El espacio euclidiano

Análisis de Varias Variables
Ricardo A. Sáenz
Índice general
Parte 1. Preliminares
Capı́tulo 1.
El espacio euclidiano
3
§1.
Definiciones básicas
3
Bestiario
9
§3.
Topologı́a de Rn
10
Rn
15
§5.
Conjuntos Compactos
§2.
§4.
Sucesiones en
Ejercicios
Capı́tulo 2.
§1.
18
22
Funciones de varias variables
25
Definiciones básicas
25
§2.
Continuidad
26
§3.
Funciones lineales
29
§4.
Continuidad uniforme
31
§5.
Oscilación
33
Ejercicios
35
Parte 2. Cálculo en el espacio Euclideano
Capı́tulo 3.
Diferenciabilidad
39
§1.
Derivada
39
§2.
Derivadas parciales
47
§3.
Teorema de la función inversa
51
§4.
Teorema de la función implı́cita
55
iii
Índice general
iv
§5. Derivadas de orden mayor
Ejercicios
57
62
Capı́tulo 4. Convexidad
§1. Conjuntos convexos
§2. Combinaciones convexas y simplejos
65
65
68
Capı́tulo 5. Integración
§1. La integral de Riemann
79
79
§3. Funciones convexas
§4. Puntos y valores extremos
Ejercicios
§2.
§3.
§4.
Funciones Riemann-integrables
Medida de Jordan
El teorema de Fubini
Ejercicios
Capı́tulo 6.
§1.
§2.
§3.
70
75
77
85
93
96
100
Cambio de variable y aplicaciones
103
Particiones de la unidad
La integral de Riemann en conjuntos abiertos
Cambio de variable
103
108
116
§4. El teorema de Sard
§5. El teorema de punto fijo de Brouwer
Ejercicios
122
125
127
Parte 3. Análisis vectorial
Capı́tulo 7.
§1.
§2.
Formas diferenciales
133
Campos vectoriales
Formas diferenciales en R3
133
135
§3. Algebra exterior
§4. Cambio de coordenadas
Ejercicios
Capı́tulo 8. El diferencial exterior
§1. El diferencial exterior
§2. Campos vectoriales y formas
§3.
§4.
El lema de Poincaré
Conjuntos simplemente conexos
142
150
154
155
155
158
160
164
Índice general
v
Ejercicios
Capı́tulo 9.
§1.
168
Integración de formas diferenciales
Complejos en
Rn
171
171
§2.
Integrales de lı́nea
178
Integración de formas diferenciales
185
§4.
Teorema de Stokes
186
§3.
Ejercicios
192
Parte 4. Variedades diferenciables
Capı́tulo 10.
Variedades diferenciables
197
Rn
197
§1.
Variedades diferenciables en
Espacio tangente
202
§3.
Variedades con frontera
205
§2.
Ejercicios
Capı́tulo 11.
208
Orientación
211
§1.
Campos vectoriales y formas diferenciales
211
Orientación
214
§3.
Orientación inducida en ∂M
218
§2.
Ejercicios
Capı́tulo 12.
221
El teorema de Stokes
223
§1.
Integración de formas en variedades
223
El teorema de Stokes
227
§3.
Volumen
229
Los teoremas clásicos
233
§2.
§4.
Ejercicios
235
Parte 1
Preliminares
Capı́tulo 1
El espacio euclidiano
1.
Definiciones básicas
El espacio euclidiano, denotado por Rn , está definido por el conjunto
(1.1)
Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R}.
Es decir, Rn es el producto cartesiano de n copias de R, el conjunto de los
números reales. Recordemos que R es un campo ordenado completo, es decir,
todo conjunto no vacı́o acotado por arriba tiene una mı́nima cota superior
(supremo). Una manera equivalente de enunciar la completitud de R es el
hecho de que toda sucesión de Cauchy en R converge. Hablaremos más sobre
sucesiones de Cauchy, particularmente en Rn , más adelante.
Notemos que, en la ecuación (1.1), las coordenadas de cada vector en
Rn se denotan con superı́ndices, en lugar de subı́ndices: x1 , x2 , etc. Esto nos
simplificará la notación más adelante.
Rn es un espacio vectorial con suma
x + y = (x1 + y 1 , x2 + y 2 , . . . , xn + y n )
y multiplicación escalar
αx = (αx1 , αx2 , . . . , αxn ).
Además, posee el producto interno
x · y = x1 y 1 + x2 y 2 + . . . + xn y n =
n
X
xi y i ,
i=1
3
4
1. El espacio euclidiano
también denominado producto punto. Este, a su vez, induce la norma
v
u n
uX
√
|x| = x · x = t (xi )2 ,
i=1
llamada la norma euclideana.
Proposición 1.1.
1. |x| = 0 si y sólo si x = 0;
2. |αx| = |α||x| para todo α ∈ R, x ∈ Rn ;
3. Si x, y ∈ Rn ,
(1.2)
4. Si x, y ∈
(1.3)
Rn ,
|x · y| ≤ |x||y|;
|x + y| ≤ |x| + |y|.
La desigualdad (1.2) es llamada la desigualdad de Cauchy-Schwarz, mientras que la (1.3) como la desigualdad del triángulo.
Demostración. La demostración de las propiedades (1) y (2) se dejan como
ejercicio. Para (3), si x = 0, entonces ambos lados de la ecuación (1.2) son
cero. Supongamos entonces que x 6= 0. Sea w el vector
y·x
x.
w=
|x|2
El vector w es llamado la proyección de y sobre x (véase la figura 1).
Entonces,
y
w
x
Figura 1. Proyección de y en x
y·x y·x 0 ≤ |y − w|2 = (y − w) · (y − w) = y −
x
·
y
−
x
|x|2
|x|2
(y · x)2
(y · x)2 (y · x)2 2
2
+
|x|
=
|y|
−
,
= |y|2 − 2
|x|2
|x|4
|x|2
de lo cual la ecuación (1.2) se sigue inmediatamente.
