Reflectometría óptica en el dominio del tiempo

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
PREPARADO POR:
M.Sc. LUIS DIEGO MARÍN NARANJO
IE-1020 Temas Especiales 1 Circuitos integrados ópticos
Capítulo 1 Naturaleza de onda de luz
1.1 1
1 Naturaleza de onda de luz
1.1 Onda electromagnética plana en un medio homogéneo
La naturaleza de onda de la luz, al margen de su comportamiento fotónico, es bien reconocida por
fenómenos como interferencia y difracción.
Se puede considerar a luz como una onda electromagnética (EM), con campo eléctrico Ex y campo
magnético By variantes en el tiempo, que se propagan por el espacio de manera que están siempre
mutuamente perpendiculares mutuamente y a la dirección de propagación z, figura 1.1.
Dirección de propagación
Figura 1.1 Una onda electromagnética viajera en un medio homogéneo e isotrópico tiene campos eléctrico y
magnético perpendiculares a la dirección de propagación z. Esta es instantánea en un tiempo dado de una
onda EM senoidal armónica. Un tiempo t después un punto de la onda, como el máximo del campo, se
habrá movido una distancia ct en la dirección z.
La onda viajera más simple es la onda senoidal con propagación a lo largo del eje z, dada por:
Ex = E0 cos (t – kz + 0)
(1.1.1)
Ex es el campo eléctrico en la posición z en el tiempo t, k es la constante de propagación (k = 2/),  es la
longitud de onda,  es la frecuencia angular, E0 es la amplitud de la onda y 0 es la constante de fase,
considerados a t = 0 y z = 0. Ex puede o no ser cero dependiendo del origen. El argumento (t – kz + 0)
se denomina la fase de la onda (). La ecuación (1.1.1) describe una onda plana monocromática de
extensión infinita, que viaja en la dirección z positiva según se muestra en la figura 1.2.
E y B tienen fases constantes en este
plano xy (frente de onda)
Dirección de propagación
Figura 1.2 Una onda EM plana viajera a lo largo de z tiene el mismo Ex (o By) en cualquier punto en un
plano xy. Todos los vectores de campo eléctrico en el plano xy están en fase. Los planos xy tiene extensión
infinita en la dirección xy
En cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación (a lo largo de z), la fase de la onda, de
acuerdo a la ecuación (1.1.1) es constante, lo cual significa que el campo en este plano es también constante.
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Capítulo 1 Naturaleza de onda de luz
1.1 2
Una superficie sobre la cual una onda es constante en un instante dado, se denomina como un frente de
onda. Un frente de onda de una onda plana es obviamente un plano infinito perpendicular a la dirección de
propagación mostrada en la figura 1.2.
Se sabe del electromagnetismo que los campos magnéticos variantes con el tiempo, provocan campos
eléctricos variantes con el tiempo (Ley de Faraday) y viceversa. Un campo eléctrico variante con el
tiempo, establece un campo magnético variante con el tiempo con la misma frecuencia.
De acuerdo a los principios electromagnéticos, un campo eléctrico viajero Ex estaría siempre acompañado
de un campo magnético viajero By, de acuerdo a la figura 1.1, con la misma frecuencia y constante de
propagación, pero las direcciones de los dos campos son ortogonales.
Así, hay una ecuación de onda viajera similar para el componente de campo magnético By. Generalmente
se describe la interacción de una onda de luz con materia no conductora (  = 0), a través del componente de
campo eléctrico Ex en vez de By, dado que el campo eléctrico desplaza los electrones en las moléculas o
iones en el cristal, y por eso da origen a la polarización de la materia.
Sin embargo, los dos campos están enlazados como en la figura 1.1, y existe una relación muy cercana entre
estos. El campo óptico se refiere al campo eléctrico Ex.
Se puede también representar una onda viajera usando la notación exponencial, ya que cos  = Re [exp
(j)]. Se debe tomar la parte real de cualquier resultado complejo en cada cálculo. La ecuación (1.1.1) se
escribe como:
Ex (z, t) = Re [E0 exp (j) expj (t – kz)]
Ex (z, t) = Re [Ec expj (t – kz)]
(1.1.2)
Donde Ec = E0 [E0 exp (j)] es un número complejo que representa la amplitud de la onda e incluye
información de la constante de fase 0.
Se indica la dirección de propagación con el vector k, llamado vector de onda o de propagación, cuya
magnitud es la constante de propagación (k = 2/). Es claro que k es perpendicular a los planos de fase
constante.
Considerar una onda EM que se propaga a lo largo de una dirección arbitraria k, según la figura 1.3.
Dirección de propagación
Figura 1.3 Onda EM plana viajera a lo largo de dirección k
El campo eléctrico E(r, t) en un punto r arbitrario es dado por:
Ex (r, t) = E0 cos (t – k  r + 0)
(1.1.3)
Como el producto k  r está a lo largo de la dirección de propagación, es igual a kz como se indica en la
figura 1.3. Se puede mostrar al dibujar un plano que contenga el punto r y sea perpendicular a k.
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Capítulo 1 Naturaleza de onda de luz
1.1 3
El producto de k y la proyección de r sobre k, indicado como r´, produce k  r = kr´. De hecho si la
propagación es lo largo de z, k  r se vuelve kz. En general, si k tiene componentes kx, ky, kz a lo largo de x,
y, z, entonces se tiene k  r = = kxx +kyy + kzz.
La relación entre tiempo y espacio para una fase dada,  por ejemplo, que corresponde a un máximo del
campo de acuerdo a (1.1), es descrita por:
 = t – kz + 0 = constante
Durante un intervalo de tiempo t, esta constante de fase (y el máximo de campo) se mueve una distancia
z. La velocidad de fase de esta onda es por eso z/t. Así la velocidad de fase c es:
dz 
(1.1.4)
c
  
