 0,5
8
5
9
2
El número
3
4
≈ 0,571
7
vale aproximadamente 0,429. Luego, los más cercanos son
7
5
Al hacer la diferencia positiva, resulta
Como
1
1
63
35
, entonces
4
3
2
15 14
1
7
5
35
35
está más cerca que
9
2
y
28 27
1
9
7
63
63
3
La alternativa correcta es B.
El valor de
1
Conjuntos numéricos
Aplicación
es 0,166666… Luego,
6
Es decir, T
Entonces, T
1
truncado a la décima es 0,1.
6
1
6
1
6
0,1
1
.
10
1
1
=
6 10
Por lo tanto, el valor de T
1
6
1
6
.
.
.
Unidad temática
Habilidad
.
9
3
9
4.
4
4
7
4
y
5
Por lo tanto, de los números propuestos, el que está más cerca de
es
2
=
6 10
=
60
1
4
es
.
6
15
16
60
=
4
15
en la recta numérica
5.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Conjuntos numéricos
Análisis
Al calcular los valores de p y de m en términos de n resulta:
2 7
31 1 2
7
n=1 p=
≈ 0,66… m = 0,7 =
(p – m) =
3 10
3
3
10
20 21
5 17
50 51
3 10
30
n=2
n=3
p=
p=
3 2 1
5
3
3
3 3 1
8
3
3
≈ 1,66…
m = 1,7 =
17
(p – m) =
10
≈ 2,66…
m = 2,7 =
27
(p – m) =
10
30
8
27
80 81
3
10
30
1
30
1
30
1
30
Así en general, para todo valor de n:
3n 1
1
p=
≈ (n – 1),66…
n
3
3
10(n 1) 7 10n 10 7 10n 3
m = (n – 1),7 =
10
10
10
3n 1 10n 3
30n 10 30n 9
1
(p – m) =
3
10
30
30
Por lo tanto, el valor numérico de (p – m) es
1
.
30
6.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Conjuntos numéricos
Aplicación
La capacidad total del recipiente es tres quintos de litro, es decir,
3
·1.000 = 600 cm³.
5
Tiene siete décimos de esa capacidad ocupados con agua, es decir,
7
·600 = 420 cm³.
10
Para que el agua ocupe la mitad del recipiente (300 cm³) se debe sacar 120 cm³ de los 420
120 2
cm³ que tiene, es decir,
.
420 7
Por lo tanto, para que el agua ocupe la mitad del recipiente se debe sacar
2
de esta.
7
7.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Conjuntos numéricos
Aplicación
Si Paula tiene 20 años y Pedro tiene el triple de la mitad de la edad de Paula, entonces
1
Pedro tiene 3
20 = 30 años.
2
Además, Pedro tiene el doble de un tercio de la edad de Juan. O sea, Juan tiene la mitad
1
del triple de la edad de Pedro, que corresponde a
3 30 = 45 años.
2
Por lo tanto, la diferencia de edad entre Juan y Pedro es de (45 – 30) = 15 años.
8.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Conjuntos numéricos
Análisis
Según la descripción, la cantidad de kilos de carne que recibió cada animal por día (hasta
el viernes) fue:
zorro
león
tigre
lunes
1
1
1
martes
1
3
2
miércoles
1
4
3
jueves
1
5
4
viernes
1
6
5
Luego:
I)
Verdadera, ya que cada día después del primero el león recibe un kilo de carne
más que el tigre. Entonces, si a lo que recibe el tigre se le suma lo que recibe el
zorro (un kilo) resulta lo mismo que recibe el león.
II)
Falsa, ya que el día martes de esa misma semana, el león recibió dos kilos más de
carne que el día lunes.
III)
Falsa, ya que desde el lunes y hasta el viernes de esa misma semana, el tigre
recibió 15 kilos de carne y el zorro recibió 5 kilos de carne. Entonces, el tigre
recibió el triple de lo que recibió el zorro.
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.
9.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Conjuntos numéricos
Análisis
3 ≈
Como
5
5
3 ·
5
1
, entonces si llamamos b =
2
1
·b
2
2
1
3 ≈ ·b
2
1
5–3≈ ·b
2
1
2≈ ·b
2
4≈b
3 ≈
5
2
3 se puede plantear:
(Desarrollando)
(Despejando b)
Por lo tanto, el valor más aproximado a
10.
5
5
3 es 4.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Potencias
Aplicación
Como 8 = 2³ y 4 = 2², entonces
82
41
n
n
=
2 3(2 n)
. Aplicando propiedades de potencias
2 2(1 n)
resulta:
2 3(2 n)
26
=
2 2(1 n)
22
3n
2n
Pasando a base
= 26
1
3n (2 2n)
queda 2
= 26
4 n
= 2
3n 2 2n
1(n 4)
= 24
n
= (2 1 ) n
2
Por lo tanto, la expresión para p es (n – 4).
4
1
=
2
n 4
=
1
2
n 4
11.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Potencias
Aplicación
La masa inicial del líquido es 1,4·10–2 kilogramos, o sea 0,014 kilogramos. Luego, al
evaporarse la mitad queda 0,007 kilogramos de líquido.
La masa del frasco vacío es de 3,5 gramos, o sea 3,5·10–3 = 0,0035 kilogramos.
La masa final del líquido más la masa del frasco vacío es:
(0,007 + 0,0035) = 0,0105 = 10,5·10–3 kilogramos.
Por lo tanto, después de evaporarse la mitad del líquido, la balanza marca 10,5·10–3
kilogramos.
12.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Raíces
Aplicación
Analizando cada alternativa, con m, n, p y q números naturales distintos de 1, resulta:
A) Falsa, ya que
m
np
B) Falsa, ya que
n
pq n =
C) Falsa, ya que
m
n
D) Falsa, ya que
m
p
nq =
n
qp
n =
mp
nm
1
n
q
E) Verdadera, ya que
np
n
p
p
p
q
p q
1
p
m
qp
qn
=
qn
n
pn
p
q
p
p
qn
p
qn
p
qn
p
qp
=
qn
pn
=
pq
p
qn
pn
qn
q
q
Por lo tanto, la afirmación siempre verdadera corresponde a la alternativa E.