5
1. Definiciones básicas
Para (4),
|x + y|2 = (x + y) · (x + y) = |x|2 + 2x · y + |y|2 ≤ |x|2 + 2|x||y| + |y|2 ,
donde la última desigualdad se sigue por la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Por lo tanto, tenemos
|x + y|2 ≤ (|x| + |y|)2 .
Observación 1.2. De la demostración de la proposición 1.1, podemos observar que tenemos igualdad en (1.2) si y solo si uno de los vectores x o y es
múltiplo escalar del otro. De hecho, si y es múltiplo escalar de x, entonces
y = w, su proyección sobre x.
Similarmente, tenemos igualdad en (1.3) si y solo si x·y = |x||y|, es decir,
cuando uno de los vectores x o y es múltiplo escalar del otro y x · y > 0.
Geométricamente, y se encuentra en la recta generada por x, y en la misma
dirección.
Decimos que los vectores u1 , u2 , . . . , um ∈ Rn generan Rn si para todo
x ∈ Rn existen α1 , . . . , αm tales que
x = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αm um .
Es decir, todo x ∈ Rn es una combinación lineal de los vectores u1 , u2 ,
. . . , um .
Decimos que u1 , u2 , . . . , um son linealmente independientes si
α1 u1 + α2 u2 + . . . + αm um = 0
implica que
α1 = α2 = . . . = αm = 0.
Si u1 , u2 , . . . , um generan Rn y son linealmente independientes, entonces decimos que forman una base. Enunciaremos el siguiente teorema, cuya demostración se puede encontrar en cualquier libro de álgebra lineal.
Teorema 1.3. Si u1 , u2 , . . . , um forman una base de Rn , entonces m = n.
Es preciso observar que las bases no son únicas; además, si u1 , . . . , um forman una base de Rn , entonces, para cada x ∈ Rn , existen únicos α1 , . . . , αn
tales que
x = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un .
Ejemplo 1.4. La base estándar de Rn está formada por los vectores e1 , e2 ,
. . . , en , donde
i-ésimo
ei = (0, 0, . . . ,
z}|{
1 , . . . , 0).
6
1. El espacio euclidiano
De hecho, si x ∈ Rn ,
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en .
En otras palabras, cada vector de Rn ya se encuentra representado en la
base estándar.
Ejemplo 1.5. En R2 , los vectores u1 = (1, 1), u2 = (1, −1) forman una
base, ya que
x1 + x2
x1 − x2
(x1 , x2 ) =
u1 +
u2
2
2
y son linealmente independientes.
Decimos que los vectores x, y ∈ Rn son ortogonales si x · y = 0. Por
ejemplo, como ei · ej = 0 si i 6= j, entonces los vectores e1 , . . . , en de la base
estándar son ortogonales entre sı́.
Decimos que u1 , u2 , . . . , un forman una base ortonormal (o.n.) si los vectores son ortogonales entre sı́ y unitarios, es decir, |ui | = 1 para todo i.
Por ejemplo, la base estándar e1 , . . . , en es una base ortonormal.
Los vectores u1 = (1, 1) y u2 = (1, −1) son ortogonales, pero no unitarios.
Sin embargo, se pueden “normalizar”dividiendo cada vector entre su norma:
1 1 1
u1
u2
1 v1 =
v2 =
= √ ,√ ,
= √ , −√ .
|u1 |
|u2 |
2 2
2
2
Proposición 1.6. Sea u1 , u2 , . . . , un una base ortonormal de Rn .
1. Si x ∈ Rn , x = (x · u1 )u1 + . . . + (x · un )un .
pP
2
2. Si x ∈ Rn , |x| =
i (x · ui ) .
3. Si x, y ∈ Rn ,
x·y =
n
X
(x · ui )(y · ui ).
i=1
1. Si x = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un , entonces
Demostración.
x · ui = (α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un ) · ui = αi ui · ui = αi .
2. Del inciso anterior,
|x|2 = x · x =
=
n
X
n
n
X
X
(x · ui )ui
(x · ui )ui ·
i=1
i=1
n
X
(x · ui )(x · uj )ui · uj =
i,j=1
i=1
(x · ui )2 .
7
1. Definiciones básicas
3. Similarmente al inciso anterior,
x·y =
=
n
X
i=1
n
X
n
X
(y · ui )ui
(x · ui )ui ·
i=1
n
X
(x · ui )(y · ui ).
(x · ui )(y · uj )ui · uj =
i=1
i,j=1
El espacio generado por los vectores v1 , v2 , . . . , vr es el subespacio de Rn
formado por todas las combinaciones lineales de v1 , v2 , . . . , vr , y se denota
por gen{v1 , v2 , . . . , vr }.
ProyV x es la proyección ortogonal de x sobre el subespacio V , es decir,
el único vector y ∈ V tal que x − y es ortogonal a todo vector en V .
Proposición 1.7. Si V es el subespacio de Rn generado por los vectores
ortonormales v1 , v2 , . . . , vr , entonces
ProyV x =
r
X
(x · vi )vi .
i=1
Demostración. La misma demostración de la proposición 1.6 muestra que,
si z ∈ V , entonces
r
X
(z · vi )vi ,
z=
i=1
si v1 , v2 , . . . , vr son ortonormales.
r
X
(x · vi )vi , entonces y ∈ V y, para z ∈ V ,
Por lo tanto, si y =
i=1
r
r
X
X
(z · vi )vi
(x · vi )vi ·
(x − y) · z = x −
i=1
i=1
r
r
X
X
(x · vi )(z · vi ) = 0.
(z · vi )vi −
=x·
i=1
i=1
El siguiente teorema nos garantiza que, dado un espacio generado por
vectores v1 , v2 , . . . , vr , siempre podemos escoger en él una base ortonormal.
