Sucesiones Infinitas y Notación de Sumatoria

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Sucesiones Infinitas
Notación de Sumatoria
Sucesiones Infinitas y
Notación de Sumatoria
Carlos A. Rivera-Morales
Precálculo 2
Rivera-Morales, Carlos A.
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Sucesiones Infinitas
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Sucesiones Infinitas
Definición 1: Una sucesión infinita es un listado ilimitado de
números, en nuestro caso números reales, considerados en un
orden especı́fico.
Definición 2: Una sucesión infinita es una función cuyo dominio
es el conjunto de los números naturales. Los valores f(1), f(2),
f(3),. . . son los términos de la sucesión. . . .
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Notación:
Se denota por a1 , a2 , a3 , . . . .
a1 − primer término de la sucesión
a2 − segundo término de la sucesión
...
an − n-ésimo término de la sucesión
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Ejemplos:
1. Sucesión de los números impares positivos: 1, 3, 5, 7, 9,. . .
2. Sucesión de los múltiplos positivos de 5: 5, 10, 15, 20,. . .
3. Sucesión de los dı́gitos del número π
4. an = 1 − 1/n
5. an = 1 − 1/n
6. cn = 3 + (−1)n
7. tn = 0,9999
8. bn = 2n/1 + n
9. an = (−1)n
10. cn = n2 /(n + 1)
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Sucesiones Recursivas
Def.: Una sucesión se define de forma recursiva cuando el
n-ésimo término depende de algunos o todos los términos
anteriores.
Ejemplos:
1. a1 = 1, an = 3(an−1 + 2)
2. Sucesi óndeFibonacci : Fn = Fn−1 + Fn−2 ; F1 = 1 y F2 = 1
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Sumas Parciales de Sucesiones
Nota: Para la sucesión a1 , a2 , a3 , . . . , las sumas parciales son:
S1 = a1 : primera suma parcial
S2 = a1 + a2 : segunda suma parcial
S3 = a1 + a2 + a3 : tercera suma parcial
...
Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an : n-ésima suma parcial
S1 , S2 , S3 , . . . , Sn : sucesión de sumas parciales
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Ejercicios:
1. Calcule las 4 primeras sumas parciales y la n-ésima suma parcial
de la sucesión representada por an = 21n .
2. Calcule las 4 primeras sumas parciales y la n-ésima suma parcial
1
de la sucesión representada por an = n1 − n+1
.
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Ejercicios:
1. Suponga que el patrón continúa y escriba una fórmula para
definir el término n-ésimo de las sucesiones siguientes:
a) 1/2, 3/4, 5/6, 7/8, . . .
b) − 2, 4, −8, 16, −32, . . .
2. Grafique cada sucesión.
a) an = 1/n
b) (−1)n+1 /n
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Ejercicios:
3. Incrementos al Salario A un vendedor recién contratado se le
prometió un salario inicial de $30 000,00, con un aumento de $2
000,00 cada año. Sea sn su salario en su n-ésimo año de empleo
a) Determine una definición no recursiva para sn .
b) Determine una definición recursiva para sn .
c) Determine el salario del vendedor en el quinto año de empleo
usando cada una de las dos definiciones anteriores.
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Ejercicios:
4. Concentración de una solución Una bióloga está tratando de
determinar la concentración de sal óptima para el crecimiento de
cierta especie de molusco. Empezó con una solución de sal que
contiene 4 g/L de sal y aumenta la concentración de sal 10 % todo
los dı́as. Sea c0 la concentración inicial de sal y cn la concentración
después de n dı́as.
a) Escriba una definición no recursiva para cn .
b) Escriba una definición recursiva para cn .
c) Calcule la concentración de sal después de 8 dı́as.
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Notación de Sumatoria
Nota: La suma de los primeros n términos de la sucesión dada por
a1 , a2 , a3 , . . . se puede denotar por
n
X
ak = a1 + a2 + a3 + . . . + an
k=1
donde k es el ı́ndice de suma o variable de la sumatoria.
La expresión anterior también se puede escribir de otras formas
equivalentes tales como:
1.
Pn
= a1 + a2 + a3 + . . . + an
2.
Pn
= a1 + a2 + a3 + . . . + an
i=1 ai
j=1 aj
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Ejemplos:
1.
P8
= 1 + 2 + 3 + . . . + 8 = 36
2.
P4
3
3.
P5
=
4.
P10
= 5 + 5 + 5 + . . . + 5 = (7)5 = 35
i=1 i
k=1 k
1
r =3 r
k=4 5
= 13 + 23 + 33 + 43 = 100
1
3
+
1
4
+
1
5
=
47
60
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Ejercicios:
Exprese cada suma en notación sigma.
1. 2+4+6+ . . . +20
2.
q
1
12
+
q
2
22
+
q
3
32
+ ... +
pn
n2
3. 1 - 2x + 3x2 − 4x 3 + 5x 4 − · · · − 100x 99
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Propiedades de las Sumas:
1.
Pn
+ bi ) =
Pn
+
Pn
2.
Pn
− bi ) =
Pn
−
Pn
3.
Pn
k=1 (ai
k=1 (ai
k=1 (cai )
k=1 ai
k=1 ai
k=1 bi
k=1 bi
P
= c( nk=1 ai )
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Ejemplos:
1.
P10
k=1 (1
+ (−1)i ) =
P10
k=1 1
+
P10
i
k=1 (−1)
= 10 + 0 = 10
P
P10
2. Dado que 10
i=1 xi = 15,
i=1 yi = 33,
entonces
P10
3
1
i=1 (2xi − 2 yi − 2 )
=
P10
=2
i=1 (2xi )
P10
i=1 xi
−
P10
1
2
P10
−
1
i=1 ( 2 yi )
i=1 yi
−
−
P10
3
i=1 2
P10
3
i=1 2
= 2(15) - (1/2)(33) - (10)(3/2) = - 3/2
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Ejercicio:
P10
1. Dado
P9 que i=1 yi = 33, y1 = 4, y10 = 2, determine:
a) i=2 (2yi − 3)
Rivera-Morales, Carlos A.
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