13.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Raíces
Análisis
Para todo a, b, c números reales mayores que 1 se cumple que a < b < c
Luego:
a² < b² < c².
I)
Se cumple, ya que lo podemos comprobar si planteamos 2 < 2 3 < 3 y
elevamos la desigualdad al cuadrado: 4 < 2 · 3 < 9
4 < 6 < 9, lo que es
correcto.
II)
3 <3y
NO se cumple, ya que lo podemos comprobar si planteamos 2 < 2
elevamos la desigualdad al cuadrado: 4 < 2 + 2 6 + 3 < 9
4 < 5 + 2 6 < 9.
La primera parte es correcta, pero si tomamos la segunda parte de la desigualdad
queda:
2 6 < 4 (Elevando al cuadrado)
5 + 2 6 < 9 (Restando 5)
24 < 16, lo
que NO es correcto.
III)
Se cumple, ya que lo podemos comprobar si planteamos 2 < 2 3 < 3 y
elevamos la desigualdad al cuadrado: 4 < 2 + 3 < 9
4 < 5 < 9, lo que es
correcto.
Por lo tanto, la desigualdad solo se cumple para I y III.
14.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Función logarítmica
Aplicación
El punto medio del segmento PQ corresponde al promedio entre P y Q. Es decir:
P Q
log a log b
M=
=
2
2
Aplicando propiedades de logaritmos se tiene:
log a log b
log(a b) 1
M=
=
=
log(a b) = log
2
2
2
Por lo tanto, el valor de M es log
a b.
a b
15.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Función logarítmica
Análisis
Aplicando propiedades de logaritmos:
16
1
Si log
≈
9
4
Entonces, log
4
log
3
3
3
= log
4
4
Reemplazando, resulta
1
2
2
≈
1
4
4
= log
3
2 · log
1
2
=
4
1
≈
3
4
4
1
1 1
1
· log
≈
· =
3
2
2 8
16
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Álgebra
Aplicación
Para obtener (1 ∆ w), se reemplaza m =1 y p = w. Luego,
1 1 1 w
1
w
1∆w= w 1
w 1 w 1 w
17.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
4
1
≈
3
8
4
1
· log
3
2
Por lo tanto, de los valores propuestos, el más cercano a log
16.
log
Álgebra
Aplicación
Al factorizar la expresión resulta:
Factorizando por x
Factorizando el trinomio
x³ + x² – 2x
x (x² + x – 2)
x (x – 1) (x + 2)
3
1
es
.
4
16
Si bien ninguno de estos términos está en las alternativas, el producto de dos factores
también es un factor de la expresión. Luego, también son factores:
x (x – 1) = x² – x
x (x + 2) = x² + 2x
(x – 1) (x + 2) = x² + x – 2
Por lo tanto, la opción que es un factor de la expresión (x³ + x² – 2x) es (x² – x).
18.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
M2
P
1
2
1
a
1
a
a
Álgebra
Aplicación
a 1
a
1 a2
a
2
(a 1) 2
a
2
a
1 a2
Como (a – 1)² = (1 – a)², entonces
Al simplificar resulta
Por lo tanto,
19.
(a 1) 2
a
2
(1 a)(1 a)
a
a(a 1) 2
a 2 (1 a)(1 a)
a(1 a)(1 a)
a 2 (1 a)(1 a)
a(1 a) 2
a 2 (1 a)(1 a)
a(a 1) 2
a 2 (1 a)(1 a)
a(1 a)(1 a)
a 2 (1 a)(1 a)
1 a
.
a(1 a)
M2
1 a
es igual a
.
P
a(1 a)
La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Álgebra
Análisis
3x
5x
y GH = DA =
.
4
4
Entonces, el perímetro del rectángulo AHGD es (AH + GH + DG + DA) =
3x 5x 3x 5x
16x
= 4x.
4
4
4
4
4
I)
Falsa, ya que AH = DG =
II)
Verdadera, ya que el área del polígono ABCGFE se puede calcular como la
diferencia entre el área del cuadrado ABCD y el área del cuadrado DEFG.
Entonces, el área del polígono ABCGFE es
5x
4
2
3x
4
2
25x 2
16
9x 2
16
16x 2
= x².
16
III)
Verdadera, ya que EA = FH = GC = (DC – DG) =
5x
4
3x
4
2x
y AH = EF =
4
3x
, entonces el perímetro del rectángulo AHFE es (AH + FH + EF + EA) =
4
3x 2x 3x 2x
10x
2x
. Por otro lado, como HB = GC =
y GH = CB =
4
4
4
4
4
4
5x
, entonces el perímetro del rectángulo HBCG es (HB + CB + GC + GH) =
4
2x 5x 2x 5x
14x
. Luego, la diferencia entre ambos perímetros es
4
4
4
4
4
14x 10x
4x
= x. Es decir, el perímetro del rectángulo AHFE es x unidades
4
4
4
menor que el perímetro del rectángulo HBCG.
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
20.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Ecuaciones de primer grado
Aplicación
Si llamamos x a la cantidad de monedas de $500, se tiene la ecuación:
18 ∙ $50 + 12 ∙ $100 + x ∙ $500 = $5.100
900 + 1.200 + 500x = 5.100
500x = 5.100 – 2.100
500x = 3.000
x=6
Por lo tanto, Matías tiene 6 monedas de $500. Luego, la cantidad de monedas totales que
tiene es: 18 + 12 + 6 = 48 monedas.
21.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Ecuaciones de primer grado
Aplicación
Al interpretar matemáticamente el enunciado resulta:
2a – b = 3(a + b)
2a – b = 3a + 3b
– 3b – b = 3a – 2a
– 4b = a
(Eliminando paréntesis)
(Ordenando)
(Reduciendo)
Por lo tanto, el valor de b en términos de a es – 4b.
