Problemas Capítulo 3

Problemas Capítulo 3
Problema 1. La tabla recoge los estudiantes matriculados en dos asignaturas de la titulación de
Periodismo.
Varón
Mujer
Estadística (E)
5
47
Literatura Arabe (LA)
4
14
Designemos por A el suceso el estudiante está matriculado en E y por B el estudiante está
matriculado en LA. Los sucesos V y M designan, respectivamente, el estudiante es varón y el
estudiante es mujer. Determinar el número de estudiantes en los sucesos A∪M, Ac , B∩V. Si
elegimos al azar un estudiante, ¿cuál es la probabilidad de que sea varón o esté matriculado en la
asignatura LA? ¿Son incompatibles ambos sucesos? Si el estudiante elegido está matriculado en E,
¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
Sol: {A∪M}=66, {Ac}=18, {B∩V}=4, P(B∪V)=23/70, son compatibles, P(M|A)=47/52.
Problema 2. Se lanzan al aire dos monedas bien construidas. De las siguientes afirmaciones cual, si
existe alguna, es la solución correcta a la pregunta ¿cuál es la probabilidad de que aparezcan dos
caras? Razona la respuesta.
a) Puesto que o aparecen dos caras o no aparecen dos caras la probabilidad es ½.
b) El número de caras obtenido puede ser 0, 1 o 2. La probabilidad de 2 caras es 1/3.
c) Aunque sean monedas iguales, vamos a considerar que podemos etiquetarlas como
"moneda 1" y "moneda 2". Teniendo en cuenta ese orden, los posibles resultados son CC,
C+, +C y ++. La probabilidad de dos caras, CC, ¼.
Sol: El apartado c) es el correcto
Problema 3. [Lotería Primitiva]. En la lotería primitiva cada boleto consiste en elegir seis
números del 1 al 49. El día del sorteo se obtienen los seis números ganadores más un séptimo
conocido como complementario. Obtienen el primer premio los boletos cuyos seis números
coinciden con los seis números ganadores, y obtienen el segundo premio si cinco de los números
del boleto son números ganadores, y el otro coincide con el complementario. Calcular las
probabilidades de obtener el primer o el segundo premio si jugamos un boleto de la lotería
primitiva.
Sol: P(Primer premio) = 0,7151×10-7 y P(Segundo premio) = 0,4291×10-6
Problema 4. Tres caballos A, B y C intervienen en una carrera. El caballo A tiene doble
probabilidad de ganar que el caballo B, y este último tiene doble probabilidad de ganar que C.
Calcular qué probabilidad tiene de ganar cada uno de los tres caballos.
Sol: P(A) = 4/7 , P(B) = 2/7 y P(C) = 1/7
Problema 5. Se sabe que entre los 120 estudiantes de un colegio mayor hay 60 que estudian
Biológicas (B), 50 que estudian Farmacia (F) y 20 que cursan ambos estudios simultáneamente.
Determinar la probabilidad de que uno de ellos escogido al azar estudie Biológicas o Farmacia, y la
probabilidad de que no estudie ambas simultáneamente.
Sol: P(B∪F)=3/4, P([B∩F]c)=5/6
Problema 6. De entre los 96 análisis de glucosa en sangre realizados durante un día en un
laboratorio, se observó que todos los resultados estaban comprendidos entre 50 y 350 mg/ml. En 89
de esos análisis la cantidad de glucosa no era superior a 190 mg/ml y en 21 de ellos era superior a
120 mg/ml. Determinar:
a) La probabilidad de que el resultado de uno de esos análisis esté entre 120 y 190 mg/ml.
b) La probabilidad de que el resultado de uno de esos análisis esté entre 50 y 120 mg/ml.
c) La probabilidad de que el resultado de uno de esos análisis sea mayor que 190 mg/ml.
Sol: (a) 0.1459 (b) 0.7812 (c) 0.0729
Problema 7. Se sabe que la probabilidad de que un matemático encuentre trabajo al terminar sus
estudios es 0.4, para un ingeniero en informática esa probabilidad es 0.6. Si la probabilidad de que
ambos encuentren trabajo es 0.24, calcular las probabilidades de que:
a) Sólo encuentre trabajo el informático.
b) Al menos uno de los dos encuentre trabajo.
c) Ninguno encuentre trabajo.
Sol: (a) 0.36 (b) 0.76 (c) 0.24
Problema 8. De una materia que consta de dos módulos, teórico y práctico, se sabe que el 20% de
los estudiantes presentados aprueban ambos, mientras que el 70% aprueba el módulo teórico y el
40% el práctico. Determinar la probabilidad de que un estudiante escogido al azar entre los
presentados:
a) Suspenda el teórico.
b) Apruebe el práctico si se sabe que es de los que han aprobado el teórico.
c) Apruebe el teórico si se sabe que es de los que han aprobado el práctico.
