ANEJO I A1. ELEMENTOS DE VIGA DE EULER BERNOULLI

Analisis de placas y lamina
134
ANEJO I
A1. ELEMENTOS DE VIGA DE EULER BERNOULLI LIBRES DE
ROTACIÓN
La teoría de vigas de Euler-Bernoulli es probablemente uno de los problemas
modelo más simples de la formulación restringida de la elasticidad lineal. La restricción,
en este caso, es la hipótesis cinemática estándar de Euler-Bernoulli, donde las secciones
transversales normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen planas y
ortogonales a dicho eje después de la deformación. Esto introduce el requerimiento de
continuidad C1 de las interpolaciones por Elementos Finitos. Clásicamente se escogen
las funciones de forma Hermíticas que discretizan por doble partida los grados de
libertad de los desplazamientos y los giros.
La novedad es abandonar este concepto y desarrollar otro tipo de aproximaciones
discretas para las vigas de Euler-Bernoulli basándose en trabajo de la formulación mixta
de Hu-Washizu. Usando los conceptos de los Elementos Finitos libres de rotación. Dos
elementos de viga sin grados de libertad en los giros son desarrollados. Dichos
elementos estan basados en los planteamientos ‘Cell Centered’ y ‘Cell vertex’
transfiriendo la integral dominio en la integral del contorno. Estos elementos se llaman
elementos CCB y elementos CVB, respectivamente.
A1.1 TEORIA BÁSICA
Las ecuaciones de gobierno del problema de vigas de Euler-Bernoulli se presentan
en la Figura A1, y se sintetizan como sigue.
Figura A1. Problema de la viga de Euler-Bernoulli (fuente [8])
La ecuación cinemática es
χ =−
∂2w
⇒ χ = Lw
∂x 2
 ∂2 
donde L =  2  , χ es la curvatura de la viga y w es la flecha.
 ∂x 
(a.1)
Analisis de placas y lamina
135
La ecuación constitutiva es
m = Dχ
(a.2)
donde m es el momento flector, D=[EI] , E el módulo de Young y I es el momento de
inercia de la sección transversal.
La ecuación de equilibrio de la viga es
∂ 2m
+ q = 0 ⇒ Lm + q = 0
∂x 2
(a.3)
donde q es la carga distribuida.
Sustituyendo la ecuación de equilibrio (a.2) en la ecuación de equilibrio (a.3) da
D
∂ 2w
+q=0
∂x 2
(a.4)
Finalmente, sustituyendo la ecuación cinemática (a.1) en (a.4) se obtiene la
conocida ecuación de equilibrio para la viga de Euler-Bernoulli como
−D
∂4w
+q=0
∂x 4
para
∀x ∈ [0, l ]
(a.5)
La ecuaciones de gobierno de forma integral pueden ser obtenidas de la función
estándar de Hu-Washizu
Π=
1
χDχ dx + ∫ m( Lw − χ ) dx − ∫ wqdx
2 ∫l
l
l
(a.6)
donde q es la carga distribuida.
La variación de Π desemboca a el conjunto de las ecuaciones integrales
cinemática, constitutiva y de equilibrio, que son respectivamente:
∫ δm( Lw − χ )dx = 0
(a.7a)
∫ δχ ( Dχ − m)dx = 0
(a.7b)
l
l
∫ ( Lδw)
l
T
mdx − ∫ δwqdx = 0
(a.7c)
l
El conjunto de ecuaciones (a.7) son la base de la discretización libre de rotación.
Analisis de placas y lamina
136
A1.2 DISCRETIZACIÓN EN ELEMENTOS FINITOS
Se considera inicialmente la discretización de la viga en elementos estándar de dos
nodos. La curvatura χ y el momento flector m se consideran constantes en el dominio de
control que será definido posteriormente. Por lo tanto
(a.8a)
m, δm = m p , δm p
χ , δχ = χ p , δχ p
(a.8b)
donde (.)p denota valores constantes sobre el dominio de control p. Utilizando estas
consideraciones, las ecuaciones cinemática, constitutiva y de equilibrio de (a.7) se
expresan como sigue
∑ δm [ ∫ Lwdx − χ ∫ dx ] = 0
(a.9a)
∑ δχ
(a.9b)
p
p
p
p
lp
p
lp
( Dχ p − m p ) ∫ dx = 0
∑ ∫ ( L δw )
p lp
lp
T
m p dx − ∑ ∫ δwqdx = 0
(a.9c)
p lp
donde la suma se extiende sobre todos los dominios de control.
Integrando por partes la ecuación (a.9a) para reducir el orden de las derivadas en
w y teniendo en cuenta que los momentos virtuales y curvaturas son arbitrarios, esto
permite obtener la curvatura en la parcela p ,después de un poco de álgebra, como
1
χp =
lp
l+
1  ∂w  p
1  ∂w
∂w − 
∂2w
(l p ) 
dx
=  (l p+ ) −
=
∫l ∂x 2


