· · · ( · ) G M g sen d G M g sen d = − =− −

1. Dos masas puntuales de 10 kg cada una están colocadas en las posiciones dadas por las
coordenadas (5, 0) y (−5,0) aisladas en un lugar del espacio lejano. Una tercera masa de 0,1 kg se
deja en libertad y con velocidad nula en el punto A de coordenadas (0, 10). Calcula:
a. La intensidad del campo que actúa sobre la masa en la posición A
b. La velocidad de la masa de 0,1 kg cuando llega al punto B de coordenadas (0, 0).
G = 6,67·10-11 N·m2/kg2
Resolución
Sobre el punto A actúan los campos debidos a las dos masas de 10 kg, para calcular el campo total
aplicamos el principio de superposición. No me habla de unidades por tanto supongo que todo está
en el sistema internacional.
La intensidad del campo la calculamos a partir de su definición
G·M g = − 2 ur
d
Aplicar el principio de superposición sumamos las intensidades de campo debida a cada masa. La
distancia desde A a cada masa la calculo por teorema de Pitágoras
La suma de los vectores g la hacemos por componentes.
Componente X de g total será g1x + g2x
G·M
·senα
d2
G·M
g 2 x = −( − 2 ·senα )
d
g1x = −
Las componentes x de ambas intensidades son opuestas por tanto al sumarlas nos dará 0.
Componente Y de g total será g1y + g2y
G·M
·cos α
d2
G·M
= − 2 ·cos α
d
g1 y = −
g2 y
La componente y de la g total será por tanto
gy = −
2·G·M
·cos α
d2
Ahora ya podemos sustituir
Distancia desde A hasta las masas por Pitágoras es g y = 55 + 102 = 125 m
Ángulo lo saco por la tangente que es 5/10
Sustituyo y tengo que g en notación vectorial es:
−12
g = −9,54·10 u y N / kg
Velocidad en el punto B
Usando el principio de conservación de energía puedo decir que en A y en B la masa tiene la
misma energía mecánica (suma de potencial y cinética)
Punto A
Energía cinética = 0 parte del reposo
Energía mecánica es sola potencial que calculamos como suma de la energía potencial debida a
m1 y la debida a m2
E pA = −
2·G·M ·m
G·M ·m G·M ·m
−
=−
d
d
d
Punto B, en este caso la distancia desde cada masa a B es dx ( 5 m)
EmB = EcB −
G·M ·m G·M ·m
2·G·M ·m
−
=−
dx
dx
dx
Igualamos energía en A y en B y despejamos la Ec en B, e aquí obtendremos la velocidad en B
EcB =
2G·M ·m 2·G·M ·m
−
dx
d
1
2G·M ·m 2·G·M ·m
m·vB2 =
−
dx
d
2
vB = 4GM (
1 1
− )
dx d
Sustituimos valores y tenemos que VB = 1,72·10-5 m/s
2. Un satélite artificial de 500 kg de masa se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra y
da una vuelta a este planeta en 48 horas. Calcular razonadamente:
a. ¿A qué altura sobre la superficie terrestre está girando el satélite?
b. Calcula la energía mecánica que posee el satélite en esa órbita.
-11
G = 6,67·10
2
2
N·m /kg
24
MT = 6·10 Kg. RT = 6370 km
Resolución
En una órbita circular se cumple que las fuerzas centrípetas y gravitatorias son la misma
Fcp = Fgrav
v 2 G·M ·m
m =
R
R2
De dónde obtengo que la velocidad orbital debe ser
v=
G·M
R
Pero la velocidad orbital del satélite la puede obtener del periodo (48 h) y la longitud de la órbita
v=
2·π·R
T
Igualamos estas dos expresiones (ambas calculan la velocidad del satélite en la órbita) y despejo R,
el radio de la órbita
2·π·R
G·M
=
T
R
G·M
 2·π·R 
 2·π  2 G·M
R =
→
=
→

 T 
 T 
R
R
2
G·M ·T 2
R=
= 6,803·106 m
2
4·π
3
La altura la calculamos restándole el radio de la Tierra al radio orbital (recuerda que éste se mide
desde el centro de la Tierra) y tenemos que
H = 4,33·105 m
Apartado b
La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial a esta altura
m·v 2 G·M ·m
G·M ·m
Em =
−
=−
2
2·R
R
Sustituyendo la última expresión
Em = 1,57·1010 J
3. Suponiendo que la Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo una órbita circular de 3,8·108 m de
radio y con un periodo de 27 días calcula:
a.
La masa de la Tierra.
b.
La energía que se necesita para separar la Luna de la Tierra hasta llevarla a una
distancia infinita.
G = 6,67·10-11 Nm2/kg2
Masa de la Luna es 7,34·1022 Kg,
Resolución
Si la Luna sigue una órbita circular podemos iguales fuerza centrípeta y la fuerza gravitatoria con que la Tierra
atrae a la Luna. De aquí es inmediato despejar la masa terrestre.
La velocidad de la Luna la obtengo a partir de la longitud de la órbita y el período:
G·M T ·M L
v2
ML = −
R
R2
2π R
v=
T
4·π 2 ·R 3
MT =
G·T 2
Sustituimos y tenemos que
MT = 5,968·1024 Kg
Energía para sacar a la Luna del campo gravitatorio terrestre
La energía de la Luna en el límite del campo gravitatorio sería 0 (ni potencial ni cinética). Por conservación de
energía ( para conseguir energía final 0) habrá que aportarle energía a la que posee en su órbita actua
Energía aportada + Energía en la órbita = 0
Energía mecánica en la órbita como deduje en el ejercicio anterior es
Em = −
G·M ·m
2·R
Por tanto tenemos que
Eap −
G·M ·m
=0
2·R
Es decir la energía aportada es la que posee el satélite en órbita, esto se llama también trabajo de
escape para un satélite en órbita. Sustituyendo valores
Eap =
G·M ·m
= 3,8·1028 J
2·R