SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

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PÁGINA 167
EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Resolución gráfica
1
Observa el gráfico y responde:
y=
+
–x
1
y=2
y=1
1
3x +
x+3
5
x+3
y=7
a) Escribe un sistema de ecuaciones lineales que tenga por solución x = 5,
y = 6.
b) Escribe un sistema con solución: x = 7, y = 0.
c) Escribe un sistema sin solución.
d) Escribe un sistema con infinitas soluciones.
a) 3x + y = 21 
 Solución: x = 5, y = 6
x – y = –1 
b) x + 3y = 7 
 Solución: x = 7, y = 0
3x + y = 21 
c) x + 3y = 15 
 No tiene solución
x + 3y = 7 
d) Por ejemplo:
x + 3y = 7 

2x + 6y = 14 
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales
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2
Representa gráficamente estas ecuaciones:
x+y=2
2y – x = 4
Escribe las coordenadas del punto de corte.
Escribe la solución del sistema que forman ambas ecuaciones.
•x+y=2
x
y
0
2
• 2y – x = 4
1
1
2
3
x
0
2
2
4
0
1
y
2
1
3
4
2y – x = 4
Punto de corte: (0, 2)
Solución del sistema: x = 0, y = 2
x+y=2
3
Resuelve gráficamente:
 2x – 3y = 0
 2y = x + 8
a) 
b) 
 2x + 3y = 12
a) 2x – 3y = 0 → y = 2x
3
2x + 3y = 0 → y = – 2x
3
 y = 2x + 10
x
0
3
3
y
0
2
2
x
0
3
3
y
0
2
2
2x – 3y = 0
Solución: x = 0, y = 0
2x + 3y = 0
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales
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b) 2y = x + 8 → y = x + 8
2
y = 2x + 10
xx
0
02
y
10
106
y
x
0
2
2
4
y
4
5
3
2
3
4
4
2
2y = x + 8
Solución: x = –4, y = 2
y = 2x + 10
Resolución algebraica
4
Resuelve por sustitución estos sistemas:
x = 5
a) 
 2x + 3y = 22
 x + y = –4
c) 
 2x + y = –1
 y = 3x – 1
b) 
 5x + 2y = 9
 8x + 5y = 1
d) 
 3x – 2y = 12
a) x = 5

 2 · 5 + 3y = 22 → 3y = 12 → y = 4
2x + 3y = 22 
Solución: x = 5, y = 4
b) y = 3x – 1 
 5x + 2 (3x – 1) = 9 → 5x + 6x – 2 = 9 → 11x = 11 → x = 1
5x + 2y = 9 
y=3·1–1=2
Solución: x = 1, y = 2
c)
x + y = –4  x = –4 – y

2x + y = –1  2 (– 4 – y) + y – 1 → –8 – 2y + y = –1 → y = –7
y = –4 + 7 = 3
Solución: x = 3, y = –7
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales
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d) 8x + 5y = 1 

3x – 2y = 12 
x=
3
1 – 5y
8
( 1 –85y ) – 2y = 12 → 3 – 15y – 16y = 96 → 31y = –93 → y = –3
x = 1 – 5 (–3) = 16 = 2
8
8
Solución: x = 2, y = –3
5
Resuelve por igualación estos sistemas:
x = y – 7
a) 
 x = ( y – 10)/2
 3x + 2y = 11
c) 
 5x + 2y = 21
 x + 2y = –5
b) 
 x – 3y = 5
 4x – 5y = 10
d) 
 x + 3y = –6

y – 10

→ 2y – 14 = y – 10 → y = 4
y – 10  y – 7 =
2
x=

2

a) x = y – 7
x = 4 – 7 = –3
Solución: x = –3, y = 4
b) x + 2y = –5  x = –5 – 2y 

 –5 – 2y = 5 + 3y → –10 = 5y → y = –2
x – 3y = 5  x = 5 + 3y 
x + 2 (–2) = –5 → x – 4 = –5 → x = –1
Solución: x = –1, y = –2
c) 3x + 2y = 11 

