Experimento Aleatorio Espacio muestral ( Ω ) Ejemplo Evento o

Seminario Conciliar
La Serena
DEPTO DE MATEMATICA.
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PROBABILIDADES
DEFINICIÓN: Es una rama de la matemática que consiste en el estudio de ciertos experimentos llamados
aleatorios es decir libres de determinación previa. La probabilidad surgió a comienzos del siglo XVI , en relación
con los diversos juegos de azar que se practicaban en la época.
Hoy en día los juegos de azar están presentes en juegos tales como : Kino, Loto, y distintos tipos de
Lotería, juegos de casino y de naipes. Así el calculo de probabilidades determina las posibilidades de perder o
ganar en un evento. El estudio de las probabilidades permite el análisis de resultados relacionados con fenómenos
de carácter social, político y económico.
Experimento Aleatorio
Un experimento aleatorio es aquel que está regido por el azar, es decir, se conocen todos los resultados posibles,
pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento.
Ejemplos
Lanzamiento de una moneda
Lanzamiento de un dado
Extracción de una carta de un mazo de naipes
Espacio muestral (  )
Es el conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio dado
Ejemplo
Experimento aleatorio: Lanzar un dado
Espacio muestral:  = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Experimento aleatorio: lanzar dos monedas
Espacio muestral:  = { ( c , c ) , ( c , s ) , ( s , c ) , ( s , s ) }
Observación: ( c , s )  ( s , c ), es decir, es importante el orden
Evento o suceso
Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral.
Ejemplo
En el experimento aleatorio Lanzar un dado cuyo Espacio Muestral  = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } algunos eventos son:
Obtener un número primo A = { 2 , 3 , 5 }
Obtener un número menor o igual a 3 , B = { 1 , 2 , 3 }
Tipos de sucesos
Suceso seguro: Es aquel que siempre se verifica como resultado de un experimento aleatorio.
Ejemplo: Obtener un número de 1 a 6 al lanzar un dado
Suceso imposible: Es aquel suceso que nunca se verifica como resultado de un experimento aleatorio.
Ejemplo: Obtener un 8 al lanzar un dado.
Suceso complementario o contrario: Dos sucesos son contrarios si uno es la negación del otro
Ejemplo: obtener un 3 al lanzar un dado. Su contrario es: no obtener el 3 al lanzar el dado.
Suceso mutuamente excluyente: Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma
simultánea.
Ejemplo: Obtener el número 5 y el número 3 al lanzar el dado una vez.
Sucesos Independientes: Dos o más son sucesos independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la
ocurrencia del otro.
Ejemplo: Al lanzar un dado, y obtener 4 no afecta la probabilidad de obtener el 1 en un segundo lanzamiento.
Sucesos condicionales: Dos o más sucesos son condicionales si la ocurrencia de uno de ellos afecta la
probabilidad de ocurrencia de un segundo suceso.
Ejemplo: La lluvia afecta la probabilidad de que una persona lleve paraguas.
Variable Aleatoria: Una variable aleatoria es la que asocia a cada elemento del espacio muestral  un número
real .
Ejemplos
Experimento aleatorio:
Espacio muestral:
Suceso A: se obtienen sólo sellos:
Variable aleatoria:
lanzar dos monedas simultáneamente
={(c,c),(c,s),(s,c),(s,s) }
A={(s,s)}
X = Nº de sellos al lanzar dos monedas.
DEFINICIÓN CLÁSICA (PROBABILIDAD DE LAPLACE)
La probabilidad de que un suceso A ocurra es la razón ente el número de casos favorables y el número de casos
posibles.
P ( A) 
N º de casos favorables al suceso A
N º de casos posibles
Ejemplo: Al lanzar un dado, la probabilidad de que salga el número 5 es: p(A) =
1
6
Puesto que hay 1 caso favorable en un total de 6 casos posibles.
Expresión numérica de la probabilidad: la probabilidad de un suceso puede expresarse como fracción, como decimal o
como tanto por ciento.
En el ejemplo: p(A) =
1
= 0,167 = 16,7%
6
TRES ENFOQUES EN LA PROBABIIDAD
Existen tres maneras básicas de clasificar la probabilidad, y presentan planteamientos conceptuales bastante
diferentes:
Probabilidad clásica
A la probabilidad clásica se le conoce a menudo como probabilidad a priori, debido a que utilizamos ejemplos
previsibles como monedas no alteradas, dados no carados y naipes de cartas normales, entonces podemos establecer la
respuesta de antemano, sin necesidad de lanzar una moneda o un dado o tomar una carta. No tenemos que efectuar
experimentos para poder llegar a conclusiones. Ver problema resuelto Nº 4.
Frecuencia relativa
Este método utiliza como probabilidad la frecuencia relativa (o porcentual) de las observaciones pasadas de un
suceso. Se determina qué tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de
que suceda de nuevo en el futuro. Cuando utilizamos el planteamiento de frecuencia relativa para establecer probabilidades,
el número que obtenemos como probabilidad adquirirá mayor precisión a medida que aumenta el número de observaciones.
Ver problema resuelto Nº 2.
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Probabilidad subjetiva
Las probabilidades subjetivas están basadas en las creencias o conocimiento intuitivo de las personas que efectúan
la estimación de probabilidad. La probabilidad subjetiva se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por
parte de
un individuo, basada en la evidencia que tenga disponible o en el conocimiento incorporado al sentido común. Ver
problema Nº 1.
AXIOMAS DE LA PROBABIIDAD
Axioma 1 La probabilidad de un suceso A, en un espacio muestral , es un número entre 0 y 1 ó 0% y 100%,
respectivamente, ambos valores inclusive.
0  p ( A)  1
Axioma 2 Si un suceso A, en un espacio muestral , es seguro, su probabilidad es 1.
p (A) = 1  A = suceso
seguro
Si un suceso A, en un espacio muestral , es imposible que ocurra, su probabilidad es 0.
Esto es :
p (A) = 0 ó p (A) = 0%
 A = suceso imposible.
Axioma 3 La probabilidad de que ocurran todos los sucesos de un espacio muestral  en un experimento aleatorio dado,
es igual a la unidad.
Es decir: Si  = A; B, C,......, N , con A, B,......, N mutuamente excluyente s :
P (A) + p (B) + ......... + p (N) = 1
TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD
PROBABILIDAD DE SUCESOS COMPLEMENTARIOS
Si p (A) representa la probabilidad de que un suceso A ocurra y p (A’) representa la probabilidad de que el
mismo suceso no ocurra, en un espacio muestral  es decir, A y A’ son sucesos complementarios o contrarios, entonces:
P (A) + p (A’) = 1 
p (A’) = 1 - p (A)
Ejemplo:
Si la probabilidad de que durante el invierno un niño menor de 1 año se enferme de algún cuadro bronco pulmonar
es de 0,45, ¿Cuál es la probabilidad de que un niño en las mismas condiciones no presente dichos cuadros?.
A : el niño presenta cuadro bronco pulmonar
P (A’) = 1 - p (A);
p (A) = 0,45
A’: el niño no presenta cuadro bronco pulmonar
 p (A’) = 1 - 0,45  p (A’) = 0,55
 La probabilidad de que un niño no enferme es de 0,55, lo que equivale al 55%.
PROBABILIDAD DE SUCESOS INDEPENDIENTES
Dos sucesos A y B definidos en los espacios muestrales 1 , 2, respectivamente, son independientes si:
p (A y B) =
p (A) . p (B)
La probabilidad de que todos los sucesos independientes ocurran, entre el conjunto de tales sucesos, es igual al
producto de las probabilidades de ocurrencia de cada suceso.
Ejemplo:
Una caja A contiene 6 artículos, de los cuales 2 son defectuosos, y una caja B contiene 5 artículos, de los cuales 3
son defectuosos. Al sacar un artículo de cada caja, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos artículos sean defectuosos?
En este caso, los sucesos son independientes, puesto que la extracción en una de las cajas no afecta lo que ocurra
en la extracción en la otra caja. Sea D: artículos defectuosos.
De la caja A:
p (DA) =
2 1