22.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Ecuaciones de primer grado
Aplicación
Si el niño obtuvo C caras y S sellos, entonces:
Como lanzón la moneda 24 veces, entonces se puede plantear C + S = 24.
Como cada cara suma dos puntos y cada sello suma tres puntos, y obtuvo un total de 55
puntos, entonces se puede plantear 2C + 3S = 55.
Luego, al resolver el sistema por sustitución resulta:
C + S = 24
C = 24 – S
2C + 3S = 55
2(24 – S) + 3S = 55
(Despejando)
48 – 2S + 3S = 55
S = 55 – 48
S=7
Por lo tanto, obtuvo 7 veces sello en la moneda.
23.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Función cuadrática
Comprensión
Como las soluciones de la ecuación son iguales, su discriminante es igual a cero. Luego,
a = m4, b = k y c = n2, entonces:
b2 – 4ac = 0
k2 – 4 ∙ m4 ∙ n2 = 0
k2 = 4 ∙ m4 ∙ n2
k1 = 2m2n y k2 = – 2m2n
24.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
I)
II)
III)
(Reemplazando los valores de a, b y c)
(Despejando k)
(Aplicando raíz cuadrada)
Inecuaciones lineales
Análisis
Falsa, ya que por ejemplo si a = 5 y b = 0, entonces a – b = 5.
a
Falsa, ya que por ejemplo si a = 4 y b = 1, entonces
= 4.
b
Verdadera, ya que para p, q, r y s números reales, se cumple que si p < q y r < s,
entonces p + r < q + s.
Por lo tanto, solo la afirmación III es siempre verdadera.
25.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
7 – 3x > 10 – 6x
6x – 3x > 10 – 7
3x > 3
x>1
Inecuaciones lineales
Aplicación
(Despejando x)
(Resolviendo)
(Dividiendo por 3)
Por lo tanto, el conjunto solución de la inecuación es ]1, + ∞[ .
26.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Relaciones y funciones
Comprensión
Analizando las alternativas, se tiene:
Verdadera, ya que g(– 4) = – 3 y g(– 5) = – 3.
Verdadera, ya que g(– 3) = – 3 y – g(3) = – 3.
Verdadera, ya que g(2,5) = 3 y g(2,8) = 3.
Verdadera, ya que g(– 1) = – 3 y g(1) es un entero positivo. Luego, – 3 es menor que
cualquier entero positivo.
E) Falsa, ya que g(– 2) = – 3 y – g(– 2) = 3. Luego, g(– 2) < – g(– 2).
A)
B)
C)
D)
27.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Relaciones y funciones
Análisis
I)
Falsa, ya que al reemplazar (1 – a) en la función resulta
p(1 – a) = 1 – (1 – a)² = 1 – (1 – 2a + a²) = (1 – 1 + 2a – a²) = (2a – a²).
II)
Falsa, ya que al reemplazar 3a en la función resulta 1 – (3a)² = (1 – 9a²). En
cambio, 9 · p(a) = 9 · (1 – a²) = (9 – 9a²).
III)
Verdadera, ya que al reemplazar a–1 en la función resulta
1
a2 1
–1
1 2
2
p(a ) = 1 (a )
.
(1 a ) 1 2
a
a2
p(a)
(1 a 2 ) a 2 1
Por otro lado,
.
a2
a2
a2
Por lo tanto, solo la afirmación III es siempre verdadera.
28.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Relaciones y funciones
Análisis
Se debe despejar x de la función h(x) = y:
x p
y=
2x 3
2xy – 3y = x – p
2yx – x = 3y – p
x(2y – 1) = 3y – p
3y p
x=
2y 1
Luego, como (2y – 1)
0
y
1
2
Significa que ningún valor de x tiene como imagen
función h(x) es IR –
29.
1
. Por lo tanto, el recorrido de la
2
1
.
2
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Función afín y función lineal
Aplicación
- A las 9 AM, la temperatura es de 18º C, punto (9, 18) = (x1, y1)
- A las 11 AM la temperatura es de 22º C, punto (11, 22) = (x2, y2)
La ecuación de la recta que pasa por (x1, y1) y (x2, y2) es:
y y1
y= 2
(x – x1) + y1
x 2 x1
y=
22 18
(x –
11 9
y=
4
(x – 9) + 18
2
9) + 18
y = 2x – 18 + 18
y = 2x
Por último, evaluamos en x = 15
y = 2·15 = 30
Por lo tanto, a las 15 horas la temperatura será de 30º C.
30.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Función afín y función lineal
Comprensión
Según la gráfica, la recta intersecta al eje X en 1 y al eje Y en – 3. Por lo tanto, debido a la
inclinación de esta, su pendiente es positiva y su coeficiente de posición es – 3. Luego, la única
alternativa que cumple con estas condiciones es la C.
31.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Función exponencial
Comprensión
Para determinar el capital acumulado con una tasa de interés compuesto:
C = K ∙ 1 i%
n
Donde
C: Capital acumulado
K: Capital inicial
i: tasa de interés (%)
n: número de períodos considerados
En este caso:
K=$m
i=i
n = 4t
Se cumple que n = 4t. Como el período es trimestral, en cada año hay cuatro períodos, y
en t años, habrá 4t períodos.
Reemplazando los valores en la fórmula de interés compuesto, obtenemos:
i
C=m∙ 1
100
4t
i
Por lo tanto el capital acumulado al cabo de t años es igual a m ∙ 1
100
4t
32.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Función logarítmica
Análisis
Sea la función h(x) = log2 x2 – 1.
I)
Falsa, ya que la función h(x) no está definida para x = 0. Luego, el dominio de la
función no corresponde al conjunto de los reales.
II)
Falsa, ya que para x = 2 , h(x) = 0. Luego, 0 pertenece al recorrido de la función.
III)
Verdadera, ya que la función h(x) no está definida para x = 0.
Por lo tanto solo la afirmación III es verdadera.
