Tema: Funciones diferenciables Ejercicios resueltos 1

Tema: Funciones diferenciables
Ejercicios resueltos
1. Usando la definición correspondiente demostrar que la función
z = f (x, y) = 3x − xy 2
es diferenciable en todo R2 .
Solución: Se debe verificar que para todo (a, b) en R2 , existen funciones, de h = ∆x y
k = ∆y, 1 y 2 , tal que:
∆f (a, b) = fx (a, b) h + fy (a, b) k + 1 h + 2 k
o bien
∆f (a, b) − fx (a, b) h − fy (a, b) k = 1 h + 2 k
donde 1 → 0 y 2 → 0 cuando (h, k) → (0, 0). Ahora bien:
Calculo de ∆f (a, b):
∆f (a, b) = f (a + h, b + k) − f (a, b)
= 3(a + h) − (a + h)(b + k)2 − (3a − ab2 )
= 5h − b2 h − 2abk − 2bhk − ak 2 − hk 2
Calculo de las derivadas parciales:
fx (a, b) = 5 − b2 y fy (a, b) = −2ab
Luego,
∆f (a, b) − fx (a, b) h − fy (a, b) k = −ak 2 − 2bhk − hk 2 = (−2bk − k 2 ) h + (−bk) k
|
{z
}
| {z }
1
2
y claramente 1 = −2bk − k 2 → 0 y 2 = −bk → 0, cuando (h, k) → (0, 0).
Notas:
La elección de 1 y 2 no son únicas. Elegir, al menos otras 3 posibilidades.
Si no se hubiera exigido usar la definición de función diferenciable, se podrı́a haber
usado el teorema que establece que si una función tiene primeras derivadas continuas, entonces es diferenciable, ya que en este caso, evidentemente fx (x, y) = 3 − y 2
y fy (x, y) = −2xy son continuas en todo el plano.
2. Un envase cilı́ndrico cerrado tiene la forma de cilı́ndro circular recto de 6cm de altura
y 2cm de radio interior y 1mm de grosor. Si el costo del metal es de US$0.4 por cm3 ,
calcular aproximadamente usando diferenciales el costo total del metal empleado en la
construcción del envase.
Solución:
Como se sabe el volumen V de un cilı́ndro, viene dado por V = V (r, h) = πrr h, donde
r es su radio y h su altura.
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El volumen exacto del metal usado viene dado por ∆V = V (2,1, 6,2) − V (2, 6). Un valor
aproximado se encuentra calculado dV :
dV = Vr dr + Vh dh = 2πrh dr + πr3 dh
con r = 2, h = 6, dr = 0,1 y dh = 0,2:
dV = 2π(2)(6)(0,1) + π(2)2 (0,2) = 3,2π
Luego, ∆V ≈ 3,2π. Por lo tanto, el material empleado en la construcción del cilindro
es aproximadamente 3,2π. Como el costo del metal es de US$0.4 por cm3 , entonces el
costo aproximado es 3,2π · 0,4 ≈ 4,02 dólares.
3. Verificar que la función
u = f (x, y) =
(x2 + y 2 ) sin(x2 + y 2 )−1/2 si (x, y) 6= 0
0
si (x, y) = (0, 0)
es
a) diferenciable en todo punto de R2 .
b) sus derivadas parciales existen en todo punto de R2 .
c) sus derivadas parciales no son continuas en el origen.
Solución:
a) Para cada (x, y) 6= (0, 0), las derivadas parciales vienen dadas por:
ux (x, y) = 2x sin(x2 + y 2 )−1/2 − cos(x2 + y 2 )−1/2 ·
uy (x, y) = 2y sin(x2 + y 2 )−1/2 − cos(x2 + y 2 )−1/2 ·
(x2
2x
+ y 2 )1/2
(x2
2y
+ y 2 )1/2
las cuales son continuas para cada (x, y) 6= (0, 0).
Por lo tanto u es diferenciable en R2 \ (0, 0) (∗).
Veamos ahora que u es diferenciable en (0, 0).
En primer lugar se deben verificar la existencia de las derivadas parciales de u en
(0, 0). No es dificil verificar que ux (0, 0) = 0 y uy (0, 0) = 0.
Sea h = ∆x y k = ∆y
∆u = f (0+h, 0+k)−f (0, 0) = |{z}
0 ·h+|{z}
0 ·k+(h sin(h2 + k 2 )−1/2 )·h+(k sin(h2 + k 2 )−1/2 )·k
|
{z
}
|
{z
}
ux
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uy
2
1
2
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y claramente, por ser la función seno acotada:
lı́m
h sin(h2 + k 2 )−1/2 =
(h,k)→(0,0)
lı́m
k sin(h2 + k 2 )−1/2 = 0
(h,k)→(0,0)
luego, u es diferenciable en (0, 0) (∗∗).
De (∗) y (∗∗), u es diferenciable en todo R2 .
b) Verificado en el item precedente.
c) Para verificar que ux no es continua en (0, 0), observemos que lı́m ux (x, x) y lı́m uy (x, x)
x→0
x→0
no existen (comprobarlo !).
4. Establecer si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas. Justificar en cada caso
la respuesta.
Se sugiere revisar los gráficos de la funciones de esta actividad y
sus curvas de nivel. Usar, por ejemplo, el applet Surphace Plotter
disponible en el sitio del curso.
a) Si u = f (x, y) tiene todas las derivadas direccionales en P0 = (x0 , y0 ), entonces
u = f (x, y) es continua en P0 (x0 , y0 ).
Solución: La afirmación es falsa.
Veamos el siguiente contraejemplo: Sea
 3
 x
si y 6= 0
u = f (x, y) =
y