Su demostración es constructiva, y al algoritmo resultante se le conoce como
el proceso de Gram-Schmidt.
8
1. El espacio euclidiano
Teorema 1.8 (Proceso de Gram-Schmidt). Sean v1 , v2 , . . . , vr vectores linealmente independientes en Rn . Entonces existen vectores ortonormales
u1 , u2 , . . . , ur tales que
para k = 1, . . . , r.
gen{u1 , u2 , . . . , uk } = gen{v1 , v2 , . . . , vk }
Demostración. Tomamos
u1 =
Para construir u2 , sea
v1
.
|v1 |
w2 = v2 − (v2 · u1 )u1 .
Vemos que w2 es ortogonal a u1 (figura 2), ası́ que tomamos
v2
u2
w2
u1
Figura 2. La construcción del vector w2 .
u2 =
w2
.
|w2 |
Como u1 y u2 son combinaciones lineales de v1 y v2 ,
gen{u1 , u2 } ⊂ gen{v1 , v2 }.
De manera similar, v1 y v2 son combinaciones lineales de u1 y u2 , ası́ que
gen{v1 , v2 } ⊂ gen{u1 , u2 }.
Por inducción, para construir uk+1 tomamos
wk+1 = vk+1 − Proygen{u1 ,...,uk } vk+1 .
Entonces es fácil ver que wk+1 · ui = 0, i = 1, .., k, y wk+1 6= 0 por que los vi
son linealmente independientes. Por lo que escogemos
wk+1
.
uk+1 =
|wk+1 |
Es fácil ver, como antes, que
gen{u1 , . . . , uk+1 } = gen{v1 , . . . , vk+1 }.
9
2. Bestiario
La proposición 1.6 y el proceso de Gram-schmidt implican que podrı́amos
escoger cualquier producto interno en Rn y serı́a indistinguible del producto
punto estándar, es decir, tendrı́amos la misma geometrı́a siempre y cuando
tomemos una base ortonormal respecto de dicho producto.
2.
Bestiario
En esta sección listamos los subconjuntos de Rn de uso común, como
rectas, planos, o esferas, entre otros. La notación definida aquı́ será utilizada
en el resto del texto.
2.1.
Rectas. La recta que pasa por x1 y x2 está parametrizada por
γ(t) = (1 − t)x1 + tx2 ,
t ∈ R.
Notemos que γ(0) = x1 y γ(1) = x2 . La restricción de γ a [0, 1] es el segmento
de x1 a x2 .
2.2.
Hiperplanos. Un hiperplano es un conjunto de la forma
P = {x ∈ Rn : x · x0 = c},
donde x0 ∈ Rn , x0 6= 0, y c ∈ R. El hiperplano ortogonal a n ∈ R, que pasa
por x∗ ∈ R, está dado por
{x : (x − x∗ ) · n = 0}.
Un hiperplano P divide a Rn en dos semiespacios
{x : x · x0 > c}
y
{x : x · x0 < c}.
Si x0 = en y c = 0, a estos se les llama semiespacio superior e inferior de
Rn , respectivamente.
2.3.
Esferas y Bolas. La esfera en Rn es el conjunto
Sn−1 = {x : |x| = 1},
es decir, el conjunto de vectores unitarios en Rn . La bola está dada por el
conjunto
Bn = {x : |x| ≤ 1}.
Si x0 ∈ Rn y r > 0, la esfera de radio r alrededor de x0 está dada por el
conjunto
Sr (x0 ) = {x : |x − x0 | = r} = rSn−1 + x0 ,
mientras que la bola de radio r alrededor de x0 está dada por
Br (x0 ) = {x : |x − x0 | ≤ r} = rBn + x0 .
La bola abierta de radio R alrededor de x0 es el conjunto
Br0 (x0 ) = {x : |x − x0 | < r}.
10
1. El espacio euclidiano
En la siguiente sección se aclarará la razón por la cual Br0 (x0 ) es llamada
bola abierta.
2.4. Conjuntos convexos y estrella. Decimos que A ⊂ Rn es un conjunto convexo si, para todo x, y ∈ A, el segmento de x a y está en A. Decimos
que A ⊂ Rn es un conjunto estrella si existe x0 ∈ A tal que, para x ∈ A, el
segmento de x0 a x está en A. Véase la figura 3. Más adelante (capı́tulo 4)
(b)
(a)
Figura 3. Ejemplos de un conjunto convexo (a) y un conjunto estrella (b).
estudiaremos los conjuntos convexos con más profundidad.
2.5.
Rectángulos. Un rectángulo en Rn es un conjunto de la forma
R = I1 × I2 × . . . × In ,
el producto cartesiano de n intervalos acotados Ii en R. Si cada Ii es un
intervalo abierto, entonces decimos que R es un rectángulo abierto. Si cada
Ii es cerrado, entonces decimos que R es un rectángulo cerrado.1
3.
Topologı́a de Rn
La topologı́a de un espacio permite estudiar los conceptos básicos del
análisis como convergencia (estudiada más tarde en este capı́tulo) o continuidad (estudiada en el siguiente capı́tulo). En esta sección estudiaremos las
principales propiedades topológicas del espacio euclideano.
Definición 1.9. Decimos que U ⊂ Rn es un conjunto abierto si, para cada
x ∈ U , existe ε > 0 tal que Bε0 (x) ⊂ U .
Ejemplo 1.10. Los conjuntos ∅ y Rn son abiertos. El caso de Rn es claro;
sin embargo, el hecho de que ∅ es abierto se debe a la veracidad del enunciado
“si x ∈ ∅, entonces existe ε > 0 tal que Bε0 (x) ⊂ ∅”, ya que “x ∈ ∅” es falso,
por la definición del conjunto vacı́o.
1Los rectángulos en Rn también son conocidos por los nombres cubo o hipercubo.