t
k
Donde  es la frecuencia de la onda EM. Para una onda EM que se propaga en el vacío se considera la
velocidad de la luz en el vacío c0.
Comúnmente interesa la diferencia de fase  en un tiempo dado entre dos puntos sobre la onda, que están
separados cierta distancia. Si la onda viaja a lo largo de z con un vector de onda k, entonces la diferencia
de fase entre dos puntos separados por z es simplemente kz ya que t es el mismo en cada punto. Si esta
diferencia de fase es 0 o múltiplos de 2, entonces los dos puntos están en fase. Así la diferencia de fase
 puede ser expresada como kz o 2kz.
1.1.2 Ecuación de onda de Maxwell y ondas divergentes
Considerar la onda plana EM de la figura 1.2. Todas las superficies de fase constante son planos xy que
están perpendiculares a la dirección z. Un corte de una onda plana paralela al eje z se muestra en la figura
1.4 (a), en la cual las líneas discontinuas a ángulo recto a la dirección z son los frentes de onda.
Normalmente se muestran los frentes de onda separados por una fase de 2 o una longitud de onda
completa.
Frentes de onda (fase constante)
Frentes de onda
Frentes de onda
(a) Onda plana perfecta
(b) Onda esférica perfecta
(c) Haz divergente
Figura 1.4 Ejemplos de posibles ondas EM. (a) Onda plana perfecta. (b) Onda esférica perfecta (c) Haz
divergente
El vector normal a la superficie del frente de onda en un punto P, representa la dirección del vector de
propagación k. Los vectores de propagación en todo punto son todos paralelos y la onda plana se propaga
son divergencia de la onda: una onda plana no tiene divergencia.
La amplitud de la onda plana E0 no depende de la distancia desde un punto de referencia en el plano, y es el
mismo valor en todos los puntos en un plano perpendicular a k (o sea, independiente de x y).
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Capítulo 1 Naturaleza de onda de luz
1.1 4
Como estos planos se extienden al infinito, habría una energía infinita en el plano de la onda. Una onda
plana como en la figura 1.4 (a) es una idealización útil para análisis de muchos fenómenos de onda. En
realidad el campo eléctrico en un plano a ángulos rectos a k no se extiende al infinito, ya que el haz de luz
tiene un área de sección transversal finita y la potencia óptica es finita.
Se requeriría una fuente EM infinitamente grande con potencia óptica infinita para generar una onda plana
perfecta.
En la práctica hay muchos tipos de posibles ondas EM. Estas ondas deben obedecer la ecuación de onda
especial que describe la dependencia del campo eléctrico del tiempo y el espacio. En un medio dieléctrico
lineal e isotrópico, la permitividad relativa r es la misma en todas las direcciones y es independiente del
campo eléctrico.
El campo E en tal medio obedece la ecuación de onda EM de Maxwell:
2E 2E 2E
2E






