Tema 2. Heterocedasticidad. 1 El modelo de regresión lineal

Tema 2. Heterocedasticidad.
1
El modelo de regresión lineal con errores heterocedásticos
• En este tema vamos a analizar el modelo de regresión lineal
Yt = Xt0 β + ut , donde Xt = (X1t , X2t , .., Xkt )0 y β = (β1 , β2 , .., βk )0 ,
con regresores aleatorios, errores potencialmente heterocedásticos y observaciones
iid, es decir supondremos que:{(Yt , Xt0 )0 }Tt=1 son vectores aleatorios independientes e
idénticamente distribuidos (iid); por tanto, {ut }Tt=1 también es iid y que se verifican
los supuestos (a) y (c):
(a) E(ut |Xt ) = 0 ⇔ E(Yt |Xt ) = Xt0 β
(c) Σ = E(Xt Xt0 ) es definida positiva.
En ausencia del supuesto (b) la varianza de ut condicionada a Xt puede ser cualquier
función de Xt , es decir, en general tendremos que
(b’) V ar(ut |Xt ) = E(u2t |Xt ) = g(Xt ) ⇔ V ar(Yt |Xt ) = g(Xt )
• Notas:
– Nótese que el supuesto (b) del Tema 1 es un caso particular de (b’) cuando
g(Xt ) es constante.
– Nótese también que puesto que las observaciones son iid la varianza marginal
de ut es constante (todos los errores tienen la misma distribución y por tanto la
misma varianza). Si llamamos σ 2 a la varianza marginal de ut , podemos escribir
(b’) como(b0 ) V ar(ut |Xt ) = E(u2t |Xt ) = g(Xt ) = σ 2 ω(Xt ) ⇔ V ar(Yt |Xt ) =
g(Xt ) = σ 2 ω(Xt )de forma que el supuesto de homocedasticidad sería ω(Xt ) = 1
• En ocasiones se utiliza la notación simplificada
V ar(ut |Xt ) = g(Xt ) = σt2
V ar(ut |Xt ) = g(Xt ) = σ 2 ω(Xt ) = σ 2 ωt
pero debe recordarse que σt2 y ωt varían con la observación t porque son una función
del vector Xt . Por tanto, en la mayor parte del tema no se utilizará esta notación
simplificada para enfatizar la dependencia de la varianza respecto de los regresores
Xt .
1
• Como las observaciones son independientes, Podemos escribir (a) y (b’) condicionando en todas las observaciones y no sólo a la t-ésima, es decir, el supuesto (a)
equivale a
E(ut |X1 , X2 , ..XT ) = E(ut |X) = 0
y (b’) equivale a
V ar(ut |X1 , X2 , ..XT ) = V ar(ut |X) = E u2t |X = σ 2 ω(Xt )
Por tanto, en notación matricial podemos escribir (a) y (b’) como:
(a) E(u|X) = 0 ⇔ E(Y |X) = Xβ
(b’) V ar(u|X) = E(uu0 |X) = σ 2 Ω ⇔ V ar(Y |X) = σ 2 Ω, donde Ω es una matriz
diagonal cuyo elemento (t, t) es ω(Xt ). Es decir la matriz Ω es


ω(X1 )
0
···
0
 0

ω(X2 ) · · ·
0


Ω =

..
..
..
..


.
.
.
.
0
2
···
0
ω(XT )
Estimación MCO en presencia de heterocedasticidad
Bibliografía: Alonso et al., 9.3 y 9.7; Greene, 12.2 y 11.2.5; Wooldridge, 8.1 y 8.2
2.1
Propiedades estadísticas en muestras finitas
• Insesgadez
Como ya vimos en el tema 1, si se verifican los supuestos (a) y (c) el estimador
MCO de β es insesgado (demostración en el Tema 1).
• Varianza del estimador MCO
Si se verifican los supuestos (a) y (c)
b
V ar(β|X)
= σ 2 (X 0 X)−1
T
X
!
ω(Xt )Xt Xt0 (X 0 X)−1
t=1
Demostración
h
i
h
i
0
b
b
b
V ar(β|X)
= E (βb − E(β|X))(
βb − E(β|X))
|X = E (βb − β)(βb − β)0 |X
= E (X 0 X)−1 X 0 uu0 X(X 0 X)−1 |X = (X 0 X)−1 X 0 E(uu0 |X)X(X 0 X)−1
2
= σ (X 0 X)−1 X 0 ΩX(X 0 X)−1
2
y puesto que

ω(X1 )
0
···
0
 0
ω(X
)
·
·
·
0
2

X1 , X2 , ... , XT 
X 0 ΩX =
..
..
..
..

.
.
.
.
0
0
· · · ω(XT )


X10
0 

 X2 
ω(X1 )X1 , ω(X2 )X2 , ... , ω(XT )XT  ..
=
=
 .