3. Topologı́a de Rn
11
Ejemplo 1.11. Una bola abierta es un conjunto abierto. Para mostrar esto,
consideremos la bola
Br0 (x) = {y ∈ Rn : |x − y| < r},
y tomamos y ∈ Br0 (x). Sean δ = r − |x − y| y z ∈ Bδ0 (y). Entonces, por la
desigualdad del triángulo,
|z − x| ≤ |z − y| + |y − x| < δ + |x − y| = r,
por lo que z ∈ Br0 (x) y por lo tanto Bδ0 (y) ⊂ Br0 (x).
Ejemplo 1.12. Un rectángulo abierto es un conjunto abierto: Si
R = (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) × · · · × (an , bn )
y x ∈ R, sea
ε=
1
mı́n{x1 − a1 , b1 − x1 , . . . , xn − an , bn − xn }.
2
Entonces Bε0 (x) ⊂ R.
El ejemplo anterior permite concluir la siguiente proposición, la cual
provee una definición equivalente de conjunto abierto.
Proposición 1.13. U ⊂ Rn es abierto si, y solo si, para todo x ∈ U existe
un rectángulo abierto R tal que x ∈ R y R ⊂ U .
Demostración. Sea U abierto y x ∈ U . Entonces existe ε > 0 tal que
Bε (x) ⊂ U . Sea
ε
ε
ε
ε ε ε R = x1 − √ , x1 + √ × x2 − √ , x2 + √ ×· · ·× xn − √ , xn + √ .
n
n
n
n
n
n
Entonces x ∈ R y R ⊂ Bε0 (x) ⊂ U .
Supongamos ahora que para cada x ∈ U podemos encontrar un rectángulo abierto R = (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) × . . . × (an , bn ) tal que x ∈ R y R ⊂ U .
Sea
1
ε = mı́n{x1 − a1 , b1 − x1 , . . . , xn − an , bn − xn }.
2
Entonces Br0 (x) ⊂ R ⊂ U , y U es abierto.
Definición 1.14. Sea A ⊂ Rn y x ∈ Rn . Decimos que x es un punto de
acumulación de A si, para todo r > 0, Br0 (x) ∩ A es infinito.
Observación 1.15. De manera análoga a la definición de abierto, podemos
mostrar que x es un punto de acumulación de A si, y solo si, para todo
rectángulo abierto R tal que x ∈ R, R ∩ A es infinito.
12
1. El espacio euclidiano
Si el conjunto A tiene algún punto de acumulación, entonces A, por la
definición anterior, es infinito. Además, si x es un punto de acumulación de
A, entonces no necesariamente x ∈ A. Sin embargo, si x es un punto de
acumulación de A y x ∈
/ A, entonces nos podemos “acercar” desde A a x
arbitrariamente; es decir, para todo r > 0, existe y ∈ A tal que |x − y| < r.
Proposición 1.16. Sea A ⊂ Rn y x ∈ Rn . x es un punto de acumulación
6 ∅.
de A si, y solo si, para todo r > 0, Br0 (x) ∩ A \ {x} =
Es decir, x es punto de acumulación de A si, y solo si, cada bola alrededor
de x contiene puntos de A distintos de x.
Demostración. Claramente, si x es punto de acumulación de A, Br0 (x) ∩
A \ {x} =
6 ∅ porque Br0 (x) ∩ A es infinito.
Para mostrar la inversa, suponemos que x no es punto de acumulación
de A. Entonces existe r > 0 tal que Br0 (x) ∩ A es finito. Si Br0 (x) ∩ A = {x},
entonces Br0 (x) ∩ A \ {x} = ∅. Suponemos entonces que
Br0 (x) ∩ A = {x1 , . . . , xk } =
6 {x},
y sea δ = mı́n{|xi − x| : xi 6= x}. Entonces Bδ0 (x) ∩ A \ {x} = ∅.
Desde luego, esta proposición también se puede enunciar, de manera
equivalente, con rectángulos (ejercicio 11).
Definición 1.17. Decimos que A ⊂ Rn es cerrado si contiene todos sus
puntos de acumulación.
Esta definición sugiere que un conjunto cerrado no tiene “puntos cercanos exteriores”, y de ahı́ el nombre “cerrado”. En particular, si A es cerrado
yx∈
/ A, entonces existe r > 0 tal que Br0 (x) ∩ A es finito, digamos
Br0 (x) ∩ A = {x1 , . . . , xk }.
Si tomamos δ = mı́n{|xj − x| : j = 1, . . . , k}, entonces Bδ0 (x) ∩ A es vacı́o.
Ahora veamos la relación entre conjuntos cerrados y abiertos.
Proposición 1.18. A ⊂ Rn es cerrado si, y solo si, Rn \ A es abierto.
Demostración. Supongamos que A es cerrado y x ∈ Rn \A. Como x ∈
/ A, x
0
no es punto de acumulación de A, ası́ que existe ε > 0 tal que Bε (x)∩ A = ∅.
Es decir, Bε0 (x) ⊂ Rn \ A. Ası́ que Rn \ A es abierto.
Supongamos ahora que Rn \ A es abierto y x ∈
/ A. Entonces x ∈ Rn \ A.
Como Rn \ A es abierto, existe ε > 0 tal Bε0 (x) ⊂ Rn \ A. Entonces Bε0 (x) ∩
A = ∅, por lo que x no es punto de acumulación de A. Por lo tanto, A es
cerrado.
3. Topologı́a de Rn
13
Esta proposicón nos permite definir, equivalentemente, un conjunto cerrado simplemente como el complemento de un conjunto abierto, sin hacer
referencia a los puntos de acumulación. Sin embargo, de manera inversa,
también nos ofrece una alternativa: podemos definir primero los conjuntos
cerrados a través de sus puntos de acumulación, y luego definir un conjunto
abierto como el complemento de un conjunto cerrado. Cualquiera de estas
opciones es válida para definir la topologı́a en Rn , y todas son utilizadas en
distintos textos de análisis, dependiento del gusto del autor.
