Observación del filtrado óptico de frecuencias espaciales M d d = −

Observación del filtrado óptico de frecuencias
espaciales
El objetivo de la práctica es diseñar y realizar montajes experimentales
de sistemas ópticos que permitan
•
•
la observación del espectro de Fourier de una imagen (diapositiva)
la manipulación de la imagen aplicando diferentes filtros ópticos y el
posterior análisis de los resultados obtenidos.
Observación del espectro de Fourier
El primer paso consiste en estudiar los sistemas ópticos que permiten
realizar ópticamente la transformada de Fourier de una imagen.
Consideremos el sistema formado por una lente delgada cuyo plano de
entrada, donde esta colocada la diapositiva, está iluminado por un haz
plano de luz, coherente y monocromático.
En la figura 2, se muestra el montaje con una lente convergente de
focal f1 situada a distancias d1 y d2 de los planos de entrada y de salida
respectivamente.
Fig.2. Esquema del montaje experimental para la observación del espectro de
Fourier de un objeto plano.
El sistema óptico se describe con la matriz M
0⎞ ⎛ 1 d1 ⎞
⎛ 1 d2 ⎞ ⎛ 1
M =⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟
⎝ 0 1 ⎠ ⎝ −1 / f1 1⎠ ⎝ 0 1 ⎠
La multiplicación de las matrices conduce a
⎛ A B⎞
M =⎜
⎟ , donde
⎝ C D⎠
A = 1−
B=
d2
f1
d1 + d 2 −
d1d 2
f1
1
f1
d
D = 1− 1
f1
C=
−
Si A=0 y entonces d2=f1, el sistema produce en el plano de salida la
transformada de Fourier de una imagen (con cierta escala y con un factor
exponencial de fase).
En este caso
A=
B=
0
f1
1
f1
d
D = 1− 1
f1
C=
−
La distancia d1 afecta al factor de fase. En particular para d1=f1 se obtiene
en el plano de salida la transformada de Fourier con una escala.
Tareas:
1. Montar el sistema para efectuar la observación el espectro de Fourier.
2. Observar los espectros de Fourier de diferentes imágenes. Analizar sus
características.
3. Diseñar otro sistema para la observación del espectro de Fourier.
OBSERVACIONES: Consulta la sección Espectro de Fourier.
Filtrado óptico
Nótese, que si el plano de salida está colocado a la distancia d2, tal
que cumple la siguiente relación d1+ d2= d1 d2/f1, el parámetro B=0 y el
sistema reproduce la imagen con una cierta escala y con un factor de fase:
A=
−
B=
0
d2
d1
1
f1
d
D= − 1
d2
C=
−
En general es posible utilizar el sistema de una lente para realizar la
operación de filtrado como se muestra en la figura Fig.2 (por ejemplo si
d1=2f1, d2=2f1).
El plano de Fourier esta situado en la focal de la lente. Tenemos que tener
en cuenta que la amplitud compleja en este plano es proporcional a la
transformada de Fourier de la imagen, con cierta escala y con el factor
exponencial de fase.
En la figura 3 se muestra otro montaje experimental, para realizar el
filtrado óptico de imágenes, que contiene dos lentes.
Fig.3. Esquema considerado para la observación del filtrado óptico.
El sistema óptico se describe con la matriz M
⎛ 1 d3 ⎞ ⎛ 1
M =⎜
⎟⎜
⎝ 0 1 ⎠ ⎝ −1 / f2
0⎞ ⎛ 1 d 2 ⎞ ⎛ 1
0⎞ ⎛ 1 d1⎞
⎟⎜
⎟
⎟⎜
⎟⎜
1⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ −1 / f1 1⎠ ⎝ 0 1 ⎠
La multiplicación de las matrices conduce a
⎛ A B⎞
M =⎜
⎟ , donde
⎝ C D⎠
d3 ( d 2 + d3 ) d 2 d3
−
+
f2
f1
f1f2
d d d − d1f2 ( d 2 + d3 ) − f1d3 ( d1 + d 2 )
B = d1 + d 2 + d3 + 1 2 3
f1f2
1 1 d
C= − − + 2
f1 f2 f1f2
d ( d + d 2 ) d1d 2
+
D = 1− 1 − 1
f1
f2
f1f2
A = 1−
Observamos, si B=0, que el sistema produce en el plano de salida la imagen
original (con cierta escala, invertida y con un posible factor exponencial de
fase). Existen diferentes variantes para conseguirlo.
1. d1=f1, d3=f2
En este caso
A=
−
B=
0
C=
−
f2
f1
1 1 d2
− +
f1 f2 f1f2
f
D= − 1
f2
Cuando el parámetro C no es cero se pone de manifiesto la existencia
de la fase cuadrática adicional. Para d2=f1+f2 (C=0) tenemos un sistema
conocido como procesador 4f.
2. d1=0, d2+d3= d2d3/f2
En este caso
d3
d2
B= 0
1 1 d
C= − − + 2
f1 f2 f1f2
d
D= − 2
d3
A=
En particular se tiene C=0 para d2=f1+ f2.
3. d3=0, d1+d2= d1d2/f1
Análogamente tenemos
d2
d1
B= 0
1 1 d
C= − − + 2
f1 f2 f1f2
d
D= − 1
d2
A=
En particular se tiene C=0 para d2=f1+ f2.
Es posible diseñar otros sistemas que produzcan autoimagen en el
plano de salida y que contengan un plano intermedio que corresponde a la
transformada de Fourier, para así situar el filtro en el plano adecuado.
Tareas:
1. Montar un sistema para realizar el filtrado óptico de una imagen.
Comprobar que el factor de escala del sistema permite observar la mayor
parte de la imagen en la cámara CCD.
2. Introducir diferentes tipos de filtros y observar los resultados del filtrado.
En particular, realizar el filtrado óptico de pasa baja y pasa alta, empleando
para ello una rendija de anchura y orientación variables.
3. Analizar las características de las imágenes modificadas (filtradas).
Bibliografía:
M. L. Calvo, T. Alieva, J. A. Rodrigo et al., Laboratorio virtual de
óptica. Guía práctica
[Contiene CD interactivo], Editorial Delta Publicaciones, Madrid, 2004.