33.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
2x =
Raíces
Aplicación
x (x 1)
(Eliminando paréntesis)
2x = x 2 x
4x² = x² + x
4x² – x² – x = 0
3x² – x = 0
x·(3x – 1) = 0
(Elevando al cuadrado)
(Ordenando)
(Reduciendo)
(Factorizando)
Dicha igualdad se cumple para x = 0 y x =
1
. Reemplazando cada una de ellas en la
3
ecuación resulta:
x=0
2·0 = 0 (0 1)
x=
1
2·
1
=
1
1
0
0=
1
2
=
0=0
1 4
2
=
2
3 3
3 3
3
3
3
3
3
Dado que en ambos casos se cumple la igualdad, entonces ambos valores de x son
solución de la ecuación.
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación 2x =
x (x 1) es 0,
1
3
.
34.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Función cuadrática
Análisis
Sea la función f(x) = px2 + 2pqx, con p y q números naturales.
I)
Verdadera, ya que (0, 0) y (–2q, 0) pertenecen a la función. De hecho,
f(0) = p·02 + 2pq·0 = 0
f(–2q) = p· (–2q)2 + 2pq·(–2q) = 4pq2 – 4pq2 = 0
También factorizando la función podemos llegar a la misma conclusión.
f(x) = px2 + 2pqx = px·(x + 2q)
Los ceros de la función se obtienen para x = 0 y para x = –2q.
II)
Falsa, ya que el vértice de la función cuadrática es (– q, – pq2). De hecho, el vértice de
una función cuadrática de la forma f(x) = ax2 + bx + c, es igual a
b
b
,f
2a
2a
. En
este caso, a = p, b= 2pq. Reemplazando, tenemos que el vértice es
2pq
,f
2p
III)
2pq
2p
= (– q, – pq2).
Falsa, ya que (0, 0) pertenece a la gráfica de la función. De hecho,
f(0) = p·02 + 2pq·0 = 0.
Por lo tanto solo la afirmación I es verdadera.
35.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Función exponencial
Comprensión
La función f(x) = x3 corresponde a una función cúbica con vértice en el origen. Si la
función está multiplicada por un factor negativo, entonces la gráfica sufre una simetría
con respecto al eje X, o sea las ramas invierten su sentido de crecimiento. En este caso
como la función m(x) = – 3x3 es una función cúbica con vértice en el origen multiplicada
por un factor negativo, la gráfica que mejor representa a la función es la correspondiente
a la alternativa C.
36.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Ángulos y polígonos
Análisis
180 (N 2)
. Como
N
PABSC es un pentágono regular, entonces cada uno de sus ángulos interiores mide
180 (5 2) 540
= 108°.
5
5
Cada ángulo interior de un polígono regular de N lados mide
Dado que el Δ PSC es isósceles, entonces
SPC =
APR = (
APC –
RPS –
108
2
RPS = 45°.
Δ PRS es isósceles rectángulo en R, entonces
Entonces,
180
= 36°. Además, como el
SPC) = (108° – 45° – 36°) = 27°.
Por lo tanto, el valor del ángulo APR es 27°.
37.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
Aplicación
Al esquematizar la situación resulta:
y
O
•
5
4
3
2
1
–1
4
1
2
x
3
–2
–3
•
P
Tomando como referencia el centro de la circunferencia, que se traslada del punto O(3, 5)
al punto P(4, – 3), es posible determinar el vector de traslación T(a, b):
O(3, 5) + T(a, b) = P(4, – 3)
T(a, b) = P(4, – 3) – O(3, 5) = (4 – 3, – 3 – 5) = (1, – 8)
Por lo tanto, el vector de traslación T es (1, – 8).
38.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
Aplicación
Si dos puntos son simétricos con respecto a una recta, entonces dicha recta es
perpendicular en el punto medio al segmento formado por los dos puntos.
Luego, como los puntos A(– 1, – 2) y B(3, – 2) son simétricos con respecto a la recta L y
forman un segmento horizontal, entonces la recta L es vertical y pasa por el punto medio
del segmento AB, que es (1, – 2). Entonces, la ecuación de la recta de L es x = 1.
y
L
2
1
P•
•Q
–1
–2
3
1
–1
A• – 2
2
4
x
•B
Por lo tanto, como indica la figura, si al punto P(– 2, 1) se le aplica una simetría axial con
respecto a la misma recta L se obtiene el punto Q(4, 1).
39.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
Análisis
Al extender los lados del hexágono hasta el punto P, es posible verificar que se forma un
triángulo equilátero entre los vértices del hexágono y el punto de rotación. Luego, para
efectuar la rotación pedida, basta con girar dicho triángulo en 60° con respecto a P,
“arrastrando” al hexágono con él como muestra la figura.
y
60
P•
–1
1
1
x
Por lo tanto, la opción que representa mejor la figura obtenida es la que se encuentra en la
alternativa E.
40.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
Análisis
I)
Falsa, ya que P y Q son simétricos con respecto al eje X.
II)
Falsa, ya que P está debajo de Q, luego para obtener P se puede aplicar a Q el
vector de traslación (0, – 2a).
III)
Falsa, ya que el sentido positivo de giro es en contra de las manecillas del reloj.
Luego, para obtener Q se puede aplicar a P una rotación negativa de 90º con
respecto al origen.
Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.
41.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
Aplicación
Como la razón de homotecia es 2,5, el triángulo PQR es rectángulo isósceles en Q y sus
catetos miden 4 cm, entonces el triángulo QST es rectángulo isósceles en S y sus catetos
miden (4 · 2,5) = 10 cm.
Por el teorema de Thales se puede plantear
queda
x 4
4
OS
. Si llamamos x a la medida de OP
TS
x 4 10
, y al resolver resulta:
10
10·(x + 4) = 4·(x + 14)
10x + 40 = 4x + 56
Por lo tanto, la medida de OP es
42.
OQ
RQ
6x = 16
x=
16
6
8
3
8
cm.
