MOMENTOS DE INERCIA

ESCUELA DE INGENIERIA AERONAUTICA Y DEL ESPACIO
Laboratorio de Física II
Guión de prácticas
MOMENTOS DE INERCIA
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Finalidad del experimento.
Determinar la constante de un muelle de torsión y el momento de
inercia de un cuerpo. Comprobar el teorema de Steiner. .
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Material.
Muelle de torsión, varilla o disco de masa M, dos pesas de masa
m. Varios objetos (esfera,cilindro macizo y hueco) para medir su
momento de inercia.
1.- Introducción.
El péndulo de torsión es un sistema que permite fijar un cuerpo sólido y hacerlo oscilar
alrededor de un eje fijo. Dos grupos emplearán una varilla como la de la Fig. 1a y otro el disco
de la Fig. 1b de masa M. En ambos casos, unas masas m pueden ser fijadas a lo largo de la
barra (Fig. 1a) o del diámetro del disco (Fig. 1b) por medio de un tornillo. Al desplazar de su
posición de equilibrio la barra (disco) oscilará alrededor de un eje fijo con un periodo T formando
un ángulo θ (t) con su posición de equilibrio. Despreciando los efectos de fricción, la ecuación
de momentos proyectada según el eje de giro será
d 2θ K
+ θ =0
I
dt 2
donde K es la constante del péndulo de torsión y I el momento de inercia del objeto
alrededor del eje de giro. La solución de esta ecuación es, θ (t)=θ o sen (ω o t+ϕ ) donde
ωo =√ K / I es su frecuencia natural de oscilación. La amplitud θ o y la fase ϕ se
determinan a partir de las condiciones iniciales del movimiento.
Fig. 1a: El péndulo de torsión con la barra y las Fig. 1b: El disco con las dos masas, se
dos masas. La cubeta contiene distintos observan los taladros para poner las
cuerpos para medir su momento de inercia.
masas a lo largo de su diámetro.
Si cambiamos la posición de las masas a lo largo de la barra (sobre el disco) el momento de
inercia del conjunto cambia, y por lo tanto su periodo de oscilación T =2 π /ωo . El objetivo de
la práctica es calibrar primero el muelle para obtener su constante K y luego comprobar el
teorema de Steiner.
2- Realización.
Determinar la constante del muelle de torsión.
Para determinar la constante del muelle se ajusta la varilla (disco) en el muelle de torsión
sujeta por su centro de masas y con las dos masas más pequeñas en posiciones simétricas
respecto del eje de giro. Se desplaza el sistema de su posición de equilibrio y se mide el
período de oscilación. Para ello, cronometramos el tiempo necesario para realizar 10
oscilaciones y dividimos el tiempo obtenido por diez. Se repite este proceso cinco veces
para cuatro distancias d de las masas cada vez más próximas al eje de giro.
Con los datos obtenidos podremos construir la siguiente tabla,
Distancia (d cm) Periodo (T s) Promedio T (s)
x1
Tx1
x2
Tx2
x3
Tx3
x4
Tx4
x5
Tx5
y1
Ty1
y2
Ty2
y3
Ty3
y4
Ty4
y5
Ty5
z1
Tz1
...
...
Tx
Ty
...
Para cada una de las cinco distancias de las masas (d = x, y, z, … ) mediremos cinco veces
el período y obtendremos el valor promedio (Tx ,Ty ,Tz ,...) junto con su error. A partir de estos
períodos podemos obtener la frecuencia de oscilación ω o (d )=2 π / T d y su error asociado
Δ ω que se calcula teniendo en cuenta que es una medida indirecta.
Los momentos de inercia del sistema con las dos masas adicionales viene dado por,
I (d )= I o+2 m d 2
2
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donde I o=ML /12 para la varilla y para el disco I o=MR /2. Por consiguiente,
2
representando el cuadrado de las frecuencias de oscilación ω o (d )=K / I (d ) obtenidas
2
frente a las distancias d de las masas al eje de giro, los datos deberían distribuirse a lo
largo de una recta de pendiente 2 m/ K y que corta el eje en K / I o en d =0. Conocida
la masa m, de estos dos datos puede obtenerse la constante del muelle de torsión K y el
momento de inercia de la varilla o disco I o .
Comprobación del teorema de Steiner.
El teorema de Steiner relaciona el momento de inercia de un sólido I CM de masa M
respecto de un eje que pasa por su centro de masas con su momento de inercia I P
respecto de otro eje paralelo separado una distancia d ,
I (d )=I CM +M d 2
Para comprobar el teorema de Steiner mediremos el período de oscilación de la varilla
(disco) sin ninguna masa adicional ,sujetándola al muelle de torsión en 5 posiciones
diferentes; una de ellas su CM. De nuevo cronometraremos 10 períodos y los calculo serán
los mismos que los del apartado anterior.
2
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Representando de nuevo ω o (d ) =K / I (d ) frente a d los datos deberían disponerse a
lo largo de una recta cuyo punto de corte con el eje en d =0 será K / I CM y su pendiente
M / K. Con el dato de K obtenido en el apartado anterior puede comprobarse este
teorema.
Momento de inercia de un objeto.
Finalmente, se determinará de manera experimental el momento de inercia de un objeto con
geometría más complicada. El alumno tomará un objeto de la bandeja de la Fig. 1b,
determinará su frecuencia de oscilación y comprobará (conociendo K ) si su momento de
inercia respecto del CM coincide con el valor teórico, que se encuentra en cualquier libro de
Física elemental.
3.- Resultados y gráficos.
Con estos datos obtenido en la práctica hemos de efectuar las siguientes cálculos y
gráficos.
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Representar la frecuencia de oscilación ω o en función de la distancia d de las masas
al eje de giro y determinar la constante K del muelle de torsión por el método de los mínimos
cuadrados.
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Repitiendo el procedimiento del apartado anterior comprobar el teorema de Steiner
calculando la pendiente y el punto de corte con el eje mediante el ajuste de mínimos
cuadrados.
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Comprobar si el valor teórico del momento de inercia teórico coincide con el experimental
para otro cuerpo (esfera, cilindro hueco o macizo) midiendo de nuevo el período de la
oscilación.