0
0 r 0
x 2 y 2
z 2
t 2
(1.1.5)
Donde 0 es la permeabilidad relativa absoluta, 0 es la permitividad absoluta y r es la permitividad relativa
del medio. La ecuación (1.5) asume un medio isotrópico y que la conductividad sea cero. Para hallar la
dependencia del tiempo y el espacio del campo, se debe resolver la ecuación (1.5) en conjunto con las
condiciones iniciales y de frontera. Se puede mostrar fácilmente que las ondas planas en (1.1) satisfacen
(1,5). Existen muchas posibles ondas que satisfacen (1.5) que pueden por ello existir en la naturaleza.
Una onda esférica se describe por un campo viajero que emerge desde una fuente EM puntual y cuya
amplitud decae con la distancia r desde la fuente. En cualquier punto r desde la fuente, el campo es dado
por:
E
A
cos (t  kr)
r
(1.1.6)
Donde A es constante. Se puede sustituir (1.6) en (1.5) para mostrar que (1.6) es realmente una solución de
la ecuación de Maxwell (usando transformación de coordenadas cartesianas a esféricas). Un corte de una
onda esférica se muestra en la figura 1.4 (b), donde se notan los frentes de onda como esferas centradas en
la fuente puntual O. La dirección de propagación k en cualquier punto como P es determinado por la
normal al frente de onda en ese punto. Claramente los vectores k divergen al propagarse la onda, y las
superficies de fase constante se hacen más grandes.
La divergencia óptica se refiere a la separación angular de los vectores de onda en un frente de onda dado.
La onda esférica tiene 360° de divergencia en todos los planos que desde la fuente puntual.
Es aparente que las ondas planas y esféricas representan dos extremos de propagación de onda, desde
perfectamente paralela a vectores de onda completamente divergentes.
Son producidas por dos tamaños extremos de fuentes de onda EM: una fuente infinitamente grande para una
onda plana y una fuente puntal para una onda esférica. En realidad una fuente de ondas EM no puede ser ni
infinita ni puntual, sino de tamaño finito y de potencia óptica finita.
En la figura 1.4 (c) se muestra un ejemplo práctico, con un haz de luz con alguna divergencia inevitable
mientras se propaga: los frentes de onda son lentamente curveados lo hace que se esparza la onda.
Los rayos de luz de la óptica geométrica se dibujan normales a las superficies de fase constante (frentes de
onda), siguiendo las direcciones de los vectores de onda.
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Capítulo 1 Naturaleza de onda de luz
1.1 5
Los rayos en la figura 1.4 (c) divergen lentamente alejándose entre ellos. La razón para favorecer las ondas
planas en muchas explicaciones ópticas, es que a una distancia lejos de la fuente, sobre una región espacial
pequeña, los frentes de onda parecen planos, aunque sean realmente esféricos. La figura 1.4 (a) puede ser
una parte pequeña de una onda esférica gigantesca.
Muchos haces de luz como el de un láser, pueden ser descritos al asumir que son haces gaussianos. La
figura 1.5 ilustra un haz gaussiano que viaja a lo largo del eje z. El haz todavía tiene una dependencia exp
(t - kz) para describir las características de propagación, pero la amplitud varía espacialmente al alejarse
del eje del haz eje y también a lo largo del eje del haz.
Frentes de onda
2w
Cintura del haz
eje del haz
Irradiancia
86 % de la potencia
Gaussiano
Figura 1.5 (a) Frentes de onda de haz gaussiano (b) Irradiancia a través de sección transversal (c) Irradiancia
vs. Distancia radial desde el eje del haz z
Este tipo de haz se parece al de la figura 1.4 (c), diverge lentamente y es el resultado de radiación de una
fuente de extensión finita. La irradiancia de la luz (flujo de energía de radiación por unidad de área por
unidad de tiempo) que se distribuye a través de la sección transversal del haz en cualquier lugar a lo largo
del eje z, es gaussiano como se muestra en la figura 1.5 (b) y (c).
El diámetro del haz 2w en cualquier punto z se define de tal forma que el área de la sección transversal w2
en ese punto, contiene 86% de la potencia del haz. Así el diámetro del haz se incrementa conforme el haz
viaja a lo largo de z. El haz de la figura 1.5 (a) inicia en O con ancho finito 2wo donde los frentes de onda
son paralelos, y entonces el haz diverge lentamente conforme los frentes de onda se curvan durante la
propagación a lo largo de z. El ancho finito 2wo se denomina la cintura del haz y 2wo es el tamaño de la
mancha.
Lejos de la fuente, el diámetro del haz 2w incrementa linealmente con la distancia z. Este incremento
produce un ángulo 2 en O según la figura 1.5, y se denomina divergencia del haz. Entre mayor la cintura,
más angosta la divergencia. La relación entre estas es:
4λ
(1.1.7)
2θ 
π(2wo )
Se puede demostrar que un haz gaussiano es una solución de la ecuación de Maxwell cuando la divergencia
del haz es pequeña y la irradiancia decrece lentamente con la distancia z. Suponer que se refleja este haz
gaussiano sobre sí mismo (con un espejo esférico que tiene la curvatura correcta para ajustarse con el frente
de onda incidente), tal que viaje en dirección -z y converja en O; se reversa la dirección en la figura 1.5 (a).
Los frentes de onda se “enderezan” y en O se vuelven paralelos de nuevo.
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1.1 6
El haz tendría el mismo diámetro 2wo en la cintura en O. A partir de allí el haz diverge de nuevo como lo
hacía en la dirección +z, de acuerdo a la figura 1.6 (a). Cuando se trata de enfocar un haz gaussiano usando
una lente o un espejo esférico, como en la figura 1.6 (a), el haz no puede llevarse a un punto sino a una
mancha de tamaño finito 2wo. La relación en (1.7) para la divergencia del haz puede ser usada para hallar
este tamaño de mancha mínima en el enfoque del haz gaussiano.
Espejo esférico
Haz real M2  1
Haz gaussiano M2 = 1
Parámetro confocal
Figura 1.6 (a) Definiciones del haz gaussiano (b) Comparación de haz real con M2  1 con haz gaussiano M
2
= 1 y la misma cintura
A cierta distancia zo desde O, el diámetro del haz se vuelve 2 wo como se muestra en la figura 1.6 (a). La
distancia zo se denomina alcance de Rayleigh y dado por:
zo 
πwo2
(1.1.8)