Definición 1.19. Sea A ⊂ Rn . La frontera de A, fr A, es el conjunto de
x ∈ Rn tales que, para todo ε > 0,
Bε0 (x) ∩ A 6= ∅
y
Bε0 (x) ∩ (Rn \ A) 6= ∅.
Equivalentemente, x ∈ fr A si, y solo si, para todo rectángulo abierto R
que contiene a x,
R ∩ A 6= ∅
y
R ∩ (Rn \ A) 6= ∅.
Véase la figura 4.
A
AC
Figura 4. Un punto en la frontera de A.
Notemos que, si x ∈ fr A, entonces x es un punto de acumulación de A o
de Rn \ A. Más aún, si x es un punto de acumulación de A y x ∈
/ A, entonces
x ∈ fr A.
Podemos observar, además, que fr A = fr(Rn \ A).
Ejemplo 1.20. fr Rn = fr ∅ = ∅.
14
1. El espacio euclidiano
Ejemplo 1.21. La frontera de un bola es una esfera. De hecho,
fr Br (x) = fr Br0 (x) = Sr (x).
Más aún, fr Sr (x) = Sr (x).
Ejemplo 1.22. Si R = (a1 , b1 ) × . . . × (an , bn ), entonces
fr R =
{a1 } × [a2 , b2 ] × . . . × [an , bn ] ∪ {b1 } × [a2 , b2 ] × . . . × [an , bn ] ∪ . . .
∪ [a1 , b1 ] × . . . × {bn }.
Es decir, fr R es la unión de las ”caras”de R.
T
Ejemplo 1.23. Sea Q = [0, 1] Q y consideremos Q × [0, 1] ⊂ R2 . (Véase
la figura 5.) Si x ∈ [0, 1] × [0, 1] y x ∈ (a, b) × (c, d) entonces existe
1
.
0
1/3
1/2
2/3
1
Figura 5. Representación simple del conjunto A = Q × [0, 1]. Nótese
que A está formado por la unión de rectas verticales, cada una sobre un
número racional en [0, 1].
q ∈ (a, b) ∩ [0, 1] ∩ Q,
ası́ que (q, x2 ) ∈ Q × [0, 1]. Además, existe
α ∈ (a, b) ∩ [0, 1] \ Q,
ası́ que (α, x2 ) ∈ R2 \ (Q × [0, 1]). Por lo tanto
fr(Q × [0, 1]) = [0, 1] × [0, 1].
Definición 1.24. Sea A ⊂ Rn . La cerradura de A, denotada por Ā, está definida como la unión de A y sus puntos de acumulación.
La siguiente proposición establece algunas propiedades de la cerradura.
Proposición 1.25. Sea A ⊂ Rn .
1. Ā es cerrado.
2. Si E es cerrado y E ⊃ A, entonces Ā ⊂ E.
3. Si A ⊂ B entonces Ā ⊂ B̄.
4. Sucesiones en Rn
15
4. Ā = Ā.
Demostración.
1. Sea x un punto de acumulación de Ā y sea R un
rectángulo que contiene a x. Queremos mostrar que R∩A es infinito,
de tal forma que x es punto de acumulación de A y entonces x ∈ Ā.
Si no, como R ∩ Ā es infinito, podemos tomar y ∈ R ∩ (Ā \ A). Pero
entonces y es un punto de acumulación de A y, como y ∈ R, R ∩ A
es infinito, lo cual es una contradicción.
2. Si x es un punto de acumulación de A y A ⊂ E, entonces x es un
punto de acumulación de E. Como E es cerrado, x ∈ E. Pero esto
implica que Ā ⊂ E.
3. La demostración es similar a (2).
4. Por (1), Ā es cerrado, ası́ que, por (2), Ā ⊂ Ā. De (3), como A ⊂ Ā,
tenemos Ā ⊂ Ā.
La parte (2) de la proposición 1.25 implica que la cerradura del conjunto
A es el “menor” de los conjuntos cerrados que contienen a A.
Definición 1.26. Sea A ⊂ Rn . El interior de A es el conjunto
int(A) = A0 = {x ∈ A : existe ε > 0 tal que Bε0 (x) ⊂ A}.
El exterior de A está definido como el conjunto
ext(A) = {x ∈ Rn \ A : existe ε > 0 tal que Bε0 (x) ∩ A = ∅}.
Similarme a la cerradura, es posible mostrar que el interior de A es ahora
el “mayor” de los conjuntos abiertos contenidos en A (ejercicio 14). Además,
notamos que ext(A) = int(Rn \ A). La siguiente proposición es muy fácil de
demostrar (ejercicio 15).
Proposición 1.27. Sea A ⊂ Rn .
1. A0 = A \ fr A.
2. ext(A) = int(Rn \ Ā).
3. fr A = Ā ∩ (Rn \ A).
Ejemplo 1.28. Q0 = ∅ y Q̄ = R. Nótese que, en este caso, el interior es
vacı́o, aún cuando la cerradura es “grande”.
4.
Sucesiones en Rn
Una sucesión en Rn es una función f : N → Rn . Si f (k) = xk , simplemente denotamos f como (xk )∞
k=0 , o simplemente como (xk )k o (xk ), si los
16
1. El espacio euclidiano
subı́ndices y sus rangos son claros. Notemos que
xk = (x1k , x2k , . . . , xnk ),
por lo que cada una de las coordenadas de los xk definen una sucesión (xik )k
en R.
Definición 1.29. Decimos que la sucesión (xk ) converge a L ∈ Rn si, para
todo ε > 0, existe N tal que, si k ≥ N ,
|L − xk | < ε.
Si la sucesión (xk ) converge a L, escribimos xk → L. Más aún, L es único
(ejercicio 16), y lo llamamos el lı́mite de (xk ), y escribimos
L = lı́m xk .
