Problemas para los más jóvenes 51 Cinco problemas de
Anuncio
Problemas para los más jóvenes 51 Cinco problemas de Olimpiadas rumanas para jóvenes PMJ51-1 Los números reales positivos x; y; z son tales que xyz (x + y + z) = 1 a) Demostrar que s 1 1 1 x2 + 2 y2 + 2 z 2 + 2 = (x + y) (y + z) (z + x) : y z x b) Determinar una terna de números que veri…que la hipótesis. PMJ 51-2 x; y; z son números naturales tales que x < y < z: Si x; y; z son directamente proporcionales a tres números naturales consecutivos, ¿de cuántas maneras distintas se puede escribir el número 180 en la forma x + y + z? PMJ51-3 Los números naturales no nulos a; b; c cumplen la condición a+b b+c c+a = = : bc ca ab Demostar que a = b = c: PMJ51-4 El triángulo isósceles ABC tiene como base AC = a y el ángulo B es de 70o . En los segmentos AB y AC se eligen puntos D y E, respectivamente, de manera que DA+AE = a. En los segmentos AC y BC se eligen puntos F y G, respectivamente, de modo que FC+CG=a. Los puntos E y F son distintos. Calcular la medida del ángulo agudo que forman las rectas DF y EG. PMJ51-5 Determinar los números enteros x; y tales que 2 x y = x + 3: 1