6 3
y
De la caja B:
p (DB) =
 p (DA y DB) = p (DA)  p (DB) ; por ser sucesos independientes
p (DA y DB) =
3
5
1 3
1
   0,2  20% ...que representa la probabilidad de extraer de ambas cajas un
3 5
5
artículo defectuoso.
PROBABILIDAD DE SUCESOS DEPENDIENTES O CONDICIONADOS
Dos sucesos A y B, definidos en el espacio muestral , son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos afecta la
probabilidad de ocurrencia del otro.
P (A y B) = p (A)  p (B/A)
En donde p (B/A) = probabilidad de B dado que ocurrió A.
En sucesos dependientes, si la probabilidad de que un suceso ocurra es p (A), y si una vez ocurrido, la probabilidad
de que un segundo suceso B ocurra es p (B/A), la probabilidad de que los dos sucesos ocurran, en ese orden, es igual al
producto de las probabilidades por separadas.
Ejemplo:
Un curso tiene 12 niños y 4 niñas. Si se escogen al azar dos estudiantes para que representen al curso, ¿Cuál es la
probabilidad de que los dos sean niños?
Sean los sucesos A
: Elegir un niño en la primera elección B
P(N) : la probabilidad de elegir sólo niños
: Elegir un niño en la segunda elección
 P(A) =
12
;
16
Para la segunda selección queda un niño menos y el total se reduce a 15.
11
;
15
12 11 132 11