El alcance de Rayleigh también se conoce como profundidad de foco. El valor 2zo se denomina el
parámetro confocal. La región a lo largo z lejos del alcance de Rayleigh, z  zo se denomina región de
campo lejano.
El ancho 2w del haz gaussiano en una posición z incrementa con z de acuerdo a:
  z 2 
2w  2wo 1    
z
  o  
1/ 2
  z  2 
 2wo 1   2  
πw
  o  
1/ 2
(1.1.9a)
Lejos del alcance de Rayleigh para z  zo en campo lejano, el ancho del haz se incrementa linealmente con
z, esto es:
z
(1.1.9b)
2 w  2 wo 
zo
El producto del radio del haz wo (mitad del ancho del haz) y la mitad del ángulo de divergencia  de (1.1.7)
es wo = /, y depende sólo de la longitud de onda y es una constante bien definida para una longitud de
onda dada. El valor wo se denomina producto de parámetros del haz.
El concepto de haz gaussiano es tan útil en fotónica, que se ha introducido una cantidad especial llamada
factor M 2, para comparar un haz láser dado con un haz gaussiano ideal.
El factor M 2 mide la desviación del haz láser real de las características gaussianas, en el cual M 2 = 1 para
una forma gaussiana ideal (teórica). Suponer que 2 r y 2wor son la divergencia y cintura de un haz láser
real, y 2 y 2wo son para un haz gaussiano ideal. El factor M 2 se define como:
w 
w 
(1.1.10)
M 2  or r  or r
 / π 
wo
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Capítulo 1 Naturaleza de onda de luz
1.1 7
De acuerdo a (1.10) M 2 es la razón del producto de parámetros del haz real al del haz gaussiano, y por eso
mide la calidad del haz láser. Para muchos láseres, M 2 es mayor que la unidad m y puede ser tan alto como
de 10 a 30 en láseres multimodo.
Para láseres de HeNe estables de modo simple, al valor es muy cercano a la unidad. Se pueden aplicar las
anteriores ecuaciones gaussianas a un haz láser real al reemplazar wo por wor/M 2. Por ejemplo el ancho a
una distancia z es:
  zM 2  2 
 
2wr  2wor 1  
2 
  πwor  
1/ 2
(1.1.11)
Lejos del alcance de Rayleigh, 2wr = M 2 2w, donde 2w es el ancho del haz gaussiano ideal en la misma
posición. Suponer que se coloca un haz gaussiano con cintura wo sobre un haz láser y se ajusta wo para que
sea el mismo que wor.
Entonces de (1.10) la divergencia del haz real es mayor en tanto que r = M 2, lo cual se muestra en la
figura 1.6 (b).
Ejemplo 1.1.1 Haz láser divergente.
Un haz laser gaussiano de HeNe a 633 nm tiene una mancha de haz de 1mm. 1. Hallar la divergencia del
haz. 2. Hallar el alcance de Rayleigh y el ancho del haz a 25 m.
Solución.
1. Con ecuación (1.1.7): 2θ 
2. Alcance de Rayleigh:


4λ
4 633 10-9 m

 8,06 10 4 rad  0,046
π(2wo )
π(1 10-3 m)
zo 
πwo2 π0,5  103 m 

 1,24 m
λ
633 10-9 m
El ancho del haz a una distancia de 25 m es:
  z 2 
2w  2wo 1    
  zo  
1/2
1/2
2

  25  

 1  10 m 1  
 
1,24

 
 


3

 0,0202 m  20,2 m