5x + 2y = 21 
11 – 3x 

2

 11 – 3x = 21 – 5x → 2x = 10 → x = 5
21 – 5x 
y=

2

Solución: x = 5, y = –2
y=
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales
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d) 4x – 5y = 10 

x + 3y = –6 
10 + 5y
4
x = –6 – 3y
x=

 10 + 5y
= –6 – 3y → 10 + 5y = –24 – 12y → 17y = –34 → y = –2

2


x = –6 – 3 (–2) = –6 + 6 = 0
Solución: x = 0, y = –2
6
Resuelve por reducción estos sistemas:
 x + 2y = 5
 5x – y = 10
a) 
b) 
 3x – 2y = 7
 4x + 3y = 8
 6x – 2y = 0
 7x – 5y = 10
c) 
d) 
 3x – 5y = 12
 2x – 3y = –5
a) x + 2y = 5
3x – 2y = 7
4x
= 12 → x = 3
3 + 2y = 5 → 2y = 2 → y = 1
Solución: x = 3, y = 1
b) 5x – y = 10  15x – 3y = 30

4x + 3y = 8  4x + 3y = 8
= 38 → x = 2
19x
5 · 2 – y = 10 → y = 0
Solución: x = 2, y = 0
c) 6x – 2y = 0  6x – 2y = 0

3x – 5y = 12  –6x + 10y = –24
8y = –24 → y = –3
6x – 2 (–3) = 0 → 6x + 6 = 0 → x = –1
Solución: x = –1, y = –3
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales
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d) 7x – 5y = 10  14x – 10y = 20

2x – 3y = –5  –14x + 21y = 35
11y = 55 → y = 5
2x – 3 · 5 = –5 → 2x = 10 → x = 5
Solución: x = 5, y = 5
7
Resuelve por el método más adecuado:
 3x + y = 7
 x + 3y = 7
a) 
b) 
 5x + 2y = 11
 4x – 3y = 13
a) 3x + y = 7  –6x – 2y = –14

5x + 2y = 11  5x + 2y = 11
– x
= –3 → x = 3
3 · 3 + y = 7 → y = –2
Solución: x = 3, y = –2
b) x + 3y = 7 

4x – 3y = 13 
5x
= 20 → x = 4
4 + 3y = 7 → 3y = 3 → y = 1
Solución: x = 4, y = 1
9
Resuelve los siguientes sistemas:
 2(x – 1) = 3( y + 1)
a) 
x – y = 0
y–5

 2(x – 3) – 1 =
2
c) 

 3x – 1 = 4(y + 5) + 2
7y – 8
 2x – 1
=

2
d)  3

 3(x – 2) = y + 7
a)
2x – 2 = 3y + 3 
x=y
x–y=0

2x – 2 = 3x + 3 → x = –5
Solución: x = –5, y = –5
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales
 4(2x – 7) – 5y = 0
b) 
 3(3y – 4) – 4x = 0
8
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b) 8x – 28 – 5y = 0  8x – 5y = 28  8x – 5y = 28


9y – 12 – 4x = 0  –4x + 9y = 12  –8x + 18y = 24
13y = 52 → y = 4
8x – 5 · 4 = 28 → 8x = 48 → x = 6
Solución: x = 6, y = 4
y–5 
 4x – 14 = y – 5  4x – y = 9  16x – 4y = 36
2
 3x – 1 = 4y + 22  3x – 4y = 23  –3x + 4y = –23


3x – 1 = 4y + 20 + 2 
13x
= 13 → x = 1
c) 2x – 6 – 1 =
4 · 1 – y = 9 → y = –5
Solución: x = 1, y = –5
d) 4x – 2 = 21y – 24  4x – 21y = –22 

 y = 3x – 13
3x – 6 = y + 7  3x – y = 13 
4x – 21 (3x – 13) = –22 → 4x – 63x + 273 = –22 → 59x = 295 → x = 5
y = 3 · 5 – 13 = 2
Solución: x = 5, y = 2
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10
Resuelve:
 x+1
=2

 y–1
a) 
 3(x – 1)
=y+2


2
x–1
y+2

–
=0

5
b)  3
 2x – 3

=y–2
 5
a) x + 1 = 2y – 2  x – 2y = –3  –x + 2y = 3


3x – 3 = 2y + 4  3x – 2y = 7  3x – 2y = 7
2x
= 10 → x = 5
5 – 2y = –3 → 2y = 8 → y = 4
Solución: x = 5, y = 4
b) 5x – 5 – 3y – 6 = 0  5x – 3y = 11  10x – 6y = 22