 0,55  55%
 p(N) =
16 15 240 20
 p (B/A) =
PROBABILIDAD DE SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dos o más sucesos se llamarán excluyentes o mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de ellos
excluye la ocurrencia de los otros.
Si A, B son sucesos mutuamente excluyentes definidos en el espacio muestral , entonces:
P(A o B) = p(A) + p(B)
La probabilidad de que ocurra un suceso A, u ocurra B, en una sola prueba, es igual a la suma de las probabilidades
separadas de ocurrencia.
Ejemplo:
La señora Marta tiene 9 canarios amarillos, 4 blancos y 2 celestes. Si se le escapa un canario, ¿Cuál es la
probabilidad de que haya sido blanco o celeste?
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Sean los sucesos: A : canario amarillo
Se tiene: p(A) =
9
15
B : canario blanco
; p(B) =
La probabilidad de blanco o celeste ?
4
15
y
p(C) =
C : canario celeste
2
15
p(B o C) = p(B) + p(C)
P(B o C) =
4
2
6


 0,4  40%
15 15 15
DIAGRAMA DE ÁRBOL
El diagrama de árbol es una metodología que ayuda al análisis, asignación y cálculo de probabilidades para dos o
más sucesos.
Ejemplo:
Se lanzan 3 monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?
Luego, p(2 caras) = 3/8 = 0,375 = 37,5%
EJERCICIOS RESUELTOS
Esta sección te ayuda a desarrollar estrategias intelectuales para contestar correctamente las preguntas. La mayoría
de ellas se relaciona con materia tratada en esta guía.
1.Se estima que en días hábiles, a cierta hora, la probabilidad de que el pasajero que sube a cierto microbús sea mujer
es de 0,4 y de que sea escolar es de 0,25. Si ambos sucesos son independientes, ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo
pasajero que suba sea mujer no-escolar?
a)
b)
c)
d)
e)
0,1
0,3
0,4
0,75
0,9
Solución:
Tenemos dos sucesos:
Sea
A : el pasajero es mujer
B : el pasajero es escolar 
Entonces, el suceso:
B’ : el pasajero es no-escolar


p(A) = 0,4
p(B) = 0,25
p(B’) = 1 - 0,25 = 0,75
Si estos dos sucesos son independientes, entonces, la probabilidad de que sucedan ambos es:
P(A y B) = p(A)  p(B) = 0,4  0,75 = 0,3
Luego, la alternativa correcta es b).
2.Se lanza un par de monedas 50 veces, registrando los resultados en cada lanzamiento. El registro se resume en la
tabla siguiente:
Moneda A
C
C
S
S
Moneda B
C
S
C
S
Nº de veces
11
13
9
17
Sobre la base de esta información, ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar estas dos monedas se obtenga a lo más 1 cara?
a)
0,78
Solución:
b)
0,18
Este problema se trata de probabilidad empírica, pues se da como información
c)
0,26
un hecho observado. Es decir, se dan frecuencias observadas.
d)
0,44
A lo más una cara” significa: cero caras o una cara.
e)
0,22
El número de casos favorables a “o caras” es: 17
El número de casos favorables a “1 cara” es: 13 + 9 = 22
El número de casos favorables a “a lo más una cara” es: 17 + 22 = 39
El número total de casos es 50
Luego, por definición de probabilidad: p =
39
 0,78
50
Luego, la alternativa correcta es a).
3.-
Se sabe que el 70% de los científicos no es creyente. Entre éstos, el 85% son sicólogos.
Entre los científicos creyentes, sólo un 95% no son sicólogos. Si usted tiene que ir a entrevistar a un científico
elegido al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea sicólogo creyente?
a)
b)
c)
d)
e)
15%
28,5%
1,5%
1,5%
30%
60%
Solución:
En este problema, la probabilidad está expresada en %
Con la información entregada es posible trazar el siguiente árbol
Por lo tanto, la probabilidad de que el científico sea un sicólogo creyente es:
Luego, la alternativa correcta es c).
4.En una tómbola hay 7 bolas rojas y 3 azules, desde donde se extraen dos, de una en una y sin reposición. La
probabilidad de que ambas resulten del mismo color es:
a)
b)
c)
d)
e)
Sea:
y
1/10
9/15
8/15
7/9
¾
Solución: Se trata de un experimento de sucesos condicionales puesto
que después de la primera extracción, al no devolver la bola a la tómbola,
se produce la modificación del espacio muestral.
A1 = la bola resulta azul en la primera extracción
R1 = la bola resulta roja en la primera extracción
C = ambas bolas resultan del mismo color
A2 = la bola resulta azul en la segunda extracción
R2 = la bola resulta roja en la segunda extracción
El suceso C significa que ambas resultan azules o ambas resultan rojas
Esto es: C = (A1 y A2) o (R1 y R2)
Entonces:
P(C ) = p(A1 y A2) o p(R1 y R2)
P(C ) = p(A1)  p(A2/A1) + p(R1)  p(R2/R1)
Donde: p(A2/A1) = probabilidad de azul en la segunda extracción, dado que resultó azul la primera extracción
p(R2/R1) = probabilidad de rojo en la segunda extracción, dado que resultó rojo la primera extracción
P(C ) = p(A1)  p(A2/A1) + p(R1)  p(R2/R1)
Luego:
P(C ) =
3 2
7 6
6
42 48
8


 



10 9
10 9 90 90 90 15
Luego, la alternativa correcta es c).