0 si y = 0
u = f (x, y) tiene derivadas direccionales en el origen (iguales a 0). En efecto si
(cos θ, sin θ) es una dirección (arbitraria), se tiene:

h cos3 θ


lı́m
= 0 si sin θ 6= 0

f (h cos θ, h sin θ)  t→0 sin θ
lı́m
=
h→0

h

0


si sin θ = 0
lı́m = 0
h→0 h
pero u = f (x, y) es discontinua en el origen. Verificar esta afirmación analizando el
lı́mite a través de los caminos y = mx3 .
b) Si u = f (x, y) es continua en P0 (x0 , y0 ), entonces u = f (x, y) tiene todas las
derivadas direccionales en P0 = (x0 , y0 ).
Solución: La afirmación es falsa.
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p
Veamos el siguiente contraejemplo: Sea u = f (x, y) = x2 + y 2 . Esta función es
continua en todo R2 , en particular en el origen. Sin embargo, no admite ninguna
derivada direccional en el origen. En efecto:
lı́m =
h→0
f (h cos θ, h sin θ)
|h|
= lı́m
h→0 h
h
no existe.
c) Si u = f (x, y) es derivable (tiene derivadas parciales) en P0 (x0 , y0 ), entonces u =
f (x, y) tiene todas las otras derivadas direccionales en P0 = (x0 , y0 ).
Solución: La afirmación es falsa.
Veamos el siguiente contraejemplo: Sea
(
xy
si (x, y) 6= (0, 0)
2
x + y2
u = f (x, y) =
0
si (x, y) = (0, 0)
Esta función es claramente derivable en (0, 0)1 . Pero, no existe ninguna otra deriva−
da direccional, dado que para →
u = (cos θ, sen θ) con cos θ · sen θ 6= 0 se tiene que:
lı́m =
h→0
cos θ sin θ
f (h cos θ, h sin θ)
= lı́m
h→0
h
h
no existe.
d ) Si u = f (x, y) es diferenciable en P0 (x0 , y0 ), entonces u = f (x, y) es continua en
P0 (x0 , y0 ) .
Solución: La afirmación es Verdadera. Justificación: Teorema visto en clases.
e) Si u = f (x, y) es continua y tiene todas las derivadas direccionales (en particular,
las parciales) en P0 = (x0 , y0 ), entonces u = f (x, y) es diferenciable en P0 =
(x0 , y0 ).
Solución: La afirmación es falsa.
Veamos el siguiente contraejemplo: Sea

 3x2 y − 2x3
si (x, y) 6= (0, 0)
u = f (x, y) =
x2 + y 4

0
si (x, y) = (0, 0)
Esta función es continua en el origen (y en todo el plano). Verificarlo. Además tiene
todas la derivadas direccionales en (0, 0). En efecto:

 3 sin θ − 2 cos θ si cos θ 6= 0
2
lı́m
h→0
f (h cos θ, h sin θ)
cos θ(3 sin θ − 2 cos θ)
= lı́m
=
t→0