3
La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Transformaciones isométricas
Comprensión
Un punto en el segundo cuadrante tiene abscisa negativa y ordenada positiva, o sea es de
la forma (–, +). Luego:
A)
B)
C)
D)
E)
(– a, c – b) a > 0 y b < c
– a < 0 y (c – b) > 0
(–, +)
(– c, b) c < 0 y b < 0
–c>0yb<0
(+, –)
(b – c, – a) b < c y a > 0
(b – c) < 0 y – a < 0
(–, –)
(b, c – a) b < 0 y c < a
b < 0 y (c – a) < 0
(–, –)
(– b, a)
b<0ya>0
–b>0ya>0
(+, +)
Por lo tanto, el punto que se encuentra en el segundo cuadrante del plano cartesiano es
(– a, c – b).
43.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría analítica
Aplicación
La distancia entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) se calcula como
(x 1
x 2 )2
y 2 ) 2 . Entonces, la distancia entre un punto cualquiera (a, b) y el
(y1
a2
origen (0, 0) es (a 0) 2 (b 0) 2 =
origen y cada uno de los puntos:
( 7) 2 12
A) (– 7, 1)
32
B) (3, 5)
C) (2, – 6)
52
22
D) (– 4, – 4)
9 25
( 6) 2
50
34
4 36
40
( 4) 2
( 4) 2
16 16
02
64 0
64
82
E) (8, 0)
49 1
b 2 . Luego, calculando la distancia entre el
32
Como todas son raíces, entonces la menor es la que tiene menor cantidad subradical, o
sea 32 .
Por lo tanto, de los puntos propuestos, el que está más cerca del origen es (– 4, – 4).
44.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría analítica
Aplicación
La ecuación de una recta que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) se determina por la
y y1 y 2 y1
relación
. Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (– 1,
x x1 x 2 x1
2p) y (3, – 2p) se determina como:
y 2p
x ( 1)
y 2p
x 1
y 2p
2p 2p
3 ( 1)
4p
4
=–p
x 1
y – 2p = – px – p
y = – px – p + 2p
y = – px + p
Entonces, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (– 1, 2p) y (3, – 2p) es
y = – px + p
45.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría analítica
Análisis
Al despejar la ecuación principal de L resulta:
px + qy + pq = 0
qy = – px – pq
y=
px pq
q
p
x p . Luego:
q
I)
Falsa, ya que para ser paralelas deberían tener la misma pendiente, y no es así ya
que tienen el signo contrario.
II)
Verdadera, ya que para ser paralelas el producto de sus pendientes debe ser – 1, y
p q
en este caso
= – 1.
q p
III)
Verdadera, ya que la intersección con el eje X se puede determinar haciendo
y = 0. En este caso: px + q·0 + pq = 0
px + pq = 0
px = – pq
pq
x=
=–q
p
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
46.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría analítica
Comprensión
Un punto en el espacio se puede representar mediante un trío ordenado (x, y, z), donde x
es la abscisa, y es la ordenada y z es la cota.
Como en este caso se pide que la cota sea el doble de la ordenada, entonces la tercera
componente debe ser el doble de la segunda, condición que solo se cumple en la
alternativa D.
Por lo tanto, de los puntos propuestos, se cumple que la cota es igual al doble de la
ordenada en el punto (3, – 2, – 4).
47.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría analítica
Análisis
Para que el punto (4, – 1, 7) pertenezca a la recta asociada a la ecuación vectorial v(t),
debe cumplirse que (– 2, 3, – 5) + t(1, a, 2) = (4, – 1, 7). Luego, operando componente a
componente:
– 2 + 1·t = 4
3 + at = – 1
– 5 + 2t = 7
Con la primera y tercera ecuación se puede determinar que t = 6. Entonces, reemplazando
4
2
en la segunda resulta 3 + 6a = – 1 6a = – 1 – 3 = – 4 a =
6
3
Por lo tanto, el valor de a es
2
.
3
48.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Comprensión
Como el triángulo ABE es isósceles en E y ABE
EDB
DCB, entonces la única
afirmación que no se cumple es la C, ya que si llamamos AE = EB = BD = BC = a
y AB = ED = DC = b, entonces:
Perímetro ABCDE = (AB + BC + DC + ED + AE) = (b + a + b + b + a) = 2a + 3b
Perímetro EBD = (EB + BD + ED) = (a + a + b) = 2a + b
Luego, Perímetro ABCDE = 2a + 3b ≠ 3∙Perímetro EBD = 3∙(2a + b) = 6a + 3b
O sea, en general, el perímetro del polígono ABCDE NO es igual al triple del perímetro
del triángulo EBD.
Por lo tanto, la afirmación que no siempre es verdadera corresponde a la alternativa C.
49.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Análisis
Como los triángulos USP y QRP son rectángulos con un ángulo en común, entonces son
semejantes.
Al plantear la proporcionalidad de lados homólogos resulta
US
RQ
PU
PQ
PS
.
PR
Como S y T son los puntos medios de PQ y RQ , PQ = 4 y RQ = 3, entonces:
* PR = 5 (por trío pitagórico) y ST es mediana del triángulo, por lo cual mide la mitad de
PR , o sea ST = 2,5.
* PS = 2 y RT = 1,5
Luego, al reemplazar en la proporcionalidad:
US PU 2
3 2
4 2
US =
= 1,2 y PU =
= 1,6
3
4
5
5
5
Además, UR = (PR – PU) = (5 – 1,6) = 3,4.
Perímetro STRU = (ST + RT + UR + US) = (2,5 + 1,5 + 3,4 + 1,2) = 8,6
Por lo tanto, el perímetro del cuadrilátero STRU es 8,6.
50.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Como L3 // L4, entonces se puede plantear el teorema de Thales
Al despejar resulta: x·(a + b) = b·(x + b)
ax + bx = bx + b²
Por lo tanto, la expresión que representa siempre el valor de x es
x
b
x b
.
a b
ax = b²
b2
.
a
b2
x=
a
51.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Como los puntos B y C dividen al segmento AD en la razón AB : BC : CD = 5 : 3 : 7,
entonces se puede escribir AB = 7k, BC = 3k y CD = 7k, con k un número real positivo.
