Espacios vectoriales reales

139 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal
Capı́tulo 12
Espacios vectoriales reales
12.1
Espacios vectoriales
Definición 237.- Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con
dos operaciones, una que recibe el nombre de “suma de vectores” y otra que recibe el nombre de “producto de
vectores por números reales” o “producto por escalares”, que verifican las siguientes propiedades:
(1) u + v ∈ V ;
∀ u, v ∈ V .
(2) u + v = v + u ;
∀ u, v ∈ V .
(3) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w ;
∀ u, v , w ∈ V .
(4) Existe un vector, llamado vector cero y denotado por 0 , tal que: 0 + u = u + 0 = u ;
∀u ∈V.
(5) Para cada u ∈ V , existe un vector de V , llamado opuesto de u y denotado por −u , tal que
u + ( −u ) = 0 .
(6) k u ∈ V ;
∀k ∈ R y ∀ u ∈ V .
(7) k( u + v ) = k u + k v ;
(8) (k + l)u = k u + l u ;
(9) (kl) u = k(l u ) ;
(10) 1 u = u ;
∀ k ∈ R y ∀ u, v ∈ V .
∀ k, l ∈ R y ∀ u ∈ V .
∀ k, l ∈ R y ∀ u ∈ V .
∀u ∈V.
Por ser los escalares de R , se dice que V es un R -espacio vectorial. Se pueden considerar espacios vectoriales
sobre otros cuerpos de escalares, como C .
Ejemplo Los conjuntos Rn , los conjuntos de polinomios Pn [X] = {P (X) ∈ R[X] : gr(P ) ≤ n} y los conjuntos
de matrices reales Mm×n = {matrices de tamaño m×n } , con las operaciones usuales en cada uno de ellos, son
espacios vectoriales reales.
Propiedades 238.- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:
(i) 0 u = 0 .
(iii) (−1)u = −u .
(ii) k 0 = 0 .
(iv) k u = 0 ⇐⇒ k = 0 ó u = 0 .
(v) El vector cero de un espacio vectorial es único.
(vi) El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es único.
12.2
.
Subespacios vectoriales
Definición 239.- Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio vectorial de
V , si W es un espacio vectorial con las operaciones definidas en V .
Como W ⊆ V , todos los vectores de W verifican las propiedades 2 a 5 y 7 a 10, por tanto es suficiente
probar que las operaciones suma y producto por escalares son internas en W , es decir, que se verifican las
propiedades (1) y (6) en W :
(1∗ ) u + v ∈ W ;
∀ u, v ∈ W
( 6∗ ) k u ∈ W ;
∀ u ∈ W y ∀k ∈ R
Estas dos propiedades son equivalentes a la propiedad única:
Prof: José Antonio Abia Vian
Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013
140 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal
12.3 Base y dimensión
k u + l v ∈ W ; ∀ u , v ∈ W y ∀ k, l ∈ R.
Nota: Es claro, que si W es un subespacio de V , entonces 0 ∈ W .
Ejemplo P2 [X] es un subespacio de P4 [X] , pues es un subconjunto suyo y si P (X), Q(X) ∈ P2 [X] , el grado de
kP (X) + lQ(X) es gr(kP + lQ) = máx{gr(kP ), gr(lQ)} ≤ máx{gr(P ), gr(Q)} ≤ 2 , por lo que está en P2 [X] .
Sin embargo, {P (X) : gr(P ) = 2} no es un subespacio de P4 [X] , por dos razones: primero, porque no contiene
al polinomio cero; y segundo, no verifica la propiedad (1∗ ) ya que X2 y 2X − X2 son polinomios del conjunto
pero su suma X2 + (2X − X2 ) = 2X es un polinomio de grado 1 que no está en el conjunto.
4
Definición 240.- Se dice que un vector v ∈ V es una combinación lineal de los vectores v1 , v2 , . . . , vn si,
y sólo si, ∃ c1 , c2 , . . . , cn ∈ R tales que v = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn .
Definición 241.- Dado un conjunto de vectores S = { v1 , v2 , . . . , vk } de un espacio vectorial V , llamaremos
subespacio lineal generado por S y que denotaremos por lin S ó lin{v1 , v2 , . . . , vk } , al conjunto de
todas las combinaciones lineales que se pueden formar con los vectores de S :
n
o
lin S = lin{v1 , v2 , . . . , vk } = c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk : ∀ ci ∈ R
y se dirá que S genera lin S o que v1 , v2 , . . . , vk generan lin S .
Naturalmente lin S es un subespacio vectorial de V y, de hecho, es el más pequeño que contiene a los
vectores de S (ver ejercicio 12.190).
Definición 242.- Dado un conjunto S = {v1 , v2 , . . . , vk } de vectores del espacio vectorial V , la ecuación
vectorial c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk = 0 tiene al menos una solución, a saber: c1 = c2 = · · · = ck = 0 . Si esta
solución es única, entonces se dice que S es un conjunto linealmente independiente (o que los vectores
de S son linealmente independientes). Si existen otras soluciones, entonces se dice que S es linealmente
dependiente (los vectores son linealmente dependientes).
Ejemplo El vector 2X − X2 de P2 [X] está generado por los vectores X − 1 y X2 − 2 
:
 −λ − 2µ = 0
λ=2
2X − X2 = λ(X − 1) + µ(X2 − 2) = λX − λ + µX2 − 2µ = (−λ − 2µ) + λX + µX2 =⇒

µ
= −1
luego 2X − X2 = 2(X − 1) + (−1)(X2 − 2) .
Ejemplo Los polinomios X + 2 y X2 de P2 [X] son linealmente independientes: si λ(X + 2) + µX2 = 0 (al
polinomio cero), se tiene que 0 = λ(X + 2) + µX2 = 2λ + λX + µX2 =⇒ 2λ = 0 , λ = 0 y µ = 0 , ya que los
coeficientes de ambos polinomios deben coincidir.
4
Nota: Si los vectores { v1 , v2 , . . . , vk } son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir
como una combinación lineal de los restantes; y si son linealmente independientes ninguno de ellos puede ser
generado por los restantes. Es decir, se tiene la siguiente caracterización para que un conjunto de dos o más
vectores sea linealmente dependiente (ver ejercicio 12.191):
“Un conjunto de dos o más vectores es linealmente dependiente si, y sólo si, al menos uno
de los vectores es una combinación lineal de los restantes.”
12.3
Base y dimensión
Lema 243.- Si vn+1 = c1 v1 + · · · + cn vn , entonces lin{ v1 , . . . , vn , vn+1 } = lin{ v1 , . . . , vn } .
Es fácil asumir que este resultado es cierto, ya que cualquier combinacion lineal de los n + 1 vectores puede
reconvertirse a una combinación lineal de los n primeros, por simple sustitución. En otras palabras, puede
reducirse el número de generadores mientras haya dependencia lineal, lo que nos lleva a:
Definición 244.- Sean V un espacio vectorial y S un conjunto finito de vectores de V . Diremos que S es
una base de V si:
a) S es linealmente independiente
y
b) S genera a V
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12.3 Base y dimensión
Observación: El comentario anterior a esta definición nos indica la manera de reducir un conjunto generador
del espacio a una base.
Igualmente, podemos construir una base a partir de un conjunto linealmente independiente de vectores: si
S es linealmente independiente y lin S 6= V , tomando v ∈ V pero que v ∈
/ lin S , el conjunto S ∪ { v } es
linealmente independiente (ver el Lema 245 siguiente); y ası́, se añaden vectores a S hasta generar V .
Lema 245.- Si S es un conjunto linealmente independiente de vectores de V y v ∈ V −lin S , entonces S∪{v }
es linealmente independiente.
.
De cierta forma, estamos diciendo que una base tiene el menor número posible de generadores y el mayor
número posible de vectores linealmente independientes (ver Lema 246 siguiente); luego ¿no tendrá una base un
número fijo de vectores? La respuesta la proporciona el Teorema de la base.
Lema 246.- Sean V un espacio vectorial y B una base de V formada por n vectores. Entonces cualquier
conjunto { v1 , v2 , . . . , vm } de vectores de V, con m > n, es linealmente dependiente.
.
Teorema de la base 247.- Cualesquiera dos bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos.
Demostración:
La demostración es muy sencilla si tenemos en cuenta el Lema anterior, pues si B1 es una base de n elementos
y B2 es una base de m elementos, por ser B1 base y B2 linealmente independiente, m 6> n y por ser B2 base
y B1 linealmente independiente n 6> m, luego n = m .
Definición 248.- Un espacio vectorial V se dice de dimensión finita si tiene un conjunto finito de vectores
que forman una base, y llamaremos dimensión de V , dim V , al número de vectores de cualquier base de V .
Al espacio vectorial V = {0 } le consideramos de dimensión finita, de dimensión cero, aún cuando no tiene
conjuntos linealmente independientes.
Si no existe un conjunto finito de este tipo, se dice que V es de dimensión infinita (y no nos son ajenos pues
R[X] es un espacio vectorial de dimensión infinita).
Ejemplo P2 [X] = {P (X) ∈ R[X] : gr(P ) ≤ 2} tiene dimensión 3, pues B = {1, X, X2 } forman una base. En
general, dim(Pn [X]) = n + 1 y B = {1, X, . . . , Xn } es una base suya.
Ejemplo 249 Los conjuntos Rn = R×R×· · ·×R = {(x1 , . . . , xn ) : xi ∈ R, ∀ i} con las operaciones habituales de suma y producto por escalares
x + y = (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
λx = λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn )
son espacios vectoriales con dim Rn = n , ya que cualquier vector x ∈ Rn puede escribirse de la forma
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 (1, 0, . . . , 0) + x2 (0, 1, . . . , 0) + · · · + xn (0, 0, . . . , 1)
y este conjunto de vectores
n
o
B = e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1)
es linealmente independiente. A esta base se la denomina base canónica de Rn .
4
Conocer a priori la dimensión de un espacio facilita la obtención de bases:
Proposición 250.- Si V es un espacio vectorial, con dim V = n . Entonces, un conjunto de n vectores de V
es base de V ,
b) si genera a V .
.
a) si el conjunto es linealmente independiente, o
12.3.1
Coordenadas en una base
Definición 251.- Sean V un espacio vectorial de dimensión finita y B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V .
Para cada vector v ∈ V , se llaman coordenadas de v en la base B a los n únicos números reales
c1 , c2 , . . . , cn tales que v = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn .
Fijando un orden para los vectores de la base, el vector de Rn , de las coordenadas de v en B se denota
por ( v )B = (c1 , c2 , . . . , cn ) y más usualmente por [v ]B cuando lo escribimos como vector columna en las
operaciones con matrices: [ v ]B = (c1 , c2 , . . . , cn )t .
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142 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal
12.3 Base y dimensión
Ejemplo Si B = { v1 , v2 , v3 } es una base de V y v = v1 − v2 + 2 v3 , se tiene que
(v )B = (1, −1, 2)
( v1 )B = (1, 0, 0)
( v2 )B = (0, 1, 0)
( v3 )B = (0, 0, 1)


 
 
 
o también
1
1
0
0
[v]B =  −1 
[v1 ]B =  0 
[v2 ]B =  1 
[v3 ]B =  0 
2
0
0
1
4
Nota: Al usar vectores de coordenadas, es imprescindible mantener el orden de los vectores. Si, en el ejemplo
anterior, tomamos como base B1 = { v2 , v3 , v1 } , tenemos que (v )B1 = (−1, 2, 1) que es un vector de
coordenadas distinto de (v )B = (1, −1, 2) .
Fijada una base, la unicidad de las coordenadas asigna a cada vector de V un único vector de Rn , de manera
que disponer de las coordenadas es, en el fondo, disponer del vector. Además, se cumple (ver ejercicio 12.198):
[ v + w ]B = [v ]B + [ w ]B
y
[λ v ]B = λ[v ]B ,
luego
[λ1 v1 +· · ·+λn vn ]B = λ1 [ v1 ]B + · · · + λn [vn ]B
y con esto, no es dificil probar que:
v ∈ lin{v1 , . . . , vk } ⊆ V ⇐⇒ [v]B ∈ lin{[v1 ]B , . . . , [vk ]B } ⊆ Rn
{v1 , . . . , vk } lin. independiente en V ⇐⇒ {[v1 ]B , . . . , [vk ]B } lin. independiente en Rn
{v1 , . . . , vn } base de V ⇐⇒ {[v1 ]B , . . . , [vn ]B } base de Rn
por lo que se puede trabajar sobre las coordenadas en lugar de sobre los vectores.
12.3.2
Espacios de las filas y las columnas de una matriz
De lo anterior, tenemos que independientemente del espacio vectorial en que nos encontremos, fijada una base,
podemos trasladar todo el trabajo operativo sobre los vectores de Rn ; por lo que resulta muy interesante conocer
esta sección.


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


Definición 252.- Consideremos la matriz Am×n =  .
..
..  .
 ..
.
...
. 
am1 am2 . . . amn
Los m vectores de Rn : r1 = (a11 , . . . , a1n ) , r2 = (a21 , . . . , a2n ) , . . . , rm = (am1 , . . . , amn ) , se denominan
vectores fila de A y al subespacio lineal generado por ellos, Ef (A) = lin{ r1 , r2 , . . . , rm }, espacio de las
filas de A. Por supuesto Ef (A) ⊆ Rn .
Los n vectores de Rm : c1 = (a11 , . . . , am1 ), c2 = (a12 , . . . , am2 ) , . . . , cn = (a1n , . . . , amn ) , se denominan
vectores columna de A y el subespacio lineal generado por ellos, Ec (A) = lin{c1 , c2 , . . . , cn }, espacio de
las columnas de A. Por supuesto Ec (A) ⊆ Rm .
Proposición 253.- Si A es una matriz de tamaño m×n , entonces las operaciones elementales sobre las filas
(resp. columnas) de A no cambian el espacio de las filas (resp. columnas) de A.
Demostración:
Puesto que hacer operaciones elementales sobre las filas es hacer combinaciones lineales de los vectores fila, el
subespacio lineal generado es el mismo. (Igual para las columnas.)
Corolario 254.- Sea A una matriz, entonces:
a) Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz A , forman una base de Ef (A) .
b) Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz At , forman una base de Ec (A) .
Demostración:
Basta probar que los vectores no nulos de una forma escalonada son linealmente independientes, pero eso se
comprueba fácilmente ya que debajo de cada elemento principal sólo hay ceros.
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143 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal
12.4 Cambios de base
Teorema 255.- Sea A una matriz de tamaño m×n , entonces:
dim(Ef (A)) = dim(Ec (A)) .
Demostración:
El resultado es inmediato, teniendo en cuenta que rg(A) = rg(At ) , y que el rango coincide con el número de
vectores no nulos en la forma escalonada, ası́ como el resultado anterior.
Estos resultados nos permiten usar el método de Gauss, y por lo tanto nos ofrecen un operativo sencillo, para
comprobar cuando un conjunto de vectores es linealmente independiente y para obtener bases.
Ejemplo ¿Los vectores X − 1 , X + 1 y X2 − 1 de P2 [X] son linealmente independientes?
Tomemos la base B = {1, X, X2 } de P2 [X] , entonces formamos por filas la matriz:



 



F2 +F1
−1 1 0
(X − 1)B
−1 1 0
−1 1 0 F + 1 F
F3 −F1
2 2
 0 2 0
 0 2 0  3−→
A =  (X + 1)B  =  1 1 0  −→
2
0 0 1
(X − 1)B
−1 0 1
0 −1 1
Por lo anterior, los vectores fila de la última matriz son linealmente independientes y dim Ef (A) = 3 . En
consecuencia, los tres vectores fila de la matriz A inicial que generan Ef (A) son también base, luego linealmente
independientes y los polinomios del enunciado también son linealmente independientes.
Además, forman una base de P2 [X] (¿por qué?).
4
12.4
Cambios de base
Puesto que las coordenadas están referidas a una base, al cambiar la base de trabajo, habrá que cambiar a las
coordenadas en la nueva base. Pero este proceso puede realizarse fácilmente, teniendo en cuenta lo siguiente:
Definición 256.- Sean B1 = { u1 , u2 , . . . , un } y B2 = { v1 , v2 , . . . , vn } son bases de un espacio vectorial
V . Recibe el nombre de matriz de transición o matriz de cambio de la base B1 a la base B2 , la matriz
de dimensiones n×n , que por columnas es
[u1 ]B2
[u2 ]B2
···
[un ]B2
P =
,
es decir, la columna i-ésima está constituida por las coordenadas en la base B2 , del vector ui de la base B1 .
En otras palabras, la matriz de cambio de base tiene por columnas las coordenadas en la base de llegada de
los vectores de la base de partida.
El porqué la matriz de paso se contruye ası́, puede observarse en la prueba de la proposición siguiente:
Proposición 257.- Sea P la matriz de paso de una base B1 en otra base B2 de un espacio V . Entonces:
1.- ∀ x ∈ V se tiene que [ x ]B2 = P · [ x ]B1 .
2.- P es inversible y su inversa, P −1 , es la matriz de paso de la base B2 a la base B1 .
Demostración:
Sea B1 = {u1 , u2 , . . . , un } y sea x = c1 u1 + c2 u2 + · · · + cn un . Entonces, Apartado 1:


c1
 c 
 2
P [x]B1 = [u1 ]B2 [u2 ]B2 · · · [un ]B2  . 
 .. 
cn
= c1 [u1 ]B2 + c2 [u2 ]B2 + · · · + cn [un ]B2 = [c1 u1 + c2 u2 + · · · + cn un ]B2 = [x]B2
Apartado 2: como los vectores de la base B1 son linealmente independientes, sus vectores de coordenadas en
la base B2 también lo son. Luego las columnas de P son vectores linealmente independientes y rg(P ) = n ,
por lo que P es inversible.
Además, [ x ]B2 = P [ x ]B1 =⇒ P −1 [x ]B2 = P −1 P [x ]B1 =⇒ P −1 [ x ]B2 = [ x ]B1
y P −1 es la matriz
de cambio de la base B2 en la base B1 .
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144 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal
12.5 Espacios vectoriales con producto interior
Ejemplo Consideremos las bases B = {1, X, X2 } y B1 = {X − 1, X + 1, X2 − 1} de P2 [X] .
La matriz de paso de la base B1 a la base B será:


 −1 1
−1 1 −1
2
2
P = [X − 1]B [X + 1]B [X2 − 1]B =  1 1 0  y P −1 =  12 12
0 0 1
0 0
−1
2
1
2


1
la matriz de paso de B a B1 .
Ejemplo Consideremos en R3 la base canónica Bc = { e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} y la base
B1 = { v1 = (1, 0, −1), v2 = (2, −1, 1), v3 = (0, −1, 1)} .
Como v1 = 1(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) − 1(0, 0, 1) = e1 − e3 , se tiene que ( v1 )Bc = (1, 0, −1) ; y lo mismo para
los otros vectores, luego la matriz de paso de la base B1 a la base Bc será:
P =
[v1 ]Bc
[v2 ]Bc
[v3 ]Bc


1 2 0
=  0 −1 −1 
−1 1 1
−1
1 2 0
=  0 −1 −1 
−1 1 1

y
P −1
la matriz de paso de la base Bc a la base B1 .
4
Nota: A la vista del ejemplo anterior, obtener las coordenadas de un vector de Rn en la base canónica de Rn
es inmediato, pues ( x )Bc = x . Pero ¡ciudado!, al trabajar con vectores de Rn no hay que confundir el vector
con las coordenadas en una base, pues la igualdad anterior únicamente es cierta en la base canónica.
12.5
Espacios vectoriales con producto interior
12.5.1
Producto interior. Norma. Distancia
Definición 258.- Un producto interior en un espacio vectorial real V es una función que a cada par de
vectores u , v ∈ V le asocia un número real, que denotaremos por h u , v i , de tal manera que se cumplen las
siguientes propiedades:
1.- h u , v i = h v , u i; ∀ u , v ∈ V .
2.- h u + v , w i = hu , w i + h v , w i ; ∀ u , v , w ∈ V .
3.- hk u , v i = khu , v i ; ∀ u , v ∈ V y ∀ k ∈ R.
4.- h u , u i ≥ 0 ; ∀ u ∈ V
y
h u , u i = 0 ⇐⇒ u = 0 .
Otra propiedades que se deducen de las anteriores son:
1.- h 0, u i = 0
2.- hu , v + w i = h u , v i + hu , w i
3.- hu , k v i = kh u , v i
Ejemplo Considerar en P2 [X] , la función hP (X), Q(X)i = P (1)Q(1) + P 0 (1)Q0 (1) + P 00 (1)Q00 (1) .
(1) hP (X), Q(X)i = P (1)Q(1) + P 0 (1)Q0 (1) + P 00 (1)Q00 (1)
= Q(1)P (1) + Q0 (1)P 0 (1) + Q00 (1)P 00 (1) = hQ(X), P (X)i
(2) hP (X) + R(X), Q(X)i = P (1) + R(1) Q(1) + P 0 (1) + R0 (1) Q0 (1) + P 00 (1) + R00 (1) Q00 (1)
= P (1)Q(1)+P 0 (1)Q0 (1)+P 00 (1)Q00 (1) + R(1)Q(1)+R0 (1)Q0 (1)+R00 (1)Q00 (1)
= hP (X), Q(X)i + hR(X), Q(X)i
0
0
00
00
(3) hkP (X), Q(X)i = kP
(1)Q(1) + kP (1)Q (1) + kP (1)Q (1)
= k P (1)Q(1) + P 0 (1)Q0 (1) + P 00 (1)Q00 (1) = khP (X), Q(X)i
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145 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal
12.5 Espacios vectoriales con producto interior
2 2 2
(4) hP (X), P (X)i = P (1)P (1) + P 0 (1)P 0 (1) + P 00 (1)P 00 (1) = P (1) + P 0 (1) + P 00 (1) ≥ 0 .
Y, se da la igualdad si y sólo si, P (1) = P 0 (1) = P 00 (1) = 0 . Entonces, sea P (X) = a + bX + cX2 , de donde
P (X) = b + 2cX y P 00 (X) = 2c; de las igualdades se
tiene:
a+b+c=0 
b + 2c = 0
P (1) = P 0 (1) = P 00 (1) = 0 ⇐⇒
⇐⇒ a = b = c = 0 ⇐⇒ P (X) = 0 .

2c = 0
Luego tenemos un producto interno definido en P2 [X] .
4
0
A partir de un producto interior sobre un espacio V se definen los conceptos de norma, distancia y ángulo.
Definición 259.- Si V es un espacio vectorial con producto interior, entonces la
módulo) de un vector v ∈ V se denota mediante k v k y se define como
p
kv k = + h v , v i.
norma (o longitud o
La distancia entre dos vectores u y v de V se denota mediante d( u , v ) y se define como
p
d(u , v ) = k u − v k = + h u − v , u − v i.
Desigualdad de Cauchy-Schwarz 260.- Para todo u , v ∈ V, espacio con producto interior, se tiene
2
2
hu, vi2 ≤ kuk kvk
Propiedades básicas de la norma 261.-
|hu, vi| ≤ kuk kvk .
o en la forma
.
Propiedades básicas de la distancia 262.-
1.- k u k ≥ 0 ; ∀ u ∈ V
1.- d(u , v ) ≥ 0 ; ∀ u , v ∈ V
2.- k u k = 0 ⇐⇒ u = 0
2.- d(u , v ) = 0 ⇐⇒ u = v
3.- kk u k = |k| ku k; ∀ u ∈ V y ∀ k ∈ R
3.- d(u , v ) = d( v , u ) ; ∀ u , v ∈ V
4.- k u + v k ≤ ku k+kv k ; ∀ u , v ∈ V
4.- d(u , v ) ≤ d( u , w )+d( w , v ) ; ∀ u , v , w ∈ V
La prueba de estas propiedades es análoga a la de las propiedades del módulo colplejo.
Observación: Sean V un espacio con producto interior y B = { u1 , . . . , un } una base de V . Tomemos dos
vectores v = a1 u1 + · · · + an un y w = b1 u1 + · · · + bn un , entonces
hv, wi = ha1 u1 + · · · + an un , wi = a1 hu1 , wi + · · · + an hun , wi
= a1 hu1 , b1 u1 + · · · + bn un i + · · · + an hun , b1 u1 + · · · + bn un i
= a1 hu1 , u1 ib1 + · · · + a1 hu1 , un ibn + · · · + an hun , u1 ib1 + · · · + an hun , un ibn



hu1 , u1 i · · · hu1 , un i
b1

  .. 
..
..
t
..
= a1 · · · an 
  .  = (v)B QB [w]B = [v]B QB [w]B
.
.
.
hun , u1 i · · · hun , un i
bn
luego, fijada una base, un producto interior se puede obtener a partir de las coordenadas en la base. La matriz
QB obtenida se denomina matriz de Gram o matriz métrica. Por las propiedades del producto interior, QB
es simétrica y los elementos de la diagonal positivos.
12.5.1.1
El espacio euclı́deo n -dimensional Rn
Definición 263.- Sobre el espacio vectorial Rn definimos la función que a cada x , y ∈ Rn le asocia
n
P
hx , y i = x · y = (x1 , . . . , xn ) · (y1 , . . . , yn ) = x1 y1 + · · · + xn yn =
xi yi
i=1
Como puede comprobarse fácilmente dicha función es un producto interior, el que se conoce como producto
interior euclı́deo o producto escalar euclı́deo (ya usado en R2 y R3 ).
Este producto interior da lugar a la norma y distancia euclı́deas, ya conocidas:
p
p
kx k = x21 + · · · + x2n y d( x , y ) = k x − y k = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 .
Se llama espacio euclı́deo n -dimensional a Rn con el producto interior euclı́deo.
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146 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal
12.5 Espacios vectoriales con producto interior
Nota: Si la matriz métrica del producto interior en la base B , QB , es la identidad, el producto interior se
reduce al producto escalar euclı́deo de los vectores de coordenadas. Esto ocurre precisamente para las bases
ortonormales que se estudian en la siguiente sección.
12.5.2
Ortogonalidad
Definición 264.- Si u y v son vectores distintos de cero de un espacio con producto interior, como conse,v i
cuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene que −1 ≤ khuukk
v k ≤ 1 y, por tanto, existe un único
ángulo, θ , tal que
hu, v i
cos θ =
, con 0 ≤ θ ≤ π
ku k kv k
Definición 265.- En un espacio vectorial con producto interior, dos vectores u y v se dicen que son ortogonales si h u , v i = 0 . Suele denotarse por u ⊥ v .
Si u es ortogonal a todos los vectores de un conjunto W , se dice que u es ortogonal a W .
Se dice que S = {v1 , v2 , . . . , vk } es un conjunto ortogonal si los vectores son ortogonales dos a dos, es
decir, si vi ⊥ vj para todo i 6= j .
Ejemplo Los vectores de la base canónica de R3 con el producto escalar euclı́deo son ortogonales entre si,
pero no lo son si el producto interior definido es:
h v , w i = v1 w1 + v1 w2 + v2 w1 + 2v2 w2 + v3 w3 . (Pruébese
que es un producto interior). En efecto: he1 , e2 i = h(1, 0, 0), (0, 1, 0)i = 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 1 6= 0 .
4
Nota: Si dos vectores son ortogonales, el ángulo que forman es de π radianes (los famosos 90 grados). De hecho,
en Rn con el producto escalar euclı́deo, la ortogonalidad coincide con la perpendicularidad.
Una curiosidad:
Teorema general de Pitágoras 266.- Si u y v son dos vectores ortogonales de un espacio vectorial con
producto interior, entonces
2
2
2
ku + v k = ku k + kv k .
Este resultado, de fácil comprobación, se reduce en R2 con el producto escalar al Teorema de Pitágoras.
También es sencillo probar el resultado siguiente (ver ejercicio 12.205):
Proposición 267.- Si w ⊥ {v1 , v2 , . . . , vk }, entonces w ⊥ lin{v1 , v2 , . . . , vk } .
Mucho más interesante es el siguiente, que relaciona ortogonalidad e independencia:
Teorema 268.- Si S = { v1 , v2 , . . . , vk } un conjunto finito de vectores no nulos, ortogonales dos a dos,
entonces S es linealmente independiente.
.
12.5.2.1
Bases ortonormales. Proceso de Gram-Schmidt
Definición 269.- Sean V un espacio vectorial de dimensión n con producto interior. Se dice que la base
B = { v1 , v2 , . . . , vn } es una base ortonormal de V , si B es un conjunto ortogonal y kvi k = 1 , ∀ i .
n
o
−1 √1
√1 , √1 , √
,
son ortonormales en R2 con el producto escalar
Ejemplo Las bases canónica y B1 =
2
2
2
2
√
euclı́deo. La base B2 = {(2, 0), (0, − 2)} es ortonormal para el producto interior hx, yi = x14y1 + x22y2 . 4
Teorema 270.- Si B = { v1 , v2 , . . . , vn }es una base ortonormal para un
espacio V con producto interior,
entonces ∀ v ∈ V se tiene que ( v )B = hv , v1 i, h v , v2 i, . . . , h v , vn i . Es decir,
v = hv , v1 i v1 + h v , v2 i v2 + · · · + h v , vn i vn ,
Demostración:
Si v = c1 v1 + · · · + ci vi + · · · + cn vn , para cada i , se tiene que
hv, vi i = hc1 v1 + · · · + ci vi + · · · + cn vn , vi i
2
= c1 hv1 , vi i + · · · + ci hvi , vi i + · · · + cn hvn , vi i = ci hvi , vi i = ci kvi k = ci
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147 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal
12.6 Ejercicios
Es decir, en una base ortonormal, la obtención de cordenadas puede resultar más sencilla. Pero no sólo eso, si
no que también se tiene:
Teorema 271.- Si P es la matriz de paso de una base ortonormal B1 a otra base ortonormal B2 , entonces
P es una matriz ortogonal (es decir, P −1 = P t ).
La prueba es puramente operativa, usando la definición de matriz de paso y el apartado b) del ejercicio 12.208
(ver también el ejercicio 12.213).
Definición 272.- Sean V un espacio vectorial con producto interior, W subespacio de V y B =
{ w1 , w2 , . . . , wk } una base ortonormal de W . Para cada v ∈ V , llamaremos proyección ortogonal
de v sobre W al vector de W
ProyW ( v ) = h v , w1 iw1 + hv , w2 iw2 + · · · + h v , wk i wk .
Al vector v −ProyW ( v ) se le llama componente ortogonal de v sobre W .
El vector proyección ortogonal no depende la base ortonormal elegida, es decir, tomando cualquier base ortonormal se obtiene el mismo vector. La prueba puede encontrarse en el Anexo 1, pág. 147, tras la demostración
del Lema 273 siguiente.
Lema 273.- Sean V un espacio vectorial con producto interior, W un subespacio de V y B una base ortonormal de W . Entonces para cada v ∈ V , el vector v − ProyW (v ) es ortogonal a W .
.
Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt 274.- Sean V un espacio vectorial con producto interior y
de dimensión finita. Vamos a describir este proceso que construye a partir de una base B = {v1 , v2 , . . . , vn }
una base ortonormal B ∗ = { u1 , u2 , . . . , un } .
Demostración:
1 a etapa.- Como v1 6= 0 por ser de B , el vector u1 =
v1
tiene norma 1 y lin{ u1 } = lin{v1 }.
k v1 k
2 a etapa.- Sea W1 = lin{ u1 } , por el Lema anterior, el vector v2 − ProyW1 ( v2 ) es ortogonal a W1 , en
particular a u1 , y es distinto del vector 0 pues ProyW1 ( v2 ) ∈ W1 y v2 ∈
/ W1 = lin{ v1 } , entonces tiene que
v2 − ProyW1 ( v2 )
v2 − h v2 , u1 i u1
u2 = v2 − ProyW ( v2 ) = k v2 − h v2 , u1 i u1 k ∈ lin{v1 , v2 }
1
es ortogonal a u1 y tiene norma 1. Además, lin{u1 , u2 } = lin{ v1 , v2 } .
3 a etapa.- Sea ahora W2 = lin{u1 , u2 }, como antes, el vector v3 − ProyW2 ( v3 ) es ortogonal a W2 , en
particular a u1 y u2 , y es distinto del vector 0 , pues ProyW2 (v3 ) ∈ W2 y v3 ∈
/ W2 = lin{ v1 , v2 },
entonces se tiene que
v3 − ProyW2 ( v3 )
v3 − h v3 , u1 i u1 − h v3 , u2 i u2
u3 = v3 − ProyW ( v3 ) = kv3 − h v3 , u1 i u1 − h v3 , u2 i u2 k ∈ lin{ v1 , v2 , v3 }
2
es ortogonal a u1 y u2 , y tiene norma 1. Además, lin{u1 , u2 , u3 } = lin{ v1 , v2 , v3 } .
n a etapa.- Con la repetición del proceso se ha construido un conjunto ortonormal de n vectores no nulos,
B ∗ = { u1 , u2 , . . . , un }, tal que lin B ∗ = lin B = V . Luego B ∗ es una base ortonormal de V .
12.6
Ejercicios
12.185 Determinar si son espacios vectoriales los siguientes conjuntos:
a) R2 con las operaciones: (x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) y k(x, y) = (2kx, 2ky) .
b) A = {(x, 0) : x ∈ R} con las operaciones usuales de R2 .
c) R2 con las operaciones: (x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 + 1, y + y 0 + 1) y k(x, y) = (kx, ky) .
d) El conjunto de los números reales estrı́ctamente positivos, R+ −{0} , con las operaciones: x+x0 = xx0
y kx = xk .
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148 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal
12.6 Ejercicios
12.186 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R3 ó R4 ?
a) {(a, 1, 1) ∈ R3 : a ∈ R} ⊆ R3
b) {(a, b, c) ∈ R3 : b = a + c} ⊆ R3
c) {(a, b, c, d) ∈ R4 : a + 2d = 7} ⊆ R4
d) {(a, b, c, d) ∈ R4 : ba = 0} ⊆ R4
12.187 Sean v1 = (2, 1, 0, 3) , v2 = (3, −1, 5, 2) y v3 = (−1, 0, 2, 1) vectores de R4 . ¿Cuáles de los vectores
(2, 3, −7, 3) , (0, 0, 0, 0) , (1, 1, 1, 1) y (−4, 6, −13, 4) , están en lin{v1 , v2 , v3 } ?
−1
−1
−1
−1 −1
12.188 ¿Para qué valores reales de λ los vectores v1 = (λ, −1
2 , 2 ) v2 = ( 2 , λ, 2 ) y v3 = ( 2 , 2 , λ) forman
3
un conjunto linealmente dependiente en R ?
12.189 Dados tres vectores linealmente independientes u , v y w , demostrar que u + v , v + w y w + u son
también linealmente independientes.
12.190 Sea V un espacio vectorial y S = { v1 , . . . , vk } un conjunto de vectores de V . Probar que:
a) lin S es un subespacio vectorial de V .
b) Si W es un subespacio de V que contiene a los vectores de S , entonces lin S ⊆ W .
12.191 Probar que si los vectores v1 , . . . , vk son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede
escribir como una combinación lineal de los restantes.
12.192 Determinar la dimensión de los siguientes subespacios de R4 :
a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, 0) .
b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con d = a + b y c = a − b.
c) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con a = b = c = d .
12.193 Demostrar que los vectores solución de un sistema no homogéneo compatible, AX = B , de m ecuaciones
con n incógnitas no forman un subespacio de Rn . ¿Qué ocurre si el sistema es homogéneo, es decir, si
B = 0?
12.194 Sean E y F subespacios de un espacio V . Probar que:
subespacio de V .
12.195 Considerar en R4 los conjuntos de vectores:
A = {(1, 2, −1, 3), (0, 1, 0, 3)}
E ∩ F = {v ∈ V : v ∈ E y v ∈ F } es un
B = {(1, −1, 1, 0), (2, 3, 1, 2), (0, 0, 0, 1)}
a) Hallar las dimensiones de lin(A) y de lin(B) , y encontrar una base
b) Hallar las ecuaciones paramétricas de lin(A) y de lin(B) .
c) Hallar las ecuaciones cartesianas de lin(A) y de lin(B) .
d) Hallar la dimensión de lin(A) ∩ lin(B) .
12.196 Consideremos en el espacio vectorial R3 la base B = { u1 , u2 , u3 } . Sea E el subespacio engendrado por
los vectores
v1 = u1 + 3 u3 , v2 = 2u1 − 3u2 + u3 , v3 = 4u1 − 3 u2 + 7 u3 .
Sea F el subespacio engendrado por los vectores
w1 = u1 + u2 + u3 , w2 = 2u1 + 3 u2 + 4 u3 , w3 = 3u1 + 4 u2 + 5 u3 .
Hallar una base de E , una base de F , el subespacio E ∩ F y una base de E ∩ F .
12.197 Sea M2×2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre R y sea E el subconjunto de
a
b+c
M2×2 formado por las matrices de la forma
con a, b, c ∈ R .
−b + c a
a) Demostrar que E es un subespacio vectorial.
1 0
0 1
0 1
b) Probar que las matrices A1 =
, A2 =
y A3 =
, forman una base de E .
0 1
−1 0
1 0
12.198 Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensión n . Demostrar que el conjunto { v1 , v2 , . . . , vn }
es una base de V si, y sólo si el conjunto {[v1 ]B , [ v2 ]B , . . . , [ vn ]B } es una base de Rn .
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149 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal
12.6 Ejercicios
12.199 En una cierta base { u1 , u2 , u3 , u4 } de un espacio vectorial V , un vector w tiene por coordenadas
(3, 1, 2, 6) . Hallar las coordenadas de W en otra base { v1 , v2 , v3 , v4 } cuyos vectores verifican que
v1 = u1 + u2 ,
v2 = 2 u4 − u1 ,
v3 = u2 − u3
y
v4 = 2 u1 − u2 .
12.200 En R3 se consideran las bases B = {v1 = (2, 0, 0), v2 = (0, −1, 2), v3 = (0, 0, −3)} y la base canónica
Bc = {e1 , e2 , e3 }. Hallar las coordenadas respecto de la base B del vector x = 4e1 + e2 − 5 e3 .
12.201 Se consideran en R3 las bases B = {u1 , u2 , u3 } y B 0 = {v1 , v2 , v3 }, siendo
u1 = (−3, 0, −3) , u2 = (−3, 2, −1) , u3 = (1, 6, −1) y
v1 = (−6, −6, 0) , v2 = (−2, −6, 4) , v3 = (−2, −3, 7) .
a) Hallar la matriz de paso de B a B 0 .
b) Calcular la matriz de coordenadas, [ w ]B , siendo w = (−5, 8, −5) .
c) Calcular [ w ]B 0 de dos formas diferentes
12.202 Sean u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ) . Determinar si hu , v i = u1 v1 − u2 v2 + u3 v3 define un producto
interior en R3 .
12.203
a) Encontrar dos vectores de R2 con norma euclı́dea uno y cuyo producto interior euclı́deo con (−2, 4)
sea cero.
b) Demostrar que hay un número infinito de vectores en R3 con norma euclı́dea uno y cuyo producto
interior euclı́deo con (−1, 7, 2) es cero.
−1
12.204 Sean a = ( √15 , √
) y b = ( √230 , √330 ) . Demostrar que { a, b } es ortonormal si R2 tiene el producto
5
interior h u , v i = 3u1 v1 + 2u2 v2 donde u = (u1 , u2 ) y v = (v1 , v2 ) , y que no lo es si R2 tiene el producto
interior euclı́deo.
12.205 Sea V un espacio con producto interior. Demostrar que si w es ortogonal a cada uno de los vectores
v1 , v2 , . . . , vk entonces es ortogonal a lin{v1 , v2 , . . . , vk }.
12.206 Considera R3 con el producto interior euclideo. Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para transformar, en
cada caso, la base { u1 , u2 , u3 } en una base ortonormal.
a) u1 = (1, 1, 1) , u2 = (−1, 1, 0) , u3 = (1, 2, 1) .
b) u1 = (1, 0, 0) , u2 = (3, 7, −2) , u3 = (0, 4, 1) .
12.207 Sea R3 con el producto interior h u , v i = u1 v1 + 2u2 v2 + 3u3 v3 . Utilizar el proceso de Gram-Schmidt
para transformar la base formada por los vectores u1 = (1, 1, 1) , u2 = (1, 1, 0) y u3 = (1, 0, 0) en una
base ortonormal.
12.208 Sea B = { v1 , v2 , v3 } una base ortonormal de un espacio V con producto interior. Probar que:
2
a) k w k = hw , v1 i2 + hw , v2 i2 + hw , v3 i2 ;
b) h u , w i = (u )B · (w )B =
[u ]tB [ w ]B ;
∀w ∈V.
∀ u, w ∈ V .
12.209 Tomemos en R4 el producto interior euclideo. Expresar el vector w = (−1, 2, 6, 0) en la forma w = w1 +
w2 donde, w1 esté en el subespacio W generado por los vectores u1 = (−1, 0, 1, 2) y u2 = (0, 1, 0, 1) ,
y w2 sea ortogonal a W .
12.210 Suponer que R4 tiene el producto interior euclideo.
a) Hallar un vector ortogonal a u1 = (1, 0, 0, 0) y u4 = (0, 0, 0, 1) , y que forme ángulos iguales con los
vectores u2 = (0, 1, 0, 0) y u3 = (0, 0, 1, 0) .
b) Hallar un vector x de longitud 1, ortogonal a u1 y a u2 , tal que el coseno del ángulo entre x y
u3 sea el doble del coseno del ángulo entre x y u4 .
12.211 Hallar la distancia del vector u = (1, 1, 1, 1) de R4 al subespacio generado por los vectores v1 = (1, 1, 1, 0)
y v2 = (1, 1, 0, 0) .
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150 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal
12.6 Ejercicios
12.212 Dados los vectores x = (x1 , x2 , x3 ) e y = (y1 , y2 , y3 ) de R3 , demostrar que la expresión h x , y i =
2x1 y1 + 2x2 y2 + x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 define un producto interior.
Encontrar una base { u1 , u2 , u3 } ortonormal respecto al producto interior anterior tal que u2 y u3
tengan igual dirección y sentido que los vectores (0, 1, 0) y (0, 0, 1) , respectivamente.
12.213 Probar que una matriz A de orden n es ortogonal si, y sólo si sus vectores fila forman un conjunto
ortonormal en Rn .
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