No es muy difı́cil verificar los siguientes enunciados, cada uno caracterizando la convergencia de una sucesión:
1. La sucesión (xk ) converge a L ∈ Rn si, para todo ε > 0, existe N tal
que, para k ≥ N , xk ∈ Bε0 (L);
2. La sucesión (xk ) converge a L ∈ Rn si, para todo rectángulo abierto
R que contiene a x, existe N tal que, para k ≥ N , xk ∈ R.
Sin embargo, en la práctica, la siguiente proposición es muy útil.
Proposición 1.30. La sucesión (xk )k converge en Rn si, y solo si, cada
(xik )k converge en R.
Demostración. Suponemos que xk → L y sea ε > 0. Sea N tal que k ≥ N
implica |xk − L| < ε. Entonces, para k ≥ N ,
q
|xik − Li | ≤ (x1k − L1 )2 + . . . + (xik − Li )2 + . . . + (xnk − Ln )2 < ε.
Suponemos ahora que cada xik → Li , y sea ε > 0. Tomamos Ni tal que,
para k ≥ Ni ,
ε
|xik − Li | < √ .
n
Tomamos N = máxi Ni y L = (L1 , . . . , Ln ). Entonces, si k ≥ N ,
r
q
ε2
ε2
1
n
2
2
|xk − L| ≤ (xk − L1 ) + . . . + (xk − Ln ) <
+ ... +
= ε.
n
n
Decimos que (xk ) es una sucesión en A ⊂ Rn si xk ∈ A para todo
k. La siguiente proposición clasifica los conjuntos cerrados en términos de
sucesiones.
4. Sucesiones en Rn
17
Proposición 1.31. Un conjunto A ⊂ Rn es cerrado si, y solo si, para toda
sucesión (xk ) en A que converge a L, L ∈ A.
En otras palabras, un conjunto es cerrado si contiene sus lı́mites.
Demostración. Supongamos que A es cerrado y sea (xk ) en A una sucesión
que converge a L. Sea R un rectángulo abierto que contiene a L, y ε > 0 tal
que Bε (L) ⊂ R. Entonces, como xk → L, existe K tal que xK ∈ R. Como
xK ∈ A, hemos demostrado que R ∩ A 6= ∅. Entonces, L está en A ó es un
punto de acumulación de A. Como A es cerrado, en ambos casos L ∈ A.
Supongamos ahora que toda sucesión en A que converge tiene su lı́mite
en A. Sea x un punto de acumulación de A. Para cada k ≥ 1, sea xk ∈ A tal
que |xk − x| < 1/k. Tal xk debe existir porque B1/k (x) ∩ A 6= ∅. Entonces
xk es una sucesión en A y xk → x, por lo que x ∈ A.
Definición 1.32. Decimos que la sucesión (xk ) es acotada si existe M > 0
tal que xk ∈ BM (0) para todo k; es decir , |xk | ≤ M .
Equivalentemente, (xk ) es acotada si existe un rectángulo R tal que
xk ∈ R, para todo k. Más aún, (xk ) es acotada en Rn si, y solo si, cada (xik )
es acotada en R.
El siguiente teorema es muy importante, y es conocido como el teorema
de Bolzano-Weierstrass. Para su demostración asumiremos el teorema en la
recta real R.2
Teorema 1.33 (Bolzano-Weierstrass). Toda sucesión acotada tiene una
subsucesión que converge.
Demostración. Si (xk ) es acotada, cada (xik ) es acotada. Por el teorema de
Bolzano-Weierstrass en R, (x1k ) tiene una subsucesión que converge, digamos
(x1kl )l . Inductivamente, si
(x1kl )l , (x2kl )l , . . . , (xpkl )l
son subsucesiones convergentes de (x1k ), . . . , (xpk ), respectivamente, entonces
tomamos una subsucesión de (kl ) de tal forma que (xp+1
klm )m converge. Al
final, obtenemos subsucesiones
(x1kl )l , (x2kl )l , . . . , (xnkl )l
convergentes, por lo que (xkl ) es un subsucesión de (xk ) convergente, por la
proposicion 1.30.
El teorema de Bolzano-Weierstrass nos permite demostrar la siguiente
propiedad de los conjuntos cerrados, de la cual haremos uso más adelante.
2Véase, por ejemplo, [Gaughan].
18
1. El espacio euclidiano
Proposición 1.34. Sea A un conjunto cerrado no vacı́o y x ∈ Rn . Entonces
existe un punto y ∈ A tal que |x − y| es mı́nimo.
Demostración. Sea x ∈ Rn y definimos d : A → R por d(y) = |x − y|. Sea
r0 = ı́nf{d(y) : y ∈ A}. Entonces, para todo k ≥ 1, existe yk ∈ A tal que
r0 ≤ d(yk ) < r0 + 1/k.
La sucesión (yk ) es acotada y, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, tiene
una subsucesión que converge, digamos ykl → y. Como A es cerrado, la
proposición 1.31 implica que y ∈ A.
Además, d(y) = r0 . Para ver esto, dado ε > 0 tomamos K > 2/ε tal que
|yK − y| < ε/2. Entonces
1
ε
r0 ≤ d(y) = |x − y| ≤ |x − yK | + |yK − y| < r0 +
+ < r0 + ε.
K
2
Como ε > 0 es arbitrario, d(y) = r0 .
Si x ∈ A, entonces d(x) = 0, por lo que d toma su mı́nimo en x. Ahora
bien, como A es cerrado, si x ∈
/ A, entonces x no es un punto de acumulación
de A y existe r > 0 tal que Br0 (x) ∩ A = ∅. Entonces r0 ≥ r > 0.
Definición 1.35. Decimos que la sucesión (xk ) es una sucesión de Cauchy
si, para cada ε > 0, existe N tal que, si k, l ≥ N , entonces |xk − xl | < ε.
En otras palabras, (xk ) es de Cauchy si sus términos se acercan entre sı́,
arbitrariamente.
