taller n 4 de estad´istica - RodrigoGutierrez-pmc

UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL MAULE
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
PEDAGOGÍA EN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN
TALLER N ◦4 DE ESTADÍSTICA
Integrante 1
: Victor Córdova Cornejo ([email protected])
Integrante 2
: Rodrigo Gutiérrez Aguilar ([email protected])
Carrera
: Pedagogı́a en Matemática y Computación
Profesor de Cátedra : Marcelo Rodrı́guez
Fecha
: 21/12/2011
Universidad Católica Del Maule
Facultad de Ciencias Básicas
Pedagogı́a en Matemática Y Computación
Estadı́stica I
Taller 4 - Variables Aleatorias
21 de Diciembre 2011.
Nombre Apellido
Córdova
Integrantes: Victor
Rodrigo Gutiérrez
1. El tiempo necesario (medido en horas) para reparar una pieza de equipo, en un proceso de manufactura, es una
variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad es:
f (x) = 0, 2 · e−0,2x , x > 0
a) Encuentre la función de distribución acumulada.
Desarrollo
Sea:
Z
F (x) = P (X ≤ x) =
x
0, 2e−0,2t dt
0
−0,2t
= −e
luego evaluando en t = 0 y t = x obtenemos
∴ F (x) = 1 − e−0,2x
b) Calcule la probabilidad de que el tiempo necesario para reparar una pieza de equipo sea superior a las 3
horas.
Desarrollo
P (x > 3) = 1 − F (3)
= 1 − (1 − e−0,2·3 )
= e−0,6
∴ P (x > 3) = 0, 548812
Contextualizando podemos decir que la probabilidad de que el tiempo necesario para reparar una pieza de
equipo sea superior a tres horas es aprox. 55 %
c) Calcule la probabilidad de que el tiempo necesario para reparar una pieza de equipo sea igual a 3 horas.
Desarrollo
P (X = 3) = 0
pues
Z
P (3 ≤ x ≤ 3) =
3
0, 2e−0,2x dx = 0
3
Contextualizando podemos decir que la probabilidad de que el tiempo necesario para reparar una pieza de
equipo sea de tres horas es 0 %
d ) ¿Cuál es el tiempo medio esperado para la reparación? Desarrollo
Z ∞
E(x) =
x · 0, 2e−0,2x dx
0
luego por integración por parte se tiene que:
−xe−0,2x − 5e−0,2x
evaluando, obtenemos
∴ E(x) = 5
Contextualizando podemos decir que el tiempo medio esperado para la repación es de 5 horas
e) Calcule la varianza. Desarrollo
como
µ=5
entonces
Z
V (x) =
∞
(x − 5)2 · 0, 2e−0,2x dx
0
luego integrando dos veces por parte se obtiene que:
Z ∞
(x − 5)2 · 0, 2e−0,2x dx = −(x − 5)2 · e−0,2x − 10(x − 5)e−0,2x − 50e−0,2x
0
evaluando en la expresión se tiene que :
∴ V (x) = 25
Contextualizando podemos decir que los tiempos esperados de reparación se desvı́an 25 del promedio.
2. Sea p(x) = c(1 − π)x , x = 1, 2, 3, 4, ...; 0 < π < 1.
a) Calcule c para que p(x) sea una función de probabilidad.
Desarrollo
∞
X
c(1 − π)x = 1
x=1
sea
cax = c(1 − π)x
∴
∞
X
cax
x=1
es una serie geométrica, de razón a, en nuestro caso, como a = (1 − π) y 0 < π < 1, entonces 0 < a < 1
entonces
∞
X
a
cax = c ·
1−a
x=1
luego
∞
X
c(1 − π)x = c ·
x=1
Ası́
∴c=
1−π
π
π
1−π
b) Calcula P (X < 5) cuando π = 0, 2.
Desarrollo
Si
π = 0, 2 → P (x < 5) =
4
X
0, 2
x=1
0, 8
· (0, 8)x
por desarrollo de sumatoria se obtiene
1 − (0, 8)4
luego
∴ P (x < 5) = 0, 5904
3. Suponga que los artı́culos que salen de una lı́nea de producción se clasifican como defectuosos (D) o no defectuosos (N ). Se eligen al azar tres artı́culos de la producción de un dı́a para una inspeccı́on. De la produccı́on pasada
que la proporción de artı́culos defectuosos es de 20 %.
a) Encuentre el espacio muestral asociado al experimento
Desarrollo
Ω={DDD, DDN,DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}
b) Se define la variable aleatoria X = número de artı́culos defectuosos de un total de 3 artı́culos. Identifique
el recorrido de la variable aleatoria, el número de ocurrencias de cada valor de la variable aleatoria y la
probabilidad de que ocurra cada valor que indica la variable aleatoria.
Desarrollo
Resultados Posibles (Ω)
(DDD)
(DDN) (DND) (NDD)
(DNN) (NDN) (NND)
(NNN)
Recorrio de la Variable (Rx )
3
2
1
0
Número de Ocurrencia Probabilidad (P(X=x)
1
0,008
3
0,096
3
0,384
1
0,512
c) Determine la función de probabilidad para el número de artı́culos defectuosos resultantes en la inspección.
Desarrollo
3
px (x) =
· 0, 2x · 0, 83−x
x
d ) Encuentre la esperanza y varianza.
Desarrollo
Como n=3, p=0,2 y q=0,8 se tiene que:
E(x) = 3 · 0, 2 y V (x) = 3 · 0, 2 · 0, 8
∴ E(x) = 0, 6
y
∴ V (x) = 0, 48
4. Suponga una máquina que produce un 7 % de artı́culos defectuosos y que toda la producción de esta máquina
se revisa para determinar si los artı́culos resultaron buenos (B) o defectuosos (D). El experimento concluye una
vez que se ha encontrado el primer artı́culo defectuoso. Entonces, el proceso se detiene y la máquina es ajustada.
Encuentre la función de probabilidad para la variable aleatoria X definida como el ”número de artı́culos producidos hasta que la máquina es ajustada nuevamente”.
Desarrollo
Sea P(D), la probabilidad de encontrar articulos defectuosos (“nuestro éxito”).
Sea P(B), la probabilidad de encontrar articulos no defectuosos (“nuestro fracaso”).
Luego P (D) = 0, 07 → P (B) = 0, 93, ası́ la función de probabilidad para la variable aleatoria X es
∴ px (x) = 0, 07 · 0, 93x