Aplicaciones de la derivada (II)

UNIVERSIDAD DEL CAUCA
Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y de la Educación
Departamento de Matemáticas
CÁLCULO I
Ejercicios
Aplicaciones de la derivada (II)
Rectas tangentes
1. Sea  la curva gráfica de la ecuación  () = 2 . Encuentre la ecuación cartesiana de la recta
tangente a  en cada uno de los puntos (−3 9), (0 0) y (1 1). Después de encontrar las ecuaciones,
haga una representación gráfica de  (), trace las tres rectas mencionadas, resalte claramente los
tres puntos mencionados y compruebe geométricamente los resultados.
2. Sea  () la función definida por
 () =
1 3
 − 22 + 3 + 1
3
Encuentre todos los puntos de la gráfica de  () en donde la recta tangente es horizontal. Haga una
representación gráfica de  () tomando, como ventana de visualización, el rectángulo
−1 ≤  ≤ 5
−2≤ ≤4
y, como unidad de escala, 2 centímetros. Resalte los puntos de la gráfica encontrados y trace las
respectivas rectas horizontales que pasan por ellos. Compruebe que en efecto cada una de estas
rectas es tangente a la gráfica de  () en el punto respectivo.
3. Resuelva la misma pregunta del ejercicio anterior para la función  () definida por
 () =
5 − 2
2 + 1
Para representar gráficamente a  () tome, como ventana de visualización, el rectángulo
−6 ≤  ≤ 6
−5≤ ≤3
y, como unidad de escala, 1 centímetro.
√
√
4. Sea  () =  + 1 − . Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de  () en un
punto arbitrario (  ()) de ella. Demuestre que la recta tangente en cualquier punto de la curva
siempre tiene pendiente negativa. Haga una representación gráfica de la función  (), seleccione
algunos puntos de dicha gráfica, encuentre las correspondientes ecuaciones de las rectas tangentes,
trace estas últimas y compruebe que todas quedan inclinadas hacia abajo.
5. Sea  () = 2 +  +  donde  y  son constantes reales dadas. Encuentre los valores de  y 
de tal manera que la recta  = 3 sea tangente a la gráfica de  () en el punto (2 6). Después de
resolver el problema analíticamente, haga una representación gráfica de  (), trace la recta  = 3
y compruebe geométricamente que en efecto esta recta es tangente a la gráfica de  () en el punto
(2 6).
Ejercicios
6. Sean  () = 2 +  +  y  () = 3 −  donde ,  y  son constantes reales dadas. Encuentre los
valores de ,  y  de tal manera que las gráficas de  () y  () se intersecten en el punto (1 2) y
tengan la misma recta tangente en ese punto. Después de calcular los valores de las constantes, haga
una representación gráfica de  () y  () en el mismo plano , resalte el punto (1 2), trace la recta
tangente a la gráfica de  () en el punto (1 2) (para lo cual tendrá que hallar primero la ecuación
de dicha tangente) y compruebe geométricamente que en efecto las dos gráficas se intersectan en el
punto (1 2) y tienen la misma tangente en dicho punto.
7. Sea  () = 2 +  +  donde ,  y  son constantes reales dadas con  6= 0. Encuentre todos los
puntos de la gráfica de  () en los cuales la recta tangente es perpendicular a la recta  = 2 + 3.
Después de resolver el problema analíticamente, haga una representación gráfica de  (), trace las
rectas tangentes en consideración y compruebe geométricamente sus resultados analíticos.
8. Demuestre que la recta  = − es tangente a la gráfica de la función
 () = 3 − 62 + 8
Encuentre el punto de tangencia. Demuestre que esta recta tangente intersecta la gráfica de  ()
en otro punto (no necesariamente punto de tangencia). Después de realizar ambas demostraciones,
represente gráficamente la función  () y la recta  = −. Tome, como ventana de visualización, el
cuadrado
−5 ≤  ≤ 5
−5≤ ≤5
y, como unidad de escala, 1 centímetro. Compruebe geométricamente los resultados demostrados.
9. Encuentre la ecuación cartesiana de la recta tangente a la curva plana de ecuación
 3 − 3 2 + 32  − 23 − 1 = 0
en cada uno de los puntos de corte de esta curva con los ejes coordenados. La siguiente figura muestra
la parte de la curva en la ventana de visualización
−2 ≤  ≤ 2
−1≤ ≤3
y
3
2
1
x
-2
-1
1
-1
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2
Aplicaciones de la derivada (II)
10. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación
¡
¢
 + log 1 + 2 +  2 − 1 = 0
en el punto
¡√
¢
 − 1 0 . La siguiente figura muestra la parte de la curva en la ventana de visualización
−3 ≤  ≤ 3
− 2.5 ≤  ≤ 2.5
y
2
1
( e - 1,0)
x
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
11. Sea  la curva representada por la ecuación
23 +  23 = 23
donde  es una constante real positiva. Esta curva se denomina una astroide o también una hipocicloide de cuatro cúspides. La figura siguiente muestra una gráfica de esta curva. (Inmediatamente
se entiende por qué se llama astroide. El segundo nombre se debe a que es la curva que describe un
punto fijo de una circunferencia de radio 4 que rueda sin resbalar por la parte interior de otra
circunferencia de radio .) Sea  = (0  0 ) un punto cualquiera de la astroide distinto de sus cuatro
vértices ( 0), (0 ), (− 0) y (0 −). Demuestre que el segmento de la recta tangente a  en  ,
comprendido entre los ejes de coordenadas, tiene longitud .
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Ejercicios
y
a
C
a
-a
P0 = ( x0 , y0 )
a
-a
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x
Aplicaciones de la derivada (II)
Respuestas
Rectas tangentes
1.  = −6 − 9
3.
Ã
2+
=0
!
√
√
29
29 − 2

5
2
5.  = −1
=4
 = 2 − 1
Ã
2−
6.  = 1
2.
µ
1
7
3
¶
!
√
√
29
29 + 2
−
5
2
=0
(3 1)
√
√
− +1
( − ) +  ()
4.  = p
2  ( + 1)
 = −1
µ
¶
1 + 2 1 − 42 + 16
7. Solo hay un punto que cumple la condición dada: −

4
16
8. El punto de tangencia es (3 −3). La recta tangente también corta la gráfica de  () en el punto
(0 0)
à √
!
3
4
9. Los puntos de corte de la curva con los ejes coordenados son (0 1) y −
 0 . Las ecuaciones
2
√
cartesianas de las rectas tangentes son, respectivamente,  =  + 1 y  = 2 + 3 4.
√
10.  − 2 − 2  − 1 = 0
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