2x – 3 = 5y – 10  2x – 5y = –7  –10x + 25y = 35
19y = 57 → y = 3
5x – 3 · 3 = 11 → 5x = 20 → x = 4
Solución: x = 4, y = 3
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales
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Problemas para resolver con sistemas de ecuaciones
11
La suma de dos números es 87 y su diferencia 25. ¿Cuáles son esos números?
x + y = 87 

x – y = 25 
2x
= 112 → x = 56
y = x – 25 = 56 – 25 = 31
Los números son 56 y 31.
12
Calcula dos números de forma que su diferencia sea 43 y el triple del
menor supere en cinco unidades al mayor.
x – y = 43  x = 43 + y

3y = x + 5  3y = 43 + y + 5 → 2y = 48 → y = 24
x – 24 = 43 → x = 67
Los números son 67 y 24.
13
Entre Pedro y yo tenemos 12 €. Si yo le diera 1,7 € entonces él tendría
el doble que yo. ¿Cuánto tenemos cada uno?
Pedro → x ; Yo → y
 x = 12 – y
x + y = 12

2 (y – 1,7) = x + 1,7  2y – 3,4 = 12 – y + 1,7 → 3y = 17,1 → y = 5,7
x = 12 – 5,7 = 6,3
Pedro tiene 6,3 € y yo tengo 5,7 €.
14
Un puesto ambulante vende los melones y las sandías a un tanto fijo la
unidad. Raquel compra 5 melones y 2 sandías por 13 €. Alfredo compra 3
melones y 4 sandías por 12 €. ¿Cuánto vale un melón? ¿Y una sandía?:
5M + 2S = 13  10M + 4S = 26

3M + 4S = 12  –3M – 4S = –12
7M
= 14 → M = 2
5 · 2 + 2S = 13 → 10 + 2S = 13 → 2S = 3 → S = 1,5
Un melón vale 2 € y una sandía, 1,5 €.
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales
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Pág. 9
15
En una granja, entre gallinas y conejos, hay 100 cabezas y 252 patas.
¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja?
Gallinas → x
Conejos → y
x + y = 100  x = 100 – y

2x + 4y = 252  2 (100 – y) + 4y = 252 → 200 – 2y + 4y = 252 → 2y = 52 → y = 26
x = 100 – 26 = 74
En la granja hay 74 gallinas y 26 conejos.
16
Amelia tiene el triple de edad que su hermano Enrique, pero dentro de
5 años solo tendrá el doble. ¿Cuál es la edad de cada uno?
HOY
DENTRO DE
5 AÑOS
AMELIA
x
x+5
x = 3y
ENRIQUE
y
y+5
x + 5 = 2( y + 5)
Amelia → x
Enrique → y

x = 3y
 3y + 5 = 2y + 10 → y = 5
x + 5 = 2 (y + 5) 
x = 3 · 5 = 15
Amelia tiene 15 años y Enrique, 5 años.
17
El doble de la edad de Sara coincide con la cuarta parte de la edad de su
padre. Dentro de dos años la edad de Sara será la sexta parte de la de su padre. ¿Qué edad tiene cada uno?
Sara → x
Padre → y
 8x = y

2x = y/4


x + 2 = 1/6 (y + 2)  6x + 12 = y + 2  6x + 12 = 8x + 2 → 2x = 10 → x = 5
y = 8 · 5 = 40
Sara tiene 5 años y su padre, 40 años.
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales
8
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Pág. 10
18
Un fabricante de jabones envasa 550 kg de detergente en 200 paquetes,
unos de 2 kg y otros de 5 kg. ¿Cuántos paquetes de cada clase utiliza?
2x + 5y = 550 
 x = 200 – y
x + y = 200 
2 (200 – y) + 5y = 550 → 400 – 2y + 5y = 550 → 3y = 150 → y = 50
x = 200 – 50 = 150
Utiliza 150 paquetes de 2 kg y 50 paquetes de 5 kg.
19
Un trabajador gana 60 € en un turno de día y 80 € en un turno de noche. ¿Cuántos días y cuántas noches ha trabajado en un mes, si en total ha
hecho 24 turnos y ha cobrado 1 600 €?
Día → D
Noche → N
 D = 24 – N
D + N = 24