Si una sucesión converge, entonces es de Cauchy. Para verificarlo, suponemos que xk → L. Entonces, dado ε > 0, existe N tal que, si k ≥ N ,
|xk − L| < ε/2. Por lo tanto, si k, l ≥ N ,
ε ε
|xk − xl | ≤ |xk − L| + |L − xl | < + = ε.
2 2
De manera inversa, si (xk ) es de Cauchy, entonces converge. Esto se sigue
del teorema de Bolzano-Weierstrass (ejercicios 19-21).
5.
Conjuntos Compactos
En esta sección estudiaremos los conjuntos compactos y su relación con
sucesiones en Rn . La idea de compacidad fue descubierta por Heine en el
estudio de funciones uniformemente continuas, las cuales estudiaremos en el
siguiente capı́tulo.
Definición 1.36. Sea A ⊂ Rn . Una
S cubierta de A es una colección {Uα } de
conjuntos abiertos tales que A ⊂ α Uα .
Si {Uα } es una cubierta de A, una subcubierta
es un subconjunto de
S
{Uα }, digamos {Uαβ } ⊂ {Uα }, tal que A ⊂ β Uαβ .
19
5. Conjuntos Compactos
Decimos que A es compacto, si toda cubierta de A tiene una subcubierta
finita.
Ejemplo 1.37. ∅ es compacto.
Ejemplo 1.38. Un conjunto finito {x1 , x2 , . . . , xk } es compacto. Si {Uα } es
una cubierta de {x1 , x2 , . . . , xk }, existe, para cada i = 1, 2, .., k, αi tal que
xi ∈ Uαi . Entonces {Uα1 , Uα2 , . . . , Uαk } es una subcubierta finita.
Proposición 1.39. Si A es compacto, entonces es cerrado.
Demostración. Demostraremos que, si A no es cerrado, entonces existe
una cubierta de A que no tiene subcubiertas finitas, y por lo tanto no es
compacto.
Sea x ∈
/ A un punto de acumulación de A. Entonces, para todo ε > 0,
n
Bε (x) ∩ A 6= ∅. Consideremos los conjuntos
S Uk = Rn \ B1/k (x). Cada Uk
es abierto porque B1/k (x) es cerrado, y k Uk = R \ {x}. Como x ∈
/ A,
entonces la colección {Uk : k ≥ 1} es una cubierta para A.
Sin embargo, {Uk : k ≥ 0} no tiene subcubiertas finitas: Para cada
colección finita Uk1 , . . . , Ukp , si N = máxi ki , entonces
p
\
i=1
Uki = UN = Rn \ B1/N (x).
Como BN (x) ∩ A 6= ∅, entonces {Uk1 , . . . , Ukp } no cubre a A.
No todos los conjuntos cerrados son compactos. El espacio Rn es cerrado,
por ejemplo, pero no es compacto porque la cubierta de bolas Bk0 (0), k ≥ 1,
no tiene una subcubierta finita. Sin embargo, los subconjuntos cerrados de
conjuntos compactos sı́ lo son.
Proposición 1.40. Sean E ⊂ F ⊂ Rn . Si E es cerrado y F es compacto,
entonces E es compacto.
Demostración. Sea {Uα } una cubierta
de E. Como E es cerrado, entonces
S
Rn \ E es abierto, ası́ que {Rn \ E} {Uα } es una cubierta de F . Como F es
compacto, tiene una subcubierta finita, digamos {Rn \E, Uα1 , Uα2 , . . . , Uαk }.
Entonces {Uα1 , Uα2 , . . . , Uαk } es una subcubierta finita para E.
Definición 1.41. Decimos que un conjunto A es acotado si está contenido
en una bola BM (0), para algún M > 0.
De manera equivalente, A es acotado si existe un rectángulo R tal que
A ⊂ R.
Proposición 1.42. Si A es compacto, entonces es acotado.
20
1. El espacio euclidiano
Demostración. Al igual que en la demostración de la proposición 1.39,
mostraremos la contrapositiva. Es decir, supondremos que A no es acotado
para concluir que no es compacto.
S
Consideremos la colección {Bk0 (0) : k ≥ 1}. Como k Bk0 (0) = Rn ,
{Bk0 (0) : k ≥ 1} es una cubierta para A. Sin embargo, no tiene subcubiertas
finitas, porque
0
(0) 6⊃ A,
Bk01 (0) ∪ . . . ∪ Bk0p (0) = BN
donde N = máxi ki , porque A no es acotado.
Las proposiciones 1.39 y 1.42 implican el siguiente teorema.
Teorema 1.43. Sea A un conjunto compacto y (xk ) una sucesión en A.
Entonces (xk ) tiene una subsucesión que converge en A.
Demostración. Como A es acotado, entonces la sucesión (xk ) tiene una
subsucesión que converge, por el teorema de Bolzano-Weierstrass. Como A
es cerrado, el lı́mite de esta subsucesión está en A.
El siguiente teorema clasifica los conjuntos cerrados en Rn , y es conocido
como el teorema de Heine-Borel.
Teorema 1.44 (Heine-Borel). A ⊂ Rn es compacto si y sólo si A es cerrado
y acotado.
Demostración. Ya hemos demostrado que todo conjunto compacto es cerrado y acotado (proposiciones 1.39 y 1.42).
Para la inversa, por la proposición 1.40, es suficiente con demostrar que
un rectángulo cerrado es compacto, y lo haremos por contradicción.
Sea R = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] un rectángulo cerrado en Rn , y {Uα } una
cubierta para R que no tiene subcubiertas finitas.
Observemos que R es la unión de 2n rectángulos cerrados I1 × · · · × In ,
a j + bj
donde cada Ij es [aj , cj ] o [cj , bj ], cj =
, el punto medio del intervalo
2
[aj , bj ]. Entonces, para al menos uno de esos rectángulos, digamos R1 , {Uα }
no tiene subcubiertas finitas para R1 .