Entonces, para determinar k se puede plantear:
BD = p
BD = (BC + CD) = (3k + 7k) = 10k = p
Luego, AC = (AB + BC) = (5k + 3k) = 8k = 8
Por lo tanto, AC es igual a
52.
k=
p
10
4p
p
=
5
10
4p
.
5
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Según el teorema de Euclides, en un triángulo rectángulo, si p y q son las proyecciones
respectivas de los catetos a y b sobre la hipotenusa c, entonces se cumple que a² = p·c y
b² = q·c. Al reemplazar en este caso resulta:
3² = 1 · c
c=9
x² = 8 · 9
x² = 72
q=8
x=
Por lo tanto, el valor de x es
53.
72
72 .
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Circunferencia y círculo
Aplicación
Como PQ es tangente en T a la circunferencia de centro O, entonces PQ
que además PQ // RO , entonces TO
TO . Dado
RO , lo que significa que el arco TR mide 90º.
Si ROB = 50º, entonces el arco RB también mide 50º. Como AB es diámetro de la
circunferencia, entonces:
Arco AT + Arco TR + Arco RB = 180º
Arco AT = (180º – 90º – 50º) = 40º
Por lo tanto, la medida del arco AT es 40º.
54.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Circunferencia y círculo
Aplicación
Según el teorema de la secante con la tangente, en este caso se cumple que
HM GM
2
FM . Luego, reemplazando los valores conocidos:
8 · GM = 10²
GM =
100
= 12,5 cm
GH = (GM – HM) = (12,5 – 8) = 4,5 cm
8
Por lo tanto, la medida de GH es 4,5 cm.
55.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Circunferencia y círculo
Análisis
Si MQ mide una unidad más que MR , PM mide el doble de MQ , entonces se puede
plantear: MR = x MQ = x + 1 PM = 2(x + 1)
Según el teorema de las cuerdas, en este caso se cumple que SM MQ
Luego, reemplazando las expresiones anteriores:
6·(x + 1) = 2(x + 1)·x
6 = 2x
x=3
MQ = (3 + 1) = 4
PM MR .
Por lo tanto, el valor del segmento MQ es 4.
56.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Volúmenes y superficie
Comprensión
La arista de un poliedro corresponde a la intersección de dos caras, y un prisma recto
corresponde a un poliedro que tiene dos caras basales poligonales paralelas y
congruentes, cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados.
Si la base de un prisma recto tiene N lados, entonces el prisma tiene (N + 2) caras, 3N
aristas y 2N vértices. Luego, si el prisma tiene 10 caras en total, significa que su base
tiene 8 lados, y que el prisma tiene 24 aristas y 16 vértices.
Por lo tanto, el prisma tiene 24 aristas en total.
57.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Volúmenes y superficie
Aplicación
Al realizar la rotación, se forma un cilindro de radio 2a y altura 3a, al cual hay que
restarle dos cilindros de radio a y altura a.
Co el volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura, entonces el volumen
generado es ·(2a)²·3a – 2·( ·a²·a) = 12 a³ – 2 a³ = 10 a³
L
Por lo tanto, se forma un sólido cuyo volumen se puede expresar como 10 a³.
58.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Probabilidad
Comprensión
Opciones para los primeros dígitos del código, compuesto por letras:
-
para la primera posición se tienen 3 opciones (las tres primeras letras del abecedario),
luego para la segunda posición, como no se pueden repetir las letras y ya se ocupó
una, quedan 2 opciones.
Opciones para el tercer y cuarto dígito, compuestos por números:
-
Los números ocupados en este código son 4, correspondientes a los números 2, 3, 5 y
7. Para la primera posición se tiene 4 opciones y luego para la segunda opción, como
no se pueden repetir los números y ya se ocupó uno, quedan 3 opciones.
Finalmente las combinaciones del código pueden ser: 3 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 3 = 2 ∙ 32 ∙ 4.
59.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Probabilidad
Comprensión
El hecho que en las dos ocasiones anteriores se haya obtenido un múltiplo de 2 no
condiciona a la siguiente probabilidad. Por lo tanto, la probabilidad de obtener un 2
1
dentro de la ruleta que tiene 8 números es .
8
60.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Probabilidad
Aplicación
El último término de la clave es un número cardinal divisor de 6. Los números que
cumplen con esa condición son: 1, 2, 3 y 6. Por lo tanto, la probabilidad de acertar con la
1
clave correcta es .
4
61.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Probabilidad
Comprensión
El espacio muestral al lanzar tres monedas es: {(CCC) (CCS) (CSC) (CSS) (SSS) (SSC)
(SCS) (SCC)}. Si la variable aleatoria toma el valor 2, significa que se obtuvieron 2 caras
en el experimento. Los elementos del espacio muestral que cumplen con esta condición
son 3: (CCS) (CSC) (SCC).
62.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Probabilidad
Aplicación
Si llamamos H a los hombres y M a las mujeres, las combinaciones posibles de hijos que
puede tener el matrimonio es: {(HHH) (HHM) (HMH) (HMM) (MMM) (MMH) (MHM)
(MHH)}. Las combinaciones que cumplen con la condición de que al menos dos de ellos
sean hombres son 4: (HHH) (HHM) (HMH) (MHH). Luego la probabilidad pedida es
4 1
.
8 2
63.
La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Probabilidad
Análisis
De acuerdo a la tabla se obtienen los siguientes datos:
Personas fumadoras: 150
Personas NO fumadoras: 100
Personas que presentan molestias respiratorias: 160
Personas que NO presentan molestias respiratorias: 90
I)
II)
III)
Verdadera, ya que las personas que no fuman son 160 de un total de 250 personas
100 2
encuestadas. Luego, la probabilidad es:
.
