Solución - Universidad de Montevideo

Universidad de Montevideo
Facultad de Ciencias Empresariales y Economía
Microeconomía I
Prof. Marcelo Caffera
Examen Diciembre 2013 – Tercer...... (¡!) período.
EJERCICIO 1 – Preferencias y Elección
1. Derive (haga todas las cuentas para obtener) una expresión matemática de la tasa
marginal de sustitución y explique con palabras el concepto. Puede ayudarse con una
gráfica.
2. Derive (haga todas las cuentas para obtener) una expresión matemática de la
pendiente de la restricción presupuestaria y explique con palabras el concepto. Puede
ayudarse con una gráfica.
3. Explique por qué para que la elección entre las cantidades a consumir de dos bienes
sea óptima la tasa marginal de sustitución tiene que ser igual a la restricción
presupuestaria. Explique qué pasa si es mayor o menor (por qué no es óptimo).
EJERCICIO 2 – Proporciones fijas
Considere dos bienes (x e y) que se consumen en proporciones fijas. Por ejemplo, suponga
que
, =
, .
1. Derive (obtenga) las funciones de demanda mashallianas para x e y.
, =
5 ,
El consumidor con una función de utilidad de proporciones fijas consume en la recta
+
=
+ 5 . Despejando x obtenemos
5 = . Por ende se cumple =
la función de demanda marshalliana de x:
= ∗
+ 5
∗
=
+5
Haciendo algo similar para y,
=
∗
∗
=
5
5
+
+
2. Halle la función de utilidad indirecta.
Por definición,
,
,
=
∗
,
∗
=5
∗
=
!
.
3. Si el precio de x es $10 y el precio de y es $4, y el ingreso del individuo es $75, y el
gobierno quiere recaudar $10 con un impuesto al bien x, ¿en cuánto tiene que fijar el
impuesto sobre el bien x el gobierno?
Si el impuesto es t, se tiene que cumplir que
t ∗ = 10
y, al mismo tiempo
∗
(1)
=
+&+5
Sustituyendo por los valores de los precios e ingresos,
75
∗
=
30 + &
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (1), y haciendo cuentas,
& = 4,62
Y
∗
= 2,17
4. Prefiere el individuo el impuesto hallado en punto 3 o un impuesto a los ingresos
Para responder a esta pregunta tenemos que evaluar la función de utilidad indirecta del
individuo con un impuesto como el punto anterior y compararla con la utilidad que obtiene un
individuo con un impuesto a los ingresos de $10.
Con el impuesto el individuo alcanza un nivel de utilidad igual a 5
∗
= 5 ∗ 2,17 = 10,85.
Si le pusieran un impuesto a los ingresos de $10, su nivel de utilidad sería
23
20
!
=
∗ - ./0
/0 ∗1
=
= 10,83. Con el redondeo, el individuo preferiría levemente el impuesto a los ingresos. Sin
embargo, un individuo con preferencias de proporciones fijas es indiferente entre ambos
impuesto. La razón es que con estas preferencias la participación de cada bien en la canasta es
fija, entonces no hay un efecto de cambios en los precios relativos sobre las cantidades
relativas de consumo.
EJERCICIO 3
Suponga que un monopolio puede producir un nivel de producción cualquiera con un costo
marginal de $5 (constante). Suponga que el monopolio vende sus bienes en dos mercados
distintos, separados por cierta distancia. La curva de demanda del primer mercado viene
dada por
45 =
− 75
Y la curva de demanda del segundo mercado viene dada por
48 = 9: − 878
1. Si el monopolista puede mantener la separación entre los dos mercados, ¿qué
nivel de producción debería fabricar y vender en cada mercado y a qué precio?
Calcule el beneficio total del monopolista en esta situación.
Producción en el mercado 1:
Ingreso total: ;/ ∗ Q/ = 55 − Q/ ∗ Q/ = 55Q/ − Q/ 3
Ingreso marginal: 55 − 2Q/
Condición necesaria de maximización de beneficios:
55 − 2Q/ = 5
Q/ ∗ = 25
;/ = 55 − Q/ ∗ = 55 − 25
=5 ∗ = >:
π∗ = ;/ ∗ − 5 ∗ Q/ ∗ = 25 ∗ 25 = 625
Producción en el mercado 2:
∗
Ingreso total: ;3 ∗ Q 3 = @35 −
AB
C∗
3
Q 3 = 35Q 3 −
AB B
3
Ingreso marginal: 35 − Q 3
Condición necesaria de maximización de beneficios:
35 − Q 3 = 5
Q 3 ∗ = 30
30
;3 = D35 − E = 20
2
=8 = 8:
F3∗ = 20 − 5 ∗ 3 = 450
2. ¿Cómo cambiaría su respuesta si a los demandantes les costara $5 pesos
trasladar los bienes de un mercado a otro. Calcule el beneficio total del
monopolista en esta situación.
Si a los demandantes les costar 5 pesos trasladar los bienes de un mercado a otro,
la diferencia de precios entre ambos mercados no podría ser mayor a 5 pesos (igual
en el margen, suponiendo que cuando son iguales nadie arbitra).
El problema del monopolista sería maximizar el beneficio
F = ;1 − 5 55 − ;1 + ;2 − 5 70 − 2;2
sujeto a la restricción
P1 = P2 + 5
Lagrangeano:
F + G 5 − ;1 + ;2 Condiciones de primer orden:
∂L
= 60 − 2 P1 − λ = 0
∂ P1
∂L
= 80 − 4 P2 + λ = 0
∂ P2
∂L
= 5 − P1 + P 2 = 0
∂λ
Despejando lambda en ambas derivadas e igualando:
60 - 2P1 = 4P2 - 80
Y
P1 = P2 + 5
130 = 6P2
P2 = 21.66 P1 = 26.66
π = 1058.33
3. ¿Cómo cambiaría su respuesta si los costos de transporte fueran nulos y la
empresa se viera obligada a aplicar una política de un solo precio?
Si los costos de transporte fueran nulos, sería un solo mercado; P1 = P2.
En este caso la firma maximizaría
F = 140; − 3;– 625
La condición necesaria de maximización es
140 − 6; = 0
De donde
P=
45 ∗ =
140
= 23,333
6
− 8>, >> = >5, I9
48 ∗ = 9: − 8 ∗ 8>, >> = 8>, >J
π = 1008,33
4. Supongamos que la empresa puede adoptar una tarifa lineal en dos partes, en la
cual los precios marginales deben ser iguales en los dos mercados, pero la cuota
única para entrar puede variar. ¿Qué precio marginal y cuota de entrada fijará la
empresa?
Si la firma adopta una tarifa lineal de la forma T( Qi ) = α i + mQi , puede maximizar los
beneficios haciendo m = 5,
α1 = .5(55 - 5)(50) = 1250
α2 = .5(35 - 5)(60) = 900
and π = 2150.
Notar que en este problema ninguno de los mercados puede ser identificado como el
que tiene la disponibilidad a pagar más baja por lo que una solución similar al Ejemplo
18.5 del libro no es posible. Si la entrada tuviera que ser igual en los dos mercados, la
firma podría poner m = 0, y cargar una tarifa de 1225 (lo máximo que los compradores
en el mercado 2 pagarían). Esto produciría beneficios por 2450 - 125(5) = 1825, que es
inferior a los beneficios con T(Qi).