Teorema de Euler

Equilibrio y cinética: Funciones homogéneas
Jesús Hernández Trujillo
Agosto de 2015
Teorema de Euler/JHT
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Teorema de Euler
Función homogénea de grado m:
Teorema de Euler
Energı́a libre de Gibbs
f (λx1 , λx2 , . . . λxn ) = λm f (x1 , x2 , . . . , xn )
Derivar respecto a λ.
Regla de la cadena:
f
u1
u2
..
.
un
df
λ
ui = λxi
dλ
=
i=1
∂ui dλ
=
n
X
∂f
i=1
∂ui
xi
Por lo tanto:
n
X
∂f
i=1
Teorema de Euler/JHT
n
X
∂f dui
∂ui
xi = mλm−1 f (x1 , x2 , . . . , xn )
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Cuando λ = 1:
Teorema de Euler
Energı́a libre de Gibbs
n
X
∂f
i=1
∂xi
xi = mf (x1 , x2 , . . . , xn )
Teorema de Euler
Ejercicio:
Verifica que
y(x1 , x2 ) = ax21 + bx1 x2 + cx22
es una función homogénea y que cumple el
teorema de Euler.
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Teorema de Euler
Función homogénea de grado m en l < n variables:
Energı́a libre de Gibbs
f (λx1 , λx2 , . . . , λxl , xl+1 , . . . , xn ) = λm f (x1 , x2 , . . . , xl , xl+1 . . . , xn )
El teorema de Euler toma la forma:
l
X
∂f
i=1
∂xi
xi = mf (x1 , x2 , . . . , xn )
En termodinámica:
Funciones intensivas: m = 0
Funciones extensivas: m = 1
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Teorema de Euler
Energı́a libre de Gibbs
Ejercicios:
1.
Aplica el teorema de Euler a V = V (T, p, N1 , N2 ) para
demostrar que V = V̄1 N1 + V̄2 N2 , donde V̄1 y V̄2 son los
volúmenes molares parciales de los componentes 1 y 2,
respectivamente.
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Energı́a libre de Gibbs
Teorema de Euler
En el caso de un sistema multicomponente, la energı́a libre de Gibbs
G = G(T, p, N1 , N2 , . . . , Nm )
Energı́a libre de Gibbs
es una función homogénea de grado 1 en las variables extensivas:
G(T, p, λN1 , λN2 , . . . , λNm ) = λG(T, p, N1 , N2 , . . . , Nm )
El teorema de Euler conduce a
m X
∂G
k=1
∂Nk
Nk = 1 × G
T ,p,Nj 6=Nk
Por lo tanto:
G=
m
X
µk Nk
k
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