250 5
Verdadera, ya que las personas que son fumadoras son 60 dentro de las 90
personas que no presentan molestias respiratorias. Luego, la probabilidad es:
60 2
.
90 3
Verdadera, ya que las personas que presentan molestias respiratorias son 90
dentro de las 150 personas que son fumadores. Luego, la probabilidad es:
90 3
.
150 5
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
64.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Probabilidad
Aplicación
El siguiente diagrama de árbol muestra la situación:
10 padres
30 no son padres
40 hombres
100 personas
60 mujeres
20 madres
40 no son madres
Luego, calculando la probabilidad:
P(mujer o que tenga hijos) = P(mujer) + P(que tenga hijos) – P(mujer y que tenga hijos)
60
30
20
P(mujer o que tenga hijos) =
+
–
100
100
100
P(mujer o que tenga hijos) =
70
100
7
10
65.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Probabilidad
Análisis
En total, la bolsa contiene 16 fichas, de las cuales 7 son negras y 9 son blancas. De las
fichas negras, 5 tienen un número impar y 2 un número par. De las fichas blancas, 5
tienen un número impar y 4 un número par.
I)
II)
III)
Falsa, ya que en la bolsa hay 4 fichas blancas con un número par. Luego, como la
4 4
extracción es sin reposición, la probabilidad es
.
16 16
Verdadera, ya que en la bolsa hay 5 fichas negras con un número impar y 9 fichas
5 9
blancas. Luego, como la extracción es sin reposición, la probabilidad es
.
16 16
Falsa, ya que en la bolsa hay 5 fichas blancas con un número impar y dos fichas
negras con un número par. Luego, como la extracción es sin reposición, la
5 2
probabilidad es
.
16 16
Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.
66.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Probabilidad
Aplicación
Sea la función de distribución F(x) definida para una variable aleatoria discreta x con
función de probabilidad f. Dados los valores de F(x) podemos obtener los valores de f(x).
x
1
2
3
4
5
6
F(x)
0,1
0,35
0,6
0,8
0,95
1
Como F está definida para una variable aleatoria discreta, f(xi) = F(xi) – F(xi–1).
Luego, f(5) = F(5) – F(4) = 0,95 – 0,8 = 0,15
Por lo tanto, f(5) = 0,15.
67.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Probabilidad
Aplicación
En la caja las fichas negras son {1, 2, 3} y las fichas rojas son {4, 5, 6, 7, 8, 9}. Si se
extrajo una ficha con número impar, entonces la ficha extraída corresponde a una de
{1, 3, 5, 7, 9}. De estas fichas, 2 son negras y 3 son rojas, luego, la probabilidad de que la
ficha extraída sea roja es igual a:
P(A) =
68.
3
5
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Estadística
Aplicación
La marca de clase se obtiene como el promedio de los extremos de un intervalo. Por ello
Puntajes
[0,14]
Marca
clase
7
de Frecuencia
[15, 29]
22
3
[30, 44]
37
2
[45, 59[
52
1
4
El promedio en función de la marca de clase se obtiene como:
x
x 1 ·f 1
x 2 ·f 2 ... x n ·f n
f 1 f 2 ... f n
siendo xi la marca de clase del intervalo i-ésimo y fi la frecuencia absoluta del mismo
intervalo.
Reemplazando, obtenemos:
x
7·4
22·3 37·2 52·1
4 3 2 1
28 66 74 52
10
220
10
22
Por lo tanto el promedio de los puntajes alcanzados por los jugadores, a partir de la marca
de clase es igual a 22.
69.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Estadística
Análisis
Si tabulamos los datos, obtenemos la siguiente tabla:
Edad (años)
Mujeres
Hombres
Total
20 a 35
1.500
2.500
4.000
36 a 51
3.500
2.000
5.500
52 y más
3.000
3.500
6.500
8.000
8.000
16.000
I) Falsa, ya que el quinto decil con respecto al total de personas que trabajan en la
empresa corresponde a la mediana. En este caso, si son 16.000 personas, la
mediana corresponde a los datos ubicados en la posición 8.000 y 8.001, los que se
encuentran el intervalo de 36 a 51 años. Esta medida no es equivalente a la
cantidad de mujeres de la empresa.
II) Verdadera, ya que el primer cuartil corresponde al 25% inferior en la distribución
de frecuencias. En este caso el 25% inferior con respecto al total de trabajadores
de la empresa corresponde a las personas que tienen de 20 a 35 años de edad.
III) Falsa, ya que el percentil 25 corresponde al 25% inferior en la distribución de
frecuencias, perteneciente al intervalo de los hombres de 20 a 35 años.
Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.
70.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
A)
B)
Estadística
Comprensión
Falso, ya que la muestra sí podría tener más de una moda si x fuese igual a 2.
Verdadero, ya que no puede ocurrir que la mediana de la muestra sea 2, pues
para cualquier valor de x mayor o igual que 1, la cantidad de números menores a 2
sería menor que la cantidad de números mayores que 2.
Falso, ya que la frecuencia total de la muestra podría ser 5 si x fuese igual a 1.
Falso, ya que la moda de la muestra podría ser 4 si x fuese mayor o igual a 3.
Falso, ya que la media aritmética de la muestra podría ser un número entero si x
fuese igual a 3. En tal caso la media aritmética sería igual a 3.
C)
D)
E)
71.
La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Estadística
Aplicación
Al completar los datos de la tabla obtenemos los siguientes valores:
Cantidad de dólares
Frecuencia
Frecuencia
acumulada
[250, 350[
[350, 450[
[450, 550[
[550, 650[
[650, 750]
8
21
29
50
12
8
29
58
108
120
A) Verdadera, ya que la marca de clase se obtiene como el promedio de los extremos del
intervalo. Luego, la marca de clase del cuarto intervalo [550, 650[ es igual a 600.
B) Verdadera, ya que la frecuencia relativa porcentual del segundo intervalo se obtiene
como
f
·100 % .
total
Reemplazando:
f
·100 %
total
21
·100 % 17 ,5% .