h
sin θ
0
si cos θ = 0
1
Verificar, que tambien es derivable en todo el plano, y que sus derivadas parciales no son continuas en el
origen.
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Sin embargo, la función u = f (x, y) no es diferenciable en (0, 0). En efecto, de serlo
deberı́a cumplirse (¿porqué’):
f (h, k) − f (0, 0) − fx (0, 0)h − fy (0, 0)k
√
=0
(h,k)→(0,0)
h2 + k 2
lı́m
como fx (0, 0) = −2 y fy (0, 0) = 0, este lı́mite queda:
3x2 y + 2xy 4
√
=0
(h,k)→(0,0) (h2 + k 4 ) h2 + k 2
lı́m
Estudiante este lı́mites por los caminos y = mx, se obtiene que no existe.
f ) Si u = f (x, y) tiene todas las derivadas direccionales en P0 = (x0 , y0 ), entonces
u = f (x, y) es diferenciable en (x0 , y0 ).
Solución: La afirmación es falsa.
Veamos el siguiente contraejemplo:
Sea
(
xy
si (x, y) 6= 0
x2 + y 2
f (x, y) =
0
si (x, y) = (0, 0)
−
y→
u = (a, b) una dirección cualquiera.
Veamos
f ((0, 0) + t(a, b)) − f (0, 0)
ab
= 2
t
a + b2
luego, esta función tiene todas las derivadas direccionales en (0, 0), pero como se
sabe esta función no es diferenciable en (0, 0), ya que ella no es continua en (0, 0).
D−
→
u f (0, 0) = lı́m
t→0
5. Sean x = es cos t, y = es sin t y f : R2 → R una función de clase C 2 (f , sus derivadas de
primer y segundo orden continuas).
Comprobar que si g(s, t) = f (x, y) entonces
1
e2s
∂ 2g ∂ 2g
+ 2
∂s2
∂t
=
∂ 2f
∂ 2f
+
∂x2
∂y 2
Solución:
Para empezar observar que:
∂x
= x,
∂s
Ahora bien:
∂y
= y,
∂s
∂x
= −y,
∂t
∂y
=x
∂t
∂g
∂f ∂x ∂f ∂y
∂f
∂f
=
+
=
x+
y
∂s
∂x ∂s ∂y ∂s
∂x
∂y
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∂g
∂f ∂t ∂f ∂t
∂f
∂f
=
+
=−
y+
x
∂t
∂t ∂s
∂t ∂s
∂x
∂y
derivando nuevamente
2
2
∂ 2 f ∂y
∂f ∂x
∂ f ∂x ∂ 2 f ∂y
∂f ∂y
∂ 2g
∂ f ∂x
+
x+
+
+ 2
y+
=
2
2
∂s
∂x ∂s ∂y∂x ∂s
∂x ∂s
∂x∂y ∂s ∂y ∂s
∂y ∂s
∂ 2 f 2 ∂f
∂f
∂ 2f 2
∂ 2f
xy + 2 y +
x+
y
=
x +2
∂x2
∂x∂y
∂y
∂x
∂y
2
2
∂ 2g
∂ 2 f ∂y
∂f ∂y
∂ f ∂x ∂ 2 f ∂y
∂f ∂x
∂ f ∂x
+
y−
+
+ 2
x+
= −
2
2
∂t
∂x ∂t
∂y∂x ∂t
∂x ∂t
∂x∂y ∂t
∂y ∂t
∂y ∂t
∂ 2 f 2 ∂f
∂f
∂ 2f 2
∂ 2f
xy + 2 x −
x−
y
=
y −2
∂x2
∂x∂y
∂y
∂x
∂y
sumando término a término las dos relaciones anteriores:
2 2 2 2 ∂ 2g ∂ 2g
∂ f∂ f
∂ f∂ f
2
2
+ 2 =
(x + y ) =
e2s
2
2
2
∂s
∂t
∂x ∂y
∂x2 ∂y 2
6. Calcular
dy
dx
si y = f (x) viene definida implı́citamente por x cos y + y cos x − 2 = 0
Solución: Sea F (x, y) = x cos y + y cos x − 2. Entonces:
dy
Fx
cos y − y sin x
=−
=−
dx
Fy
−x sin y + cos x
7. La temperatura en cualquier punto (x, y) de una placa rectangular situada en el plano
XY viene dada por:
T = T (x, y) = x2 + y 2
a) Calcular la tasa de variación de la temperatura en el punto (3, 4) en la dirección
que forma un ángulo π/3 con la parte positiva del eje X.
b) Determinar el ángulo de la dirección en que la tasa de variación de la temperatura
en el punto (−3, 1) es máxima.
Solución:
→
−
a) Se pide calcular D−
→
→
u T (3, 4). Luego, se debe calcular D−
u T (x, y) = u · ∇T (x, y)
como:
√
→
−
u = (cos π/3, sin π/3) = (1/2, 3/2) y ∇T (x, y) = (Tx (x, y), Ty (x, y)) = (2x, 2y)
se tiene que
√
√
→
−
D−
3/2)
·
(2x,
2y)
=
x
+
3y
T
(x,
y)
=
u
·
∇T
(x,
y)
=
(1/2,
→
u
√
Entonces, D−
→
u T (3, 4) = 3 + 4 3 ≈ 9,93
Luego, en el punto (3, 4) la temperatura crece aproximadamente a una razón de
−
9,93◦ por unidad de variación en la dirección del vector →
u.
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→
−
b) D−
→
v T (−3, 1) es máxima cuando v está en la dirección del vector ∇T (−3, 1) =
(−6, 2). Luego, el ángulo pedido α satisface tan α = −1/3, de donde α = arctan(−1/3) ≈
2,82.
8. Determinar las ecuaciones del plano tangente y la recta normal en el punto (−2, 1, −3)
del elipsoide
x2 /4 + y 2 + z 2 /9 − 3 = 0
Solución:
Sea F (x, y) = x2 /4 + y 2 + z 2 /9 − 3, luego
Fx (x, y, z) = x/2,
Fy (x, y, z) = 2y,
Fz (x, y, z) = 2z/9
de donde
Fx (−2, 1, −3) = −1,
Fy (−2, 1, −3) = 2,
Fz (−2, 1, −3) = −2/3
Por lo tanto:
Ecuación plano tangente: −1(x + 2) + 2(y − 1) − 23 (z + 3) = 0, es decir
3x − 6y + 2z + 18 = 0
Ecuación recta normal:
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y−1
z+3
x+2
=
=
−1
2
−2/3
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