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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Calcular los siguientes límites.
2x
a) lim
x →0
2+x −
b) lim
x →+ ⬁
(
2−x
x2 + x −
x2 − x
)
Apartado a): 1 punto
2x
lim
x →0
lim
x →0
2 +x +
(
⎡0
= ⎢
⎢⎣ 0
2−x
2x
2 +x − 2−x
)
⎤
⎥ → Indeterminación
⎥⎦
2x
= lim
(
x →0
= lim
(
2 +x −
2x
(
2+x +
2 +x +
x →0
)(
2−x
2−x
2−x
)
2+x +
)
2x
2−x
)
= lim
2x
(
2+x +
(2 + x ) − (2 − x )
x →0
=2 2
Apartado b): 1 punto
lim
(
x2 + x −
lim
(
x 2 + x − x 2 − x = lim
x →+ ⬁
x →+⬁
)
x 2 − x = ⎡⎣ⴥ − ⴥ⎤⎦ → Indeterminación
)
(
x2 + x − x2 − x
x →+⬁
= lim
( x2
x →+⬁
)(
x2 + x +
+ x) − ( x2 − x)
x +x +
2
x −x
2
x2 + x +
x2 − x
)
x2 − x
= lim
x →+⬁
=
2x
x +x +
2
x2 − x
=1
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
⎪⎧⎪−x − 2
⎪
2
Dada la función: f (x) = ⎪⎨a − 2x
⎪⎪ b
⎪⎪
⎪⎩ x
si x < −1
si −1 ≤ x ≤ 1
si x > 1
determinar los valores de a y b para que f (x) sea continua en toda la recta real.
Planteamiento correcto: 1 punto
⎧
∃ lim f( x ) → lim+ f( x ) = lim− f( x )
⎪
⎪
x → x0
x → x0
x → x0
⎪
⎪
La función f( x ) es continua en x = x0 → ⎨∃ f( x0 )
⎪
⎪
lim f( x ) = f( x0 )
⎪
⎪
⎪
⎩ x → x0
Cálculo de cada valor: 0,5 puntos
⎪⎫⎪
⎪
⎬ → −1 = a − 2 → a = 1
lim + f( x ) = a − 2 ⎪⎪
x → −1
⎪⎭
lim f( x ) = −1
x → −1−
lim f( x ) = −1⎪⎫⎪
⎪ → b = −1
⎬
lim+ f( x ) = b ⎪⎪
x →1
⎪⎭
x →1−
2−x
)
=
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Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)
3x 2 − 3x
.
1 − x2
a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f.
b) Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable.
c) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical.
Sea la función f (x) =
Apartado a): 1 punto
1 − x2 = 0 → x = ±1
⎡0 ⎤
3 x2 − 3 x
= ⎢ ⎥
lim
⎢⎣ 0 ⎥⎦
x →1 1 − x 2
Dom = − {1, −1}
⎡6
3 x2 − 3 x
= ⎢
lim
⎢⎣ 0
x →−1 1 − x 2
⎤
⎥
⎥⎦
Los puntos de discontinuidad son x = 1 y x = −1.
Apartado b): 1 punto
−3 x
3 x2 − 3 x
3
= − → x = 1 es un punto de discontinuidad evitable.
= lim
x →1 1 − x 2
x →1 1 + x
2
lim
Apartado c): 1 punto
lim f( x ) = −ⴥ
x → −1−
lim f( x ) = +ⴥ → Asíntota vertical: x = −1
x → −1+
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Sea la función f (x) =
−x 3 + 1
. Se pide:
2x 2 + 2x − 12
a) Especificar su dominio.
b) Estudiar su continuidad.
c) Calcular las asíntotas, si las hubiera.
Apartado a): 1 punto
⎧⎪ x = 2
2 x2 + 2 x − 12 = 0 → x2 + x − 6 = 0 → ⎨
⎩⎪⎪ x = −3
Dom = − {2, −3}
Apartado b): 1 punto
lim f( x ) = +ⴥ⎫⎪⎪
⎪
⎬ → f( x ) es discontinua en x = 2. Inevitable de salto infinito
lim+ f( x ) = −ⴥ⎪⎪
x →2
⎪⎭
x → 2−
lim f( x ) = +ⴥ⎫⎪⎪
⎪
⎬ → f( x ) es discontinua en x = −3. Inevitable de salto infinito
lim + f( x ) = −ⴥ⎪⎪
x → −3
⎪⎭
x → −3 −
Apartado c): 1 punto
⎧⎪ x = 2
A partir del apartado anterior, vemos que la función tiene dos asíntotas verticales: ⎨
⎩⎪⎪ x = −3
Por ser el polinomio del numerador de mayor grado no hay asíntotas horizontales.
f( x )
−x 3 + 1
1
= lim
=−
3
2
x →+⬁
x
→
+
⬁
x
2 x + 2 x − 12 x
2
3
⎡
1
−x + 1
n = lim ⎡⎣ f( x ) − mx ⎤⎦ = lim ⎢ 2
+
x →+ ⬁
x → + ⬁ ⎢ 2 x + 2 x − 12
2
⎣
m = lim
⎪⎫⎪
⎪⎪
1
1
⎪
⎬ → Asíntota oblicua: y = − x +
⎪
⎤
2
2
1⎪
⎪⎪
x⎥ =
⎥
⎪
2
⎦
⎪⎭