60D + 80N = 1600  60 (24 – N) + 80N = 1600
1 440 – 60N + 80N = 1600 → 20N = 160 → N = 8
D = 24 – 8 = 16
Hizo 16 turnos de día y 8 turnos de noche.
20
Un comerciante tiene a la venta 50 pares de zapatillas deportivas, a 40 €
el par. Cuando lleva vendidos unos cuantos, los rebaja a 30 € el par, continuando la venta hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de 1 620 €.
¿Cuántos pares vendió sin rebajar y cuántos rebajados?
Sin rebajar → x
Rebajados → y
x + y = 50  x = 50 – y

40x + 30y = 1620  40 (50 – y) + 30y = 1620 → 2 000 – 40y + 30y = 1620 →
→ 10y = 380 → y = 38
x = 50 – 38 = 12
Vendió 12 pares a 40 € el par y 38 pares a 30 € el par.
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales
8
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Pág. 11
21
Un test consta de 50 preguntas y se evalúa sumando 2 puntos por cada
acierto y restando 1,5 puntos por cada fallo. ¿Cuántos aciertos y cuántos fallos tendrá una persona cuya calificación es de 58 puntos?
Aciertos → A
Fallos → F
 A = 50 – F
A + F = 50

2A – 1,5F = 58  100 – 2F – 1,5F = 58 → –3,5F = –42 → F = 12
A = 50 – 12 = 38
Acertó 38 preguntas y falló 12 preguntas.
22
Un taller de confecciones gana 0,75 € por cada par de calcetines que
fabrica, pero pierde 2,5 € por cada par defectuoso.
¿Cuántos pares válidos y cuántos defectuosos ha producido en una jornada, si
en total ha fabricado 700 pares y ha obtenido una ganancia de 382 €?
Válidos → V
Defectuosos → D
 V = 700 – D
V + D = 700

0,75V – 2,5D = 382  0,75 (700 – D) – 2,5D = 382
525 – 0,75D – 2,5D = 382 → 3,25D = 143 → D = 44
V = 700 – 44 = 656
Fabricaron 656 pares válidos y 44 defectuosos.
23
En un club deportivo, los hombres y las mujeres están en relación de
2 a 3, pero si hubiera 40 hombres más y 30 mujeres menos, entonces estarían
a la par. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres son socios del club?
HOMBRES
MUJERES

→ x  x = 2
3
 y

→ y  x + 40 = y – 30
H = 2
 H = 2M

M 3
3


H + 40 = 1 2M + 40 = M – 30 → 2M + 120 = 3M – 90 → M = 210
 3
M – 30

H = 420 = 140
3
Hay 140 hombres y 210 mujeres.
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales
8
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Pág. 12
24
Un orfebre recibe el encargo de confeccionar un trofeo, en oro y plata,
para un campeonato deportivo. Una vez realizado, resulta de un peso de
1 300 gramos, habiendo costado 2 840 €. ¿Qué cantidad ha utilizado de cada
metal precioso, si el oro sale por 8 €/gramo y la plata por 1,7 €/gramo?
Oro → x
Plata → y
x+
y = 1300  x = 1300 – y