Sol: (a) 0.3 (b) 0.286 (c) 0.5
Problema 9. En una fábrica de tornillos hay cuatro máquinas trabajando en paralelo. La máquina 1
produce el 35% de los tornillos, y solo el 5% de ellos son defectuosos. Similarmente las máquinas
2, 3 y 4 producen el 30%, el 20% y el 15% del total, y sus porcentajes de tornillos defectuosos son
4%, 2% y 2% respectivamente. Calcular las probabilidades de que un tornillo elegido al azar entre
los fabricados por esas máquinas sea:
a) Defectuoso y fabricado por la máquina i, (i=1,2,3,4).
b) Defectuoso.
c) No defectuoso.
d) Fabricado por la máquina 2 y no defectuoso.
Sol: (a) 0.0175, 0.0120, 0.0040, 0.0030 (b) 0.0365 (c) 0.9635 (d) 0.2880
Problema 10. El 28% de los Republicanos, el 75% de los Demócratas y el 42% de los
independientes están a favor del candidato A. Además, el 40% de los votantes son Republicanos, el
43% Demócratas y el 17% independientes. ¿Qué proporción de los votantes están a favor del
candidato A?
Sol: 0.5059
Problema 11. En cierta población, donde la mitad son hombres y la otra mitad mujeres, el 10% son
zurdos. Si el 6% son hombres zurdos, ¿qué porcentaje hay de mujeres diestras?
Sol: 0.46
Problema 12. En cierto espacio de probabilidad hay dos sucesos A y B, cuyas probabilidades son
tales que: P(A) = 0.4, P(A∪B) = 0.7 y P(Bc) = 0.55. Calcular P(A∩B).
Sol: P(A∩B)=0.15
Problema 13. Piensa acerca de lo que significan las probabilidades condicionadas siguientes y
decide los valores que deberían tener. Entonces calcúlalas usando la definición de probabilidad
condicionada.
a) P(B|B).
b) P(B|Bc).
c) P(B|S).
d) P(B|∅).
e) P(B|A) cuando A es un subconjunto de B.
f) P(B|A) cuando B es un subconjunto de A.
Sol: (a) 1 (b) 0 (c) P(B) (d) Sin sentido (e) 1 (f ) P(B)/P(A)
Problema 14. Se extraen tres cartas de una baraja francesa (52 cartas), de una en una y sin
reemplazamiento. Hallar la probabilidad de que:
a) Todas sean rojas (i.e. son corazones o diamantes).
b) Las dos primeras sean negras y la tercera sea roja.
c) La primera y la tercera sean negras y la segunda sea roja.
d) La segunda y la tercera sean negras y la primera sea roja.
e) Exactamente una sea roja.
f) Exactamente una sea negra. ( No es necesario realizar ningún cálculo
g) si se sabe la respuesta del apartado e ).
h) La primera es un as y la segunda también.
i) La primera no es un as y la segunda sí.
j) La segunda es un as.
Sol: (a) 0.1176 (b) 0.1275 (c) 0.1275 (d) 0.1275 (e) 0.3824 (f) 0.3824 (g) 0.0045 (h) 0.0724
(i) 0.0769
Problema 15. Un test para la detección precoz del cáncer de mama tiene un 2% de falsos positivos
y un 1% de falsos negativos. Si este tipo de cáncer afecta a una mujer de cada 5,000 en una
determinada población, determinar la probabilidad de que una mujer de esa población, a quien el
test le ha dado positivo, tenga cáncer de mama.
Sol: 0.0098
Problema 16. Un sistema de detección de cerraduras de seguridad defectuosas da lugar a un 1% de
falsos positivos (cerraduras aparentemente defectuosas que resultan funcionar correctamente) y a un
3% de falsos negativos (cerraduras aparentemente bien fabricadas que resultan no funcionar bien).
Determinar la probabilidad inicial mínima de que una cerradura sea defectuosa para que, si el
sistema la señala como defectuosa, la probabilidad final de que realmente lo sea resulte mayor que
0.99.
Sol: p≥0;5051
Problema 17. Un lote de 500 contenedores para jugo de naranja congelado contiene cinco que están
defectuosos. Se toman del lote dos al azar, sin reemplazamiento.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo contenedor sea defectuoso si el primero lo fue?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos contenedores sean defectuosos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos contenedores sean aceptables?
Sol: (a) P(D2|D1)=4/499 (b) P(D2∩D1)=(5×4)/(500×499) (c) P(A2∩A1)=(495×494)/(500×499)
Problema 18. Los clientes se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios productos. En
el pasado, el 95% de los productos con mayor éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones,
el 60% de los productos con éxito moderado recibieron buenas evaluaciones, y el 10% de productos
de escaso éxito recibieron buenas evaluaciones. Además, el 40% de los productos ha tenido mucho
éxito, el 35% un éxito moderado, y el 25% una baja aceptación.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación?
b) Si un nuevo diseño obtiene una buena evaluación, ¿cuál es la probabilidad de que se convierta en
un producto de gran éxito?
c) Si un producto no obtiene una buena evaluación, ¿cuál es la probabilidad de que se convierta en
un producto de gran éxito?
Sol: (a) 0.615 (b) 0.618 (c) 0.052