−
∂
x
∂
l
x
l
x
∂




l
p
p
p
p
(a.10)
La ecuación anterior permite calcular la curvatura sobre el dominio de control
como la diferencia de los valores en los extremos de la parcela. En la ecuación (a.10) l p+
y l p− denotan los extremos derecho y izquierdo de dominio de longitud l p ,
respectivamente.
Sustituyendo la ecuación (a.10) en la (a.9b) permite la aproximación discreta del
momento flector como
m p = Dχ p = D
1
lp
 ∂w + ∂w − 
 ∂x (l p ) − ∂x (l p )


(a.11)
Analisis de placas y lamina
137
De la ecuación (a.9c), utilizando los mismos procedimientos da
l+
p
∂2w
∂w
 ∂w 
 ∂w

=
(
dx
)
m
∑p ∫ ∂x 2
∑p  ∂x  − m p = ∑p  ∂x (l p+ ) − ∂x (l p− ) m p
p
lp
lp
(a.12)
donde la suma se extiende en todo el dominio de control. Sustituyendo las ecuaciones
(a.11) y (a.12) en (a.9c), se encuentra la expresión para ecuación de equilibrio
T
∂w
∂w
1  ∂w
 ∂w


∑p  ∂x (l p+ ) − ∂x (l p− ) D l  ∂x (l p+ ) − ∂x (l p− ) = ∑p ∫ δwqdx
p
lp
(a.13)
El campo de desplazamientos se interpola ahora usando las funciones de forma
estándar elementales para un elemento de dos nodos Ni , como
2
w = ∑ N i wi = N e w e
(a.14)
i =1
donde wi son los valores de la flecha, N e = [N1 , N 2 ] y w e = [w1 , w2 ] .
T
Sustituyendo la ecuación (a.14) en (a.13) da el sistema de ecuaciones discretas
(a.15)
Kw = f
donde K es la matriz de rigidez, w el vector que contiene las flechas en los nodos y
f el vector de fuerzas nodales.
La matriz de rigidez global se obtiene con las contribuciones elementales de la
manera estándar. Alternativamente, también se puede obtener con el ensamblaje de las
contribuciones de los distintos dominios de control. La matriz de rigidez K p para el
dominio de control p se expresa
[ ]
Kp = Bp
T
DB p l p
(a.16)
donde B p es la matriz de curvatura del dominio de control y D=[EI]. Los detalles de su
obtención de B p se presentan en el apartado siguiente.
Analisis de placas y lamina
138
A1.3 OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE CURVATURA
Para la obtención de la matriz de curvatura B p se utilizan dos esquemas distintos.
El “Cell Centered scheme”, que escoge el dominio de control de χ como un elemento
parcela de dos nodos (Figura A2), y el “Cell Vertex scheme” , que forma el dominio de
control con dos elementos que comparten un nodo (Figura A3).
Figura A2. Elemento de control para el planteamiento ‘Cell Centered scheme’
(fuente [8]).
Figura A3 Elemento de control para el planteamiento ‘Cell Vertex scheme’ (fuente [8]).
La curvatura y el momento flector se consideran constantes sobre el dominio de
control y se muestran para el planteamiento “Cell Centered scheme” y “Cell Vertex
scheme” en la Figura A4 y Figura A5 respectivamente.
Figura A4. Funciones interpoladoras para el campo de desplazamientos, curvatura y
momentos en dominios ‘Cell Centered’ (fuente [8]).
Analisis de placas y lamina
139
Figura A5. Funciones interpoladoras para el campo de desplazamientos, curvatura y
momentos en dominios ‘Cell Centered’ (fuente [8]).
A1.3.2 Caso general para el esquema Cell Centered – elemento CCB
Los elementos adyacentes al elemento escogido le están conectados formando una
parcela, como se presenta en la Figura A2. Las condiciones de contorno no estan
aplicadas. Los dominios de control varian según las condiciones de contorno que se
tengan. El caso general, para un elemento intermedio es el que se presenta.
La curvatura sobre el dominio de control se obtiene de la ecuación (a10) como
χp =
1
le
 ∂ w 
 ∂w  
 
 −

 ∂x  i +1  ∂x  i 
(a.17)
se tiene que destacar que en este caso que le = lp . Utilizando la teoría de la
 ∂w 
 ∂w 
distribuciones, los valores de   y de   a través de los contornos se calculan
 ∂x  i
 ∂x i +1
como el valor promedio
e
e +1
1  ∂ w 
 ∂w 
 ∂w   1  wi +1 − wi wi + 2 − wi +1 
+

 = 
 +
 = 
e

l e +1
 ∂x  i +1 2  ∂x  i +1  ∂x  i +1  2  l

e −1
e
1   ∂w 
 ∂w   1  wi − wi −1 wi +1 − wi 
 ∂w 
+
 =
 +

 = 
e −1

le
 ∂x  i  2  l
 ∂x  i 2  ∂x  i

(a.18)
(a.19)
Analisis de placas y lamina
140
Sustituyendo en la ecuación (a.17) las expresiones anteriores
χp =
1
2l l l
e −1 e e +1
[l
e +1
,−l e +1 ,−l e −1 , l e −1
 wi −1 
w 
 i 

 = B pw p
w
1
i
+


 wi + 2 
]
(a.20)
se obtiene la matriz de curvatura B p del dominio como
1
2l l l
Bp =
e −1 e e +1
[l
e +1
,−l e +1 ,−l e −1 , l e −1
]
(a.21)
El vector w p contiene las flechas de todos los nodos que contribuyen en el
dominio del elemento de control.
w p = [wi −1 , wi , wi +1 , wi + 2 ]
T
(a.22)
Sustituyendo la ecuación (a.21) en la (a.16) se obtiene la matriz de rigidez del
dominio
[ ]
Kp = Bp
T
DB p l p
(a.23)
Como el elemento de control coincide con el elemento de viga , en este caso
K p = K (e ) .
A1.3.1
Caso general para el planteamiento Cell Vertex – elemento CVB
En este caso el dominio de control general se presenta en la Figura A3. La
curvatura asociada al dominio se obtiene de la ecuación (a.24) como
χp =
1
le
 ∂w 
 ∂w  
 
 −

 ∂x  R  ∂x  L 
(a.24)
La curvatura constante χ i asignada al dominio unido al nodo i se escribe como
χi =
2  wi +1 − wi wi − wi −1 
−
e −1
l + l e  l e
l e−1 
(a.25)
Analisis de placas y lamina
141
que se puede rescribir de la forma siguiente
 wi −1 



w
2
 i 
χ i = e e−1 e−1 e l e ,− (l e + l e−1 ), l e−1 ,0 
 = Biw i
l l (l + l )
 wi +1 


 wi + 2 
[
]
(a.26)
donde la matriz de curvatura del dominio B i es
[
2
B i = e e −1 e−1 e l e ,−(l e + l e −1 ), l e−1 ,0
l l (l + l )
]
(a.27)
Se tiene que hacer notar que en este esquema, el vector wi contiene las contribuciones
de los nodos asociados al dominio de control i. La curvatura χ i +1 asociada al nodo i+1
es
(a.28)
w −w 
2
w − w
χ i = e e +1  i + 2 e+1 i +1 − i +1 e i 
l +l 
l
l

y de la ecuación (a.28)
χ i +1
 wi −1 



w
i 
2

e+1
e
e +1
e 
l
l
l
l
0
,
,
(
),
= e e +1 e
−
+
 = B i +1w i

e +1
l l (l + l )
w
 i +1 


 wi + 2 
[
]
(a.29)
donde la matriz de curvatura del dominio B i +1 es
B i +1 =
e e +1
ll
[
2
0, l e+1 ,−(l e + l e +1 ), l e
e
e +1
(l + l )
]
(a.30)
Analisis de placas y lamina
142
El trabajo virutal interno sobre un elemento puede ser obtenido con la suma de las
contribuciones de los dos dominios de control involucrados
δ u ( e ) = ∫ δχ i EIχ i dx + ∫ δχ i +1 EIχ i +1dx
li
2
(a.31)
li +1
2
Sustituyendo las ecuaciones (a.26) y (a.29) en la ecuación (a.31) da la matriz de
rigidez del elemento como
K ( e ) = K 1p + K 2p
(a.32)
Es importante destacar que en el “Cell Centered scheme” el dominio de control
coincide con los elementos K p = K ( e ) , en cambio en el “Cell Vertex scheme” no es así.
Por este motivo en su aplicación a Banda Finita se ha escogido el primer caso con el
elemento CCB. No obstante, de igual forma, se puede utilizar y aplicar en banda finita
el elemento CVB, en el que se predice un funcionamiento similar con resultados muy
parecidos.
La aplicación de las condiciones de contorno produce la aparición de dominios de
control distintos y particulares de cada situación en los dos planteamientos de elementos
libres de rotación. Se recomienda la lectura la Monografía de J.Jovicevic y E.Oñate [8]
para consultar los elementos requeridos en las restricciones y si se quiere entrar en más
detalle en su formulación.