Inercia. Teorema de Steiner

MOMENTOS DE INERCIA Y TEOREMA DE STEINER
• Objetivo.
• Determinar la constante recuperadora de un muelle espiral.
• Determinar experimentalmente el momento de inercia de diferentes cuerpos, y comparar estos
resultados con los correspondientes valores teóricos.
• Comprobar la veracidad del teorema de Steiner.
• Fundamentación Teórica.
El muelle espiral: El muelle espiral es un muelle que, al igual que los muelles lineales, cumple la ley de
Hooke. Cuando el muelle se tensa, aparece un par de fuerzas recuperador que lo devuelve a su posición de
equilibrio. De esta forma, consideramos que el par recuperador es proporcional al ángulo girado:
Donde es la fuerza del par recuperador, R es la constante recuperadora del muelle y es el ángulo girado. Si
tenemos un sistema físico sujeto al muelle espiral, el periodo de oscilación viene dado por la expresión:
Donde L es el momento de inercia del sistema respecto al eje de rotación. Por tanto, si conocemos R, podemos
saber el momento de inercia del sistema físico con solo medir el periodo de oscilaciones.
El teorema de Steiner: Este teorema nos da el momento de inercia de un cuerpo cuando el eje de rotación
pasa paralelo a un eje de rotación que pasa por el centro de masas del cuerpo. Viene dado por la expresión
siguiente:
En donde ICM nos indica el momento de inercia cuando el eje pasa por el centro de masas, m es la masa del
cuerpo y d es la distancia entre el eje y el centro de masas del cuerpo.
Variación del momento de inercia de un cuerpo con la distancia al eje: Imagina que tenemos un sistema
formado por una barra delgada y dos masas cilíndricas movibles dispuestas en forma simétrica sobre ella de
esta forma:
El momento de inercia de este sistema es:
Donde Ib es el momento de inercia de la barra respecto al eje que pasa por su centro de masas, Ic es el
momento de inercia de las masas cilíndricas con respecto a un eje paralelo al interior que pasa por su centro de
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masas y d la distancia desde el eje hasta el centro de cada una de las masas móviles. Para este determinado
sistema, si sustituimos esta expresión en la expresión del periodo, obtenemos que:
• Desarrollo experimental y resultados obtenidos.
Ley de Hooke: En una primera parte del desarrollo experimental vamos a determinar la constante R de
nuestro muelle. Para ello ponemos primeramente la varilla colocando el eje de rotación en el centro de esta.
Mediante un dinamómetro y procurando que este aplique la fuerza ortogonalmente respecto a la varilla, y este
paralelo al plano de la mesa, aplicamos una fuerza de forma que el ángulo sea de /2, y anotamos la fuerza
que nos marca el dinamómetro. Repetimos con otros cuantos ángulos mayores, y obtenemos estos resultados:
d=0.3 ± 0.02 m (brazo de la varilla)
(grados)
0° ± 1°
90° ± 1°
180°± 1°
270° ± 1°
360° ± 1°
(radianes)
0 ± 0.02
/2 ± 0.02
± 0.02
3/2 ± 0.02
2 ± 0.02
F (Newtons)
0 ± 0.02
0.12 ± 0.02
0.22 ± 0.02
0.36 ± 0.02
0.46 ± 0.02
=Fd
0 ± 0.006
0.03 ± 0.006
0.066 ± 0.006
0.108 ± 0.007
0.138 ± 0.008
Para el cálculo del error de hemos utilizado la expresión:
Ajustando a una recta por el método de mínimos cuadrados, obtenemos la representación gráfica de = f():
Teorema de Steiner: En este apartado vamos a comprobar una forma alternativa de obtener la constante R, y
además, comprobar el teorema de Steiner. Para ello, hallaremos en momento de inercia con respecto a los ejes
definidos por los orificios del disco, y midiendo el periodo, emplearemos la ecuación siguiente:
2
Orificio
d (cm)
d2 (cm2)
t (s)
27.35
1
0.0 ± 0.1
0.0 ± 0.0
27.66
T=t/n
27.35 ± 0.01
T2
2.735 ± 0.001 7.480 ± 0.005
27.04
28.87
2
3.0 ± 0.1
9.0 ± 0.6
29.02
28.93 ± 0.01
2.893 ± 0.001 8.369 ± 0.006
28.90
31.25
3
6.0 ± 0.1
36.0 ± 1.2
31.22
31.28 ± 0.01
3.128 ± 0.001 9.784 ± 0.006
31.38
34.78
4
9.0 ± 0.1
81.0 ± 1.8
34.62
34.77 ± 0.01
3.477 ± 0.001 12.090 ± 0.007
34.91
39.21
5
12.0 ± 0.1 144.0 ± 2.4
39.12
39.08 ± 0.01
3.908 ± 0.001 15.272 ± 0.008
38.90
Donde hemos calculado los errores por las expresiones siguientes:
Y ajustando a una recta por el método de mínimos cuadrados que, en este caso la recta no pasa por el origen
de coordenadas, obtenemos que:
En donde:
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Y calculando el error de los coeficientes a y b por las expresiones siguientes
Según la expresión del principio de este apartado, deducimos que
Por tanto, R es
R=0,0333 ± 0,0007 Nm/Rad
A partir del periodo y de la constante del muelle podemos obtener los momentos de inercia respecto a los
distintos orificios del disco (Obsérvese que el primer orificio es el que pasa por el centro de masas)
I=(T2/4)R
0,00631 ± 0,00013
0,00706 ± 0,00015
0,00825 ± 0,00017
0,01020 ± 0,00021
0,01223 ± 0,00026
Hemos calculado el error de los momentos de inercia por la expresión
Del ajuste a una recta por mínimos cuadrados, también es posible obtener, a partir del coeficiente b, el valor
del disco a través de un eje que pasa por si centro de masas, de la siguiente forma:
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También podemos obtener el valor del momento de inercia respecto al centro de masas por la expresión
teórica
Podemos ver que las dos formas de obtener el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de
masas son comparables, aunque la segunda, el error cometido es mucho mayor.
Determinación de la constante elástica del muelle: Como hemos podido ver, es posible determinar la
constante elástica del muelle por dos métodos distintos, por tanto, tomaremos como constante elástica la
media aritmética de las dos constantes obtenidas:
R=0,028 ± 0,0011 Nm/Rad
Momentos de inercia de sólidos de geometría sencilla: Vamos a ver como podemos obtener el momento de
inercia de un sólido de geometría sencilla respecto a un eje que pasa por su centro de masas. Lo hallaremos de
dos formas, una teórica y otra experimental.
• La esfera maciza:
Cálculo teórico
r = 0,07 ± 0,0005 m
m = 0,8670 ± 0,0001 Kg
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Cálculo experimental
• El disco:
Cálculo teórico
r = 0,108 ± 0,0005 m
m = 0,8670 ± 0,0001 Kg
Cálculo experimental
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Nota para el profesor: Durante la realización de esta practica, debido a que nos costo entenderla, vimos que
el tiempo se nos echaba encima y decidimos saltarnos el apartado variación del momento de inercia con la
distancia al eje, ya que su fin era obtener R y ya lo habíamos obtenido por dos métodos anteriores. De esta
forma nos dio tiempo a calcular los momentos de inercia de dos de los cinco sólidos propuestos.
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