0
XT





T
X
X10
X20
..
.
XT0





!
ω(Xt )Xt Xt0
t=1
tenemos que
b
V ar(β|X)
= σ 2 (X 0 X)−1
T
X
!
ω(Xt )Xt Xt0 (X 0 X)−1
t=1
Nota:
b
Puesto que V ar(β|X)
6= σ 2 (X 0 X)−1 , σ
b2 (X 0 X)−1 no es un estimador apropiado de
V ar(βbM CO ). Como consecuencia de este resultado, cuando los errores son heterocedásticos, ni los errores estándar, ni los contrastes que vimos en Econometría I son
\
válidos, ya que estaban basados en la matriz V ar(βbM CO ) = σ
b2 (X 0 X)−1 .
• El estimador MCO no es el estimador lineal e insesgado de mínima varianza
Si no se verifica el supuesto (b), el estimador MCO no es el estimador lineal e
insesgado de mínima varianza
2.2
Propiedades asintóticas
• Consistencia
Si las observaciones son iid y se cumplen los supuestos (a) y (c), como ya vimos en
el tema 1, el estimador MCO de β es consistente (demostración en el Tema 1).
• Normalidad asintótica
Si las observaciones son iid y se cumplen los supuestos (a) y (c), entonces
√
T (βb − β) →d N (0, Σ−1 σ 2 Ψ Σ−1 )
0
donde Ψ = E(ω(Xt )Xt Xt )
3
Demostración
√
T (βb − β) =
T
1X
Xt Xt0
T t=1
!−1
T
√ 1X
T
Xt u t
T t=1
Consideremos la sucesión de vectores aleatorios Zt = Xt ut , utilizando la ley de las
esperanzas iteradas
E(Zt ) = E(Xt ut ) = E(E(Xt ut |Xt )) = E(Xt E(ut |Xt )) = 0
utilizando de nuevo la ley de las esperanzas iteradas
V ar(Zt ) = V ar(Xt ut ) = E(Xt ut ut Xt0 )
0
0
0
= E(E(u2t Xt Xt |Xt )) = E(E(u2t |Xt )Xt Xt ) = σ 2 E(ω(Xt )Xt Xt ) = σ 2 Ψ
Puesto que los vectores Zt son iid y todos tienen media cero y varianza σ 2 Ψ, utilizando el Teorema Central del Límite
T
√ 1X
T
Xt ut →d N (0, σ 2 Ψ)
T t=1
(1)
Por otra parte, utilizando la ley de los grandes números
T
1X
Xt Xt0 →p Σ = E(Xt Xt0 )
T t=1
y puesto que Σ es definida positiva, utilizando el teorema de la función continua
!−1
T
1X
Xt Xt0
→p Σ−1
(2)
T t=1
y por tanto, utilizando (1) y (2)
√
T (βb − β) →d N (0, Σ−1 σ 2 Ψ Σ−1 )
• Estimación de la varianza límite del estimador MCO (Matriz de varianzas
de White)
Se puede demostrar que, bajo condiciones muy generales, la matriz
T
1X 2
e Xt Xt0 →p σ 2 Ψ
ST =
T t=1 t
donde et son los residuos MCO y por tanto,
!
0 −1
−1
T
XX
1X 2
X 0X
0
et Xt Xt
→p Σ−1 σ 2 Ψ Σ−1
T
T t=1
T
4
Así que, cuando los errores son heterocedásticos, la matriz
!
0 −1
−1
T
0
X
\
X
X
1
X
X
1
2
0
e Xt X t
V arW βbM CO =
T
T
T t=1 t
T
!
T
X
−1
−1
0
= (X X)
e2t Xt Xt0 (X 0 X) ,
t=1
es un estimador apropiado de la matriz de varianzas de βbM CO que se denomina
\
“estimador de White de la matriz de varianzas de βbM CO ”. V arW βbM CO también
se denomina matriz de varianzas estimada de βbM CO robusta a heterocedasticidad ya
que es un estimador apropiado de la matriz de varianzas de βbM CO tanto cuando los
errores son heterocedásticos como cuando son homocedásticos. Los errores estándar
basados en esta matriz se denominan errores estándar robustos a heterocedasticidad.
Como veremos a continuación, la matriz de varianzas estimada de βbM CO robusta
a heterocedasticidad permite realizar inferencia utilizando el estimador MCO sin
necesidad de especificar el tipo de heterocedasticidad.
• El estimador MCO no es asintóticamente eficiente
Si no se verifica el supuesto (b), el estimador MCO no es asintóticamente eficiente.
2.3
Contraste de hipótesis
• Contrastes de q restricciones lineales:
H0 : Rβ = r
H1 : Rβ 6= r
siendo R una matriz q × k y r un vector q × 1. Supondremos que las observaciones
son iid y que se cumplen los supuestos (a) y (c)
Hemos demostrado que bajo estos supuestos
√
T (βb − β) ' N (0, N (0, Σ−1 σ 2 Ψ Σ−1 ))
Multiplicando por la izquierda por R
√
T (Rβb − Rβ) ' N (0, RΣ−1 (σ 2 Ψ)Σ−1 R0 )
Bajo H0
√
T (Rβb − r) ' N (0, RΣ−1 (σ 2 Ψ)Σ−1 R0 )
(1)
Por otra parte tenemos que
!
0 −1
−1
T
\
XX
1X 2
X 0X
