6. Consecuencias de la fórmula integral de Cauchy: teoremas de

Problemas de ELEMENTOS DE VARIABLE COMPLEJA
6.
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Consecuencias de la fórmula integral de Cauchy: teoremas de
Liouville, de los ceros aislados y del módulo máximo
6.1 Sea D = C − (−∞, 0]. Se define en D una función en la forma siguiente:
f (z) =
z−1
si z 6= 1; f (1) = 1,
log(z)
donde log(z) es la determinación principal del logaritmo. Demostrar que f es una función
holomorfa en D.
6.2 Sea f (z, t) una función compleja continua de (z, t) para z ∈ U , donde U es un abierto
de C, y para t ∈ I, donde I = [a, b] ⊂ R. Se supone que para cada t ∈ I fijo, f (z, t) es
holomorfa en U . Sea
Z
F (z) =
f (z, t) dt,
z ∈ U.
I
Probar que F es holomorfa en U y que
Z
∂f
0
F (z) =
(z, t) dt,
I ∂z
6.3 Demostrar que la función F definida en C por
Z
sen w
F (z) =
dw,
w
[0,z]
z ∈ U.
z ∈ C,
es entera y encontrar el desarrollo de Taylor de F en 0.
6.4 Sea g : [0, 1] → C una función continua y
Z 1
f (z) =
g(t)ezt dt,
z ∈ C.
0
Demostrar que f es entera y hallar su derivada.
6.5 Si f es analı́tica en el disco abierto unidad, ¿se puede cumplir que |f (k) (0)| ≥ k!5k
para cada k ∈ N?
6.6 Sea f una función holomorfa en B(a, r) tal que la serie
P∞
n=0
f (n) (a) converge. Probar
que existe una función h entera y que prolonga a f , de modo que la sucesión {h(n) }∞
n=1
converge uniformemente en los subconjuntos compactos de C.
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6.7 Sea f (z) =
P∞
n=0
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an z n , z ∈ B(0, R), con R > 0. Probar que f es una función par si,
y sólo si, an = 0 para n = 1, 3, 5, . . .
6.8 Sea f una función entera. Se supone que existen constantes k, R, M, N > 0 tales que
|f (z)| ≤ N + M |z|k ,
si |z| ≥ R.
Demostrar que f es un polinomio de grado n ≤ k.
∞
X
6.9 Se considera una función entera f (z) =
an z n verificando la condición
n=0
ln M (r)
= a,
r→∞
rα
lı́m
donde a y α son constantes positivas y M (r) = sup{|f (z)| : |z| = r}.
Demostrar que si b > a, se tiene la desigualdad
¶n/α
µ
αbe
,
|an | <
n
para n suficientemente grande.
6.10 Se supone que
P∞
k=0 ck z
k
converge para cada z ∈ C. Sea f (z) su suma y, para cada
r ≥ 0, sea M (r) = sup{ |f (z)| : |z| = r }. Probar que
∞
X
|ck |rk ≤ 2M (2r),
∀r ≥ 0.
k=0
6.11 Sea f una función entera. Se supone que existen z0 , ω0 ∈ C tales que z0 6= λω0 para
cada λ ∈ R, de modo que f (z) = f (z + z0 ) = f (z + ω0 ) para cada z ∈ C. Probar que f es
constante.
6.12 Demostrar que si f es una función entera y |f (z)| ≥ 1 para todo z ∈ C, entonces f
es constante.
f (z)
= 0. ¿Qué se puede decir de f ?
z→∞ z
6.13 Sea f entera y tal que lı́m
6.14 Sea f una función entera que verifica |f 0 (z)| ≤ |z|, z ∈ C. Demostrar que f (z) =
a + bz 2 , con |b| ≤ 1/2.
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6.15 Sea f una función entera no constante. Demostrar que para cada ² > 0, existe algún
z² ∈ C con |f (z² )| < ². Dedúzcase de lo anterior que f (C) es denso en C. ¿Puede ser
f (C) 6= C?
6.16 Si f es entera y existe M > 0 tal que Ref (z) ≤ M para cada z ∈ C, probar que f
es constante.
6.17 Hallar el orden del cero z = 0 para las funciones:
2
(a) z 2 (ez − 1);
(b) 6 sen(z 3 ) + z 3 (z 6 − 6);
(c) exp(sen(z)) − exp(tg(z)).
6.18 El punto z0 es un cero de orden k para la función f (z) y un cero de orden m ≤ k
para la función g(z). Explicar qué es el punto z0 para las funciones f + g, f g y f /g.
6.19 Sea {an }∞
n=1 una sucesión de números reales, distintos dos a dos, y tal que lı́m an = 0.
n→∞
Se supone que f es una función entera tal que f (an ) es real, para todo n ∈ N.
(i) Demostrar que f (z) es real, para todo z ∈ R.
(ii) Si an > 0 y f (a2n+1 ) = f (a2n ), para n = 1, 2, . . ., probar que f es constante.
6.20 Sean f y g dos funciones holomorfas en C − {0} tales que:
(i) f (n) = n2 g(n), para todo n ∈ Z − {0}.
(ii) Existen y son finitos los lı́mites lı́mz→∞ f (z) y lı́mz→∞ g(z).
Probar que f (z) = z 2 g(z), para todo z 6= 0.
6.21 Sea f una función entera tal que f (R) ⊂ R y f (iR) ⊂ iR. Probar que f es impar.
6.22 Sean f y g dos funciones holomorfas en un abierto conexo U del plano complejo. Se
supone que existe una sucesión {an }∞
n=1 de puntos de U tal que
lı́m an = a ∈ U, an 6= a, f (an ) 6= 0, n = 1, 2, . . .
n→∞
Si g no se anula en U y para cada n ∈ N se tiene que
f 0 (an )
g 0 (an )
=
,
f (an )
g(an )
probar que existe λ ∈ C tal que f (z) = λg(z) para cada z ∈ U .
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6.23 Discutir si existen funciones holomorfas f en un abierto conexo U de C que contenga
a [−1, 1] y que verifiquen alguna de las siguientes condiciones:
1
1
1
1
1
1
(i) f ( ) = f (
)= ;
(ii) f ( ) = f (− ) = − 3 .
2n
2n + 1
n
n
n
n
6.24 Demostrar que si f y g son holomorfas en un abierto conexo D de modo que f g es
holomorfa, entonces g es constante o f es idénticamente nula.
6.25 Si f es analı́tica en un abierto que contiene a la bola cerrada unidad, demostrar que
para algún natural n se tiene que f (1/n) 6= 1/(n + 1).
6.26 Supongamos que f es entera y que para cada a ∈ C el desarrollo de f en serie de
P
n
Taylor, f (z) = ∞
n=0 cn (z − a) , tiene al menos un coeficiente nulo. Demuéstrese que f es
un polinomio.
6.27 Sea Ω un abierto conexo que contiene al disco cerrado unidad y sea f holomorfa en Ω
tal que |f (z)| > 2 si |z| = 1, y f (0) = 1. ¿Tiene f algún cero en el disco abierto unidad?
6.28 Sea f analı́tica sobre un dominio que contiene a la región
G = { z ∈ C / 0 ≤ Re(z) ≤ 1 }.
Si lı́m f (z) = 0, y para todo t real se tiene que |f (1 + it)| ≤ 1 y |f (it)| ≤ 1, demostrar
z→∞
que |f (z)| ≤ 1 para todo z ∈ G.
6.29 Sea f una función entera que toma valores reales en la circunferencia unidad. Probar
que f es constante.
6.30 Sea U un abierto de C y D una bola abierta con D ⊂ U . Sea f una función
holomorfa en U y no constante. Si existe un número real positivo λ con |f (z)| = λ para
cada z ∈ F r(D), probar que f se anula en algún punto de D.
6.31 Sea f una función holomorfa en B(0, R). Se define
A(r) = máx{ Re(f (z)) : |z| = r },
0 ≤ r < R.
Probar que si f no es constante, A(r) es una función de r estrictamente creciente y continua.
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6.32 Sea U un dominio acotado de C y sean f y g funciones holomorfas en U y continuas
en su adherencia. Demostrar que si las partes reales de f y g coinciden sobre la frontera
de U , entonces existe c ∈ R tal que f (z) = g(z) + ic, para todo z ∈ U .
6.33 Sean U un dominio acotado de C, {fn }∞
n=1 una sucesión de funciones holomorfas en
U y continuas en su adherencia, y f una función de este mismo tipo, de modo que {fn }∞
n=1
converge uniformemente sobre la frontera de U hacia f . Probar que {fn }∞
n=1 converge
uniformemente hacia f en U .
6.34 Sean f y g funciones enteras tales que existe k > 0 de modo que |f (z)| ≤ k|g(z)|,
z ∈ C. Demostrar que existe λ ∈ C tal que f = λg.
6.35 Sea Ω = { z ∈ C / a < Re(z) < b }, y sea f ∈ H(Ω) ∩ C(Ω) tal que existe B > 0 de
modo que |f (z)| ≤ B, para todo z ∈ Ω, y |f (z)| ≤ 1, para todo z ∈ Fr(Ω).
(i) Sea ε > 0, y definamos
hε (z) =
1
,
1 + ε(z − a)
z ∈ Ω.
Probar que |hε (z)| ≤ 1, para todo z ∈ Ω, y que
|f (z)hε (z)| ≤
B
,
ε|y|
para cada z ∈ Ω / z = x + iy, y 6= 0.
(ii) Probar que |f (z)hε (z)| ≤ 1 para todo z ∈ Ω.
(iii) Probar que |f (z)| ≤ 1 para todo z ∈ Ω.
6.36 Sean Ω = {z ∈ C : |z| > 1} y f una función holomorfa en Ω y continua en Ω̄.
(i) Supongamos que existen constantes M, B > 0 tales que
(
M, si |z| = 1,
|f (z)| ≤
B, si |z| > 1.
Pruébese que |f (z)| ≤ M , para todo z ∈ Ω.
f n (z)
(Indicación: Considérese la función
en el abierto Ωr = {z ∈ C : 1 < |z| < r}.)
z
(ii) En general, ¿es cierto que si |f (z)| ≤ M para |z| = 1, entonces |f (z)| ≤ M para todo
z ∈ Ω?
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6.37 Calcular el máximo de las siguientes funciones en los conjuntos que se indican:
(i) | sen(z)| en [0, 2π] × [0, 2π] ⊂ C;
(ii) Re(z 3 ) en [0, 1] × [0, 1] ⊂ C.
6.38 Sea U = (−1, 1) × (−1, 1), y sea f una función compleja continua en U y holomorfa
en U . Pongamos
M1 = sup{|f (z)| : Re(z) = 1, | Im(z)| ≤ 1},
M2 = sup{|f (z)| : | Re(z)| ≤ 1, Im(z) = 1},
M3 = sup{|f (z)| : Re(z) = −1, | Im(z)| ≤ 1},
M4 = sup{|f (z)| : | Re(z)| ≤ 1, Im(z) = −1}.
Probar que |f (0)| ≤ (M1 M2 M3 M4 )1/4 .
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