120
C) Falsa, ya que la mediana será el primer dato cuya frecuencia acumulada sea mayor o
igual a la(s) posición(es) de la mediana. Luego, como la muestra tiene 120 datos,
entonces i
120
2
60 , la posición central corresponde a los datos de posición 60 y 61,
siendo la frecuencia acumulada de la cuarta fila (108) la primera que es mayor o igual
que las posiciones de la mediana (60 y 61). Luego, la mediana de la muestra se
encuentra en el intervalo [550, 650[.
D) Verdadera, ya que la frecuencia absoluta mayor corresponde al intervalo [550, 650[.
E) Verdadera.
72.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Estadística
Análisis
Sea el conjunto de datos n – 1 , n – 1, n +1, n +1 .
El promedio es x
n 1 n 1 n 1 n 1
4
n
x xi
La varianza es
2
4n
4
n
2
i 1
n n 12
n
La desviación estándar es
n n 12
n n 12
n
2
n n 12
4
4
1
1
Luego, se cumple que σ2 = σ = 1.
Por lo tanto la afirmación siempre verdadera es que σ2 = σ.
73.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Estadística
Comprensión
En una distribución asimétrica a la izquierda, como muestra la figura, el orden creciente
en las medidas de tendencia central es: media aritmética < mediana < moda. La moda
corresponde al valor donde es máxima la frecuencia, la mediana corresponde al valor que
divide la figura en dos áreas iguales y la media aritmética es mayormente sensible a los
datos menores de la “cola” de la gráfica, lo que explica el orden creciente indicado.
74.
La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
(1)
Conjuntos numéricos
Evaluación
1
es un número irracional. Con esta información, se puede determinar que a es un
a
número irracional, ya que el inverso multiplicativo (recíproco) de un número
irracional también es un número irracional.
(2) (1 – a) es un número irracional. Con esta información, se puede determinar que a es
un número irracional, ya que si (1 – a) = b
a = (1 – b), y la resta entre un número
real y un número irracional es siempre un número irracional.
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.
75.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Raíces
Evaluación
(1) m < 0. Con esta información, se puede determinar el dominio de la función real g(x),
ya que se necesita que mx sea mayor o igual que 0. Entonces, si m es negativo
significa que x debe ser menor o igual que 0, es decir, Dom g = ]–∞, 0].
(2) d = 2. Con esta información, no se puede determinar el dominio de la función real
g(x), ya que no es posible establecer la restricción para la cantidad subradical.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
76.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Función exponencial
Evaluación
(1) La gráfica de h(x) pasa por el punto (1, 1). Con esta información, no se puede
determinar que n es un número impar, ya que significa que h(1) = 1, lo que se cumple
para todo n en los naturales.
(2) h(– 1) = – 1. Con esta información, se puede determinar que n es un número impar,
ya que h(– 1) = (– 1)n = – 1 se cumple solo para los n impares, ya que si n fuera par el
resultado sería 1.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
77.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría analítica
Evaluación
Sean dos rectas L1: px + 2y + 5 = 0
L2: 6x + 3y + 10 = 0
Si 3p ≠ 6∙2 las rectas se intersectan en un único punto
Si 3p = 6·2 las rectas no se intersectan en un único punto
Solo en este segundo caso:
Si 10p ≠ 6∙5 las rectas no se intersectan (paralelas)
Si 10p = 6·5 las rectas se intersectan en infinitos puntos (coincidentes)
Es decir, para esta pregunta solo es necesario verificar que 3p ≠ 12. Luego:
(1) p ≠ 3. Con esta información, no se puede afirmar que L1 y L2 se intersectan en un solo
punto, ya que se puede concluir que 3p ≠ 9, pero no se sabe si es distinto de 12.
(2) p ≠ 4. Con esta información, se puede afirmar que L1 y L2 se intersectan en un solo
punto, ya que se puede concluir que 3p ≠ 12.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
78.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Evaluación
(1) Ambos triángulos tienen un ángulo de 100º. Con esta información, se puede afirmar
que los triángulos son semejantes, ya que este ángulo necesariamente será el contrario
a la base en ambos triángulos, y los otros dos ángulos serán congruentes de 40º.
Luego, por definición, los triángulos serán semejantes.
(2) La razón entre las bases de los triángulos es 2:5. Con esta información, no se puede
afirmar que los triángulos son semejantes, ya que no se cumple ninguno de los
criterios de congruencia.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
79.
La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Probabilidad
Evaluación
Para sucesos dependientes A y B se cumple que: P(B/A)
P(A  B)
P(A)
Luego, se cumple que: P(A∩B) = P(A)·P(B/A)
(1) P(B) = 0,3. Con esta información, no se puede determinar el valor de P(A∩B), ya
que no conocemos el valor de P(A).
(2) P(A) = 0,25. Con esta información se puede determinar el valor de P(A∩B), ya
que conocemos el valor de P(A) y el valor de P(B/A), con los que podemos
también calcular el producto, obteniendo el valor correspondiente a P(A∩B).
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
80.
La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Estadística
Evaluación
Notas
Marca de clase
Alumnos
[1 , 2,5[
1,75
5
[2,5 , 4,0[
3,25
8
[4,0 , 5,5[
4,75
x
[5,5 , 7,0]
6,25
4
(1) El promedio del curso es 4,05. Con esta información, se puede determinar el valor de
x, ya que el promedio indicado corresponde a:
3,25·8 4,75·x 6,25·4
17 x
Despejando x podemos determinar la cantidad de alumnos que obtuvieron nota entre un
4,0 y un 5,5. Luego podremos obtener el total de estudiantes que rindieron el examen.
4,05
1,75·5
(2) La moda se encuentra en el intervalo 4,0 – 5,5. Con esta información no se puede
determinar la cantidad de alumnos que rindieron el examen, ya que solo sabemos que la
cantidad de estudiantes que obtuvieron una nota entre 4,0 y 5,5 fueron más de 8. Luego,
no podemos determinar exactamente cuántos alumnos rindieron el examen.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.