8x + 1,7y = 2840  8 (1 300 – y) + 1,7y = 2840
10 400 – 8y + 1,7y = 2840 → 6,3y = 7 560 → y = 1200
x = 1300 – 1200 = 100
Utilizó 100 gramos de oro y 1 200 gramos de plata.
PÁGINA 169
25
Un coche parte de A hacia B a 110 km/h. A la misma hora, sale de
B hacia A un camión a 70 km/h. Sabiendo que la distancia de A a B es
de 270 km, ¿cuánto tardan en encontrarse y a qué distancia de A lo hacen?
DISTANCIA
RECORRIDA
VELOCIDAD
TIEMPO
INVERTIDO
COCHE
x
110
t
CAMIÓN
270 – x
70
t
ESPACIO
RECORRIDO
=
VELOCIDAD
×
TIEMPO
INVERTIDO
Distancia recorrida por el coche → x 
 x + y = 270 → y = 270 – x
Distancia recorrida por el camión → y 

x = 110 · t
 Tiempo que tardan en encontrarse.
270 – x = 70 · t 





t = 270 – x 
70

t= x
110
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales
8
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Pág. 13
x = 270 – x → 70x = 29 700 – 110x → 180x = 29 700 → x = 165
110
70
El coche recorre 165 km y el camión: 270 – 165 = 105 km.
t = 165 = 1,5 horas = 1 h 30 min
110
Se encuentran a 165 km del punto A y tardan 1 h 30 min.
26
Un camión parte de cierta población a 90 km/h. Diez minutos después,
sale en su persecución un coche a 110 km/h. Calcula el tiempo que tarda en
alcanzarle y la distancia recorrida desde el punto de partida.
En 10 minutos el camión, a 90 km/h, recorre 90 : 6 = 15 km.
Se encontrarán cuando el coche tenga recorrida una distancia x y el camión,
en el mismo tiempo, x – 15 km.


 x
= x – 15

110
90



t= x
110
t = x – 15
90
→ 90x = 110x – 1650 → 20x = 1650 →
→ x = 82,5
t = 82,5 = 825 = 0,75 h = 45 min
110
1100
El coche tarda en alcanzar al camión 45 min a una distancia del punto de partida de 82,5 km.
27
Un peatón sale de A hacia B caminando a una velocidad de 4 km/h.
Simultáneamente, sale de B hacia A un ciclista a 17 km/h.
Si la distancia entre A y B es de 7 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse y a
qué distancia de A lo hacen?
17 km/h
4 km/h
A
t= x
4
t= 7–x
17
x
7–x
B


 x
= 7 – x → 17x = 28 – 4x → 21x = 28 → x = 28 = 4

4
17
21 3



t = 28/21 = 28 h = 1 h = 20 min
4
84
3
)
4
Tardan en encontrarse 20 minutos a 3 km = 1,3 km del punto A.
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
8
Pág. 14
28
Calcula las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es
25 m más larga que ancha y que el perímetro mide 210 metros.
210 m
x
y
Ancho → x
Largo → y
2x + 2y = 210  2x + 2 (x + 25) = 210 → 2x + 2x + 50 = 210 →

→ 4x = 160 → x = 40
y = x + 25

Las medidas de la parcela son 40 m de ancho y 64 m de largo.
PÁGINA 177
PROBLEMAS DE ESTRATEGIA
29 Resuelve razonando o con ayuda del álgebra:
5€
6€
¿Cuánto cuesta el salchichón? ¿Y el queso? ¿Y el jamón?
Queso
→ x
x+y=4
x=4–y
y+z=5
Salchichón → y
y+z=5
y+z=5
–y+z=2
Jamón
→ z
x+z=6
4–y+z=6













El queso cuesta 2,5 €, el salchichón, 1,5 € y el jamón, 3,5 €.



4€
2z = 7
7
z = → z = 3,5
2
y = 5 – 3,5 → y = 1,5
x = 4 – 1,5 → x = 2,5
30 Con la información de las balanzas, calcula el peso de Rosa, el de
Javier y el del perro.
R
J
R
R
J
45 kg
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales
75 kg
J
140 kg
8
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 15
x + y = x + z + 45
y + z = 75
x + y + z = 140










Rosa → x kg
Javier → y kg
Perro → z kg
y = z + 45
z + 45 + z = 75 → 2z = 30 → z = 15
y + 15 = 75 → y = 60
x + 60 + 15 = 140 → x = 65
Rosa pesa 65 kg, Javier, 60 kg y el perro, 15 kg.
Unidad 8. Sistemas de ecuaciones lineales