Continuamos de esta forma para obtener una sucesión R1 , R2 , . . . de
rectángulos cerrados tales que
1. {Uα } no tiene subcubiertas finitas para Rk ;
2. Rk+1 ⊂ Rk ; y
3. si Rk = I1 × · · · × In , la longitud de cada intervalo Ij es
bj − aj
.
2k
21
5. Conjuntos Compactos
Tomamos xk ∈ Rk . Entonces cada sucesión (xjk ) satisface que, para
k, l ≥ N ,
|xjk − xjl | ≤
bj − a j
.
2N
Entonces cada (xjk ) es de Cauchy, y por lo tanto (xk ) es de Cauchy y converge
(ejercicios 18-21). Digamos xk → x.
Como R es cerrado, x ∈ R, y existe α0 tal que x ∈ Uα0 . Pero Uα0 es
abierto, por lo que existe un rectángulo abierto S tal que x ∈ S y S ⊂ Uα0 .
Si S = (p1 , q1 ) × · · · × (pn , qn ), sea
δ = mı́n {xj − pj , qj − xj },
1≤j≤n
bj − a j
δ
y sea K tal que
< para todo j = 1, . . . , n. Como RK es cerrado,
N
2
2
x ∈ RK , y entonces RK ⊂ S. Pero ası́, RK ⊂ Uα0 , lo cual contradice el
hecho que {Uα } no tiene subcubiertas finitas para RK .
Por lo tanto, todo rectángulo cerrado es compacto, como querı́amos verificar.
Ejemplo 1.45. La bola Bn y la esfera Sn−1 son conjuntos cerrados y acotados en Rn . Por el teorema de Heine-Borel, son compactos.
El teorema de Heine-Borel también implica la inversa del teorema 1.43.
Corolario 1.46. Si A es un conjunto tal que toda sucesión en A tiene una
subsucesión que converge en A, entonces A es compacto.
Demostración. Mostraremos que, si A es un conjunto que no es cerrado
o no es acotado, entonces tiene una sucesión sin subsucesiones convergentes
en A. De hecho, por la proposición 1.31, si no es cerrado entonces existe una
sucesión en A con lı́mite fuera de A.
Si A no es acotado, entonces existe una sucesión (xk ) en A tal que,
digamos, |xk | > k. Entonces (xk ) no tiene subsucesiones convergentes.
Por lo tanto, si A es un conjunto tal que toda sucesión en A tiene una
subsucesión que converge en A, entonces A es cerrado y acotado. Por el
teorema de Heine-Borel, A es compacto.
22
1. El espacio euclidiano
Ejercicios
1. Muestra las primeras dos partes de la proposición 1.1.
2. Muestra la desigualdad del triángulo inversa: Si x, y ∈ Rn ,
|x| − |y| ≤ |x − y|.
3. Demuestra la identidad del palalelogramo: Si x, y ∈ Rn ,
1
|x|2 + |y|2 = |x + y|2 + |x − y|2 .
2
Explica qué tiene que ver esta identidad con un paralelogramo.
4. Sea V un subespacio de Rn y x ∈ Rn . Si y1 , y2 ∈ V son tales que
x − y1 ⊥ z
y
x − y2 ⊥ z
para todo z ∈ V , muestra que y1 = y2 . (Sugerencia: Calcula |y1 − y2 |.)
5. Muestra que, si x1 , x2 ∈ Rn , el conjunto
es un hiperplano.
{x ∈ Rn : |x − x1 | = |x − x2 |}
6. Muestra que la intersección de dos rectángulos en Rn es vacı́a o es otro
rectángulo.
7. Muestra que U ∈ Rn es abierto si, y solo si, para todo x ∈ U existe ε > 0
tal que Bε (x) ⊂ U . En otras palabras, podemos definir a los conjuntos
abiertos en términos de bolas cerradas.
8. Muestra que un semiespacio es abierto.
n
9. Muestra que si {U
S α } es una colección de conjuntos abiertos en R , entonces la unión α Uα es un conjunto abierto.
10. Muestra queTsi U1 , U2 , . . . , Uk son conjuntos abiertos en Rn , entonces la
intersección ki=1 Ui es un conjunto abierto.
11. Muestra que x es punto de acumulación de A si, y solo si, para todo
rectángulo abierto R que contiene a x, R ∩ A \ {x} =
6 ∅.
12. Muestra la tercera parte de la proposición 1.25.
13. Muestra que, si x ∈ (fr A) \ A, entonces x es un punto de acumulación
de A.
14. Sea A ∈ Rn y U ⊂ A abierto. Muestra que U ⊂ int A.
15. Demuestra la proposición 1.27.
16. Sea (xk ) una sucesión en Rn tal que xk → L y xk → M . Muestra que
L = M.
17. Muestra que, si (xk ) converge, entonces es acotada.
Ejercicios
23
18. Muestra que la sucesión (xk ) es de Cauchy en Rn si y solo si cada sucesión
(xik ) es de Cauchy en R.
19. Si (xk ) es una sucesión de Cauchy, entonces es acotada.
20. Sea (xk ) una sucesión de Cauchy tal que una subsucesión converge,
digamos xkl → L. Muestra que xk → L.
21. Concluye, de los problemas anteriores, que toda sucesión de Cauchy en
Rn converge. (Utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass.)
22. Muestra que todo conjunto infinito y acotado en Rn tiene un punto de
acumulación.
1 3 23. Considera, en R, la cubierta {
: n = 1, 2, . . .} del conjunto
,
2n 2n
o
n 1 1
1, , , . . . . Muestra que esta cubierta no tiene subcubiertas finitas.
2 3
24. Considera, en Rn , la cubierta {An }n ,
1
3
An = {x ∈ Rn :
< |x| <
},
2n
2n
para la bola punteada B1∗ (x) = {x : 0 < |x| ≤ 1}. Muestra que esta
cubierta no tiene subcubiertas finitas.