0
e t Xt Xt
= T V arW βbM CO →p Σ−1 (σ 2 Ψ)Σ−1
T
T t=1
T
5
Multiplicando por la izquierda por R y por la derecha por R0
\
T RV arW βbM CO R0 →p RΣ−1 (σ 2 Ψ)Σ−1 R0
(2)
Utilizando (1), (2) y el ejemplo 5 de convergencia en distribución (Tema 1), el
estadístico de contraste es
−1 √
√
\
0
b
b
W =
T (Rβ − r) T RV arW βM CO R0
T (Rβb − r)
0
= (Rβb − r)
−1
\
(Rβb − r) ' χ2q Bajo H0
RV arW βbM CO R0
y rechazaremos H0 a nivel α si W > χ2q,α . Nótese que el estadístico de contraste
es similar al que obtuvimos en el Tema 1. La diferencia es que ahora la matriz de
varianzas estimada del estimador MCO es la matriz de varianza de White, mientras
que en el Tema 1 la varianza estimada del estimador MCO era σ
b2 (X 0 X)−1
• Contrastes de una restricción lineal:
(a) H0 : Rβ = r (b) H0 : Rβ = r (c) H0 : Rβ = r
H1 : Rβ 6= r
H1 : Rβ > r
H1 : Rβ < r
Ahora R es un vector fila 1 × k y r es un escalar. En este caso, para el contraste
(a) podemos utilizar el estadístico W que acabamos de ver. Sin embargo, para los
contrastes (b) y (c) no podemos utilizar dicho estadístico.
Para los contrastes (b) y (c) (y también para el (a)) utilizando (1), (2) y el ejemplo
6 de convergencia en distribución (Tema 1) podemos construir el estadístico:
√
T (Rβb − r)
(Rβb − r)
t= q
=q
' N (0, 1) Bajo H0
\b 0
\b 0
T RV arW (β)R
RV arW (β)R
En este caso rechazaremos H0 a nivel α si
(a) : |t| > zα/2
(b) : t > zα
(c) : t < −zα .
En particular para contrastar
(a) H0 : βj = βj0 (b) H0 : βj = βj0 (c) H0 : βj = βj0
H1 : βj 6= βj0
H1 : βj > βj0
6
H1 : βj < βj0
todos los elementos del vector R son
q cero salvo el elemento j que es uno. Por
\b 0
\
\b 0
tanto, RV arW (β)R
= V arW (βbj ) y RV arW (β)R
= SEW (βbj ). El estadístico de
contraste es
βbj − βj0
t=
' N (0, 1) Bajo H0
SEW (βbj )
• Nota
Los estadísticos de contraste W y t que hemos obtenido en esta sección se denominan
estadísticos robustos a heterocedasticidad ya que pueden utilizarse tanto cuando los
errores son heterocedásticos como cuando son homocedásticos.
3
Contrastes de heterocedasticidad
Bibliografía: Alonso et al., 9.4;Greene, 12.3.1-12.3.3; Wooldridge, 8.3
3.1
Contraste de Breusch-Pagan.
• La versión original del contraste Breusch-Pagan asumía que los errores ut seguían
una distribución normal. Posteriormente se desarrolló una versión de este contraste
que no requiere normalidad. Debido a su mayor aplicabilidad, la que se expone a
continuación es la versión más reciente.
• La hipótesis nula del contraste de Breusch-Pagan es que los errores son homocedásticos, es decir
H0 : V ar(ut |Xt ) = E(u2t |Xt ) = σ 2
Por tanto, si la hipótesis nula no es cierta, E (u2t |Xt ) no será constante, sino que
será función de al menos una de las variables explicativas del modelo.
H1 : V ar(ut |Xt ) = E(u2t |Xt ) = g (Zt ) = σt2
0
donde Zt = (Z1t , ..., Zpt ) son algunas (o todas) las variables explicativas del vector
Xt y/o funciones conocidas de ellas. Por tanto, una forma de comprobar si la media
0
de u2t depende de ese subconjunto Zt = (Z1t , ..., Zpt ) de las variables explicativas es
mediante la regresión
u2t = δ0 + δ1 Z1t + ... + δp Zpt + vt ,
donde vt es un término de error que suponemos tiene esperanza cero dadas Z1t ,...,Zpt .
La hipótesis nula de homocedasticidad es
H0 : δ1 = ... = δp = 0,
7
• Si bien los errores ut , t = 1, 2, ..T, no son observables, podemos utilizar los residuos
MCO et , t = 1, 2, ..T, como estimaciones de los errores. Así, podemos estimar la
ecuación
e2t = δ0 + δ1 Z1t + ... + δp Zpt + errort
y contrastar la significatividad conjunta de Z1 , ..., Zp . El contraste de significatividad
conjunta puede realizarse con el estadístico de Wald, pero más generalmente se opta
por el estadístico de contraste llamado Multiplