Algebra Lineal XXV: Determinación del Rango de una Matriz

Algebra Lineal XXV: Determinación del Rango de una Matriz
Mediante Determinantes.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
En estas notas mostraremos como determinar el rango de una matriz mediante determinantes,
además probaremos que el rango fila de una matriz es igual al rango columna de la misma matriz.
Teorema. Sea M ∈ M m×m una matriz de rango columna ρc (M ) = ρ(M ) = ρ. Sea r el orden,
es decir el número de filas o el número de columnas de la submatriz, cuadrada, de M mas grande,
cuyo determinante es diferente de 0. Entonces ρ = r.
Prueba: Si M es la matriz 0, entonces, el orden de la submatriz mas grande cuyo determinante
es diferente de 0 es r = 0, además el número de columnas linealmente independientes es 0,1 por lo
tanto ρ = 0 = r.
Supondremos ahora que M es diferente de 0 y sea N una submatriz, de orden r, de M tal que


m11 m12 · · · m1r
 m21 m22 · · · m2r 


N = .
..
.. 
..
 ..
.
.
. 
mr1 mr2 · · · mrr
además suponga que det N 6= 0 pero que para todas las submatrices, de M , de orden r + 1 su
determinante es 0. Note que N contiene las primeras r columnas de M , esta suposición no afecta la
generalidad pues el intercambio de columnas, o de filas, de la matriz M no afecta la independencia
lineal de las columnas o de las filas. Suponga que M1 , M2 , . . . , Mr son las columnas de M y
sean N1 , N2 , . . . , Nr las columnas de N . Entonces {M1 , M2 , . . . , Mr } es linealmente independiente
pues si no lo fueran, entonces {N1 , N2 , . . . , Nr } serı́an linealmente dependientes y det N = 0 una
contradicción. Entonces ρ ≥ r.
Si r = m; es decir si la submatriz N es igual a M , entonces m = r ≤ ρ ≤ m implica que
ρ = r = m y el resultado final se obtiene. Entonces, el único caso que queda analizar r ≤ m. Para
analizar este caso, crearemos una submatriz de M de orden r + 1 aumentando a N otros elementos
de M , de manera mas especı́fica se añadirán los elementos asociados a la s−ésima fila de M y la
t−ésima columna de M , de esa manera se determina


m11 m12 · · · m1r m1t
 m21 m22 · · · m2r m2t 



..
..
.. 
..
N [s, t] =  ...
.
.
.
. 


 mr1 mr2 · · · mrr mrt 
ms1 ms2 · · · msr mst
1 Esta expresión es un abuso del lenguaje, la frase deberı́a decir, la cardinalidad del conjunto mas grande cuyos
elementos son las columnas de M linealmente independientes es 0.
1
Impondremos las siguientes condiciones, la s−ésima fila debe satisfacer la condición 1 ≤ s ≤ m y
la t−ésima columna debe satisfacer la condición r + 1 ≤ t ≤ m. Entonces
det N [s, t] = 0
Existen dos posibles situaciones:
1. Si s > r, entonces N [s, t] es una submatriz de orden r + 1 y por la suposición, todos los
determinantes de las submatrices de M , de orden mayor a r son 0.
2. Si s ≤ r entonces N [s, t] tiene dos filas iguales y, por lo tanto, su determinante es igual a 0.
Expandiendo el det N [s, t], en base a la s−ésima fila y denominando N si para 1 ≤ i ≤ r e i = t, se
tiene que
det N [s, t] = 0 = ms1 N s1 + ms2 N s2 + · · · + msr N sr + mst N st
Note que puesto que los cofactores, N sj ∀1 ≤ j ≤ r o j = t eliminan la s−ésima fila, la ecuación
anterior es independiente de s, por lo tanto pueden denominarse c1 , c2 , . . . , cr , ct y la relación puede
escribirse como
c1 ms1 + c2 ms2 + · · · + cr msr + ct mst = 0 ∀ 1 ≤ s ≤ m
∀r + 1 ≤ t ≤ m
Por lo tanto esta ecuación puede escribirse como
c1 M1 + c2 M2 + · · · + cr Mr + ct Mt = ~0
∀r + 1 ≤ t ≤ m
Por lo tanto ρ ≤ r.
Combinando los dos resultados, se tiene que
ρ=r
A partir de este resultado, se probará que el rango fila de una matriz es igual al rango columna de
la misma matriz.
Teorema. Sea M ∈ M m×m entonces el rango columna de la matriz, ρc (M ), es igual al rango
fila de la matriz, ρf (M ); es decir ρc (M ) = ρ(M ) = ρf (M ).
Prueba: Sea ρc (M ) el rango columna de la matriz M , entonces existe una submatriz N de M
de orden ρc (M ) tal que det N 6= 0 pero todas las submatrices de M de orden mayor a ρc (M ) tienen
todas determinante igual a 0. Considere ahora la matriz M T las columnas de M T son las filas de
M . Además N T es una submatriz de orden ρc (M ) tal que det N T 6= 0 pero el determinante de todas
las submatrices de M T de orden mayor que ρc (M ) son todos iguales a 0, pues en caso contrario la
transpuesta de esa submatriz seria una submatriz de M de orden mayor a ρc (M ) contradiciendo la
suposición que el rango columna de la matriz M es igual a ρc (M ).
Por lo tanto, el rango fila de la matriz M, denotado por ρf (M ) es igual al rango columna de la
matriz M T y por lo tanto igual al rango columna de la matriz M ; es decir
ρf (M ) = ρc (M T ) = ρf (M ) = ρ(M )
1.
Problemas resueltos
Problema 1. Considere la siguiente matriz

1
3
 2 −1
M =
 −1 2
0
5
2

−1 1
3 −2 

−3 2 
−4 3
Determine, empleando determinantes, el rango de la matriz.
Solución. Empecemos con un determinante de orden 1. Seleccione cualquier elemento de la
matriz, diferente de 0, digamos m11 , y denomine a esa submatriz M1 , cualquier matriz de orden 1
cuyo elemento es diferente de 0 sirve para este propósito, entonces
|M1 | = |m11 | = |1| = 1 6= 0
Por lo tanto, el rango de la matriz M es ρ(M ) ≥ 1. Considere ahora una submatriz, de M , de orden
2, denote esta submatriz como M2 y seleccione
m11 m12
M2 =
m12 m22
existen muchas otras submatrices de orden 2 que podrı́an emplearse en vez de esta, entonces
m
m12 1 3 |M2 | = 11
= −7 6= 0
=
m12 m22 2 −1 Por lo tanto, el rango de la matriz M es ρ(M ) ≥ 2. Considere ahora una submatriz, de M , de orden
3, denote esta submatriz como M3 y seleccione


m11 m12 m13
M3 =  m12 m22 m23 
m31 m32 m33
existen otras submatrices de orden
m11
|M3 | = m12
m31
3 que podrı́an emplearse en
3
m12 m13 1
m22 m23 = 2 −1
m32 m33 −1 2
vez de esta, entonces
−1 3 = 3 6= 0
−3 Por lo tanto, el rango de la matriz M es ρ(M ) ≥ 3.
Finalmente, considere ahora una submatriz, de M , de orden 4, denote esta submatriz como M4 .
Sin embargo, la única submatriz de orden 4 es la propia matriz M por lo tanto
m11 m12 m13 m14 1
3 −1 1 m
m22 m23 m24 2 −1 3 −2 |M4 | = |M | = 12
= 3 6= 0
=
m31 m32 m33 m34 −1 2 −3 2 m41 m42 m43 m44 0
5 −4 3 Vamos a calcular el valor del determinante por la expansión de Laplace en base a la cuarta fila,
otra selección razonable, es calcular el valor del determinante por la expansión de Laplace en base
a la primera columna. En este caso se tiene que
1 −1 1 3 −1 1 3 −2 |M4 | = |M | = (−1)4+1 (0) −1 3 −2 + (−1)4+2 (5) 2
−1 −3 2 2 −3 2 1
1
3 −1 3
1 +(−1)4+3 (−4) 2 −1 −2 + (−1)4+4 (3) 2 −1 3 −1 2 −3 −1 2
2 =
5(−1) + 4(−1) + 3(3) = −5 − 4 + 9 = 0
Por lo tanto, el rango de la matriz M es ρ(M ) ≤ 4. De aquı́ que ρ(M ) = 3.
3
2.
Problemas Propuestos.
Problema 1. Considere las dos matrices del problema 1 de las notas Álgebra Lineal XIX:
Rango de una Matriz y Matriz Inversa. Determine, empleando determinantes, el rango de las
matrices




1 −2 2 1 0
1 −1 3 1
1 0 5 2  , M2 =  3 2 0 −1 
M1 =  3
−1 2 1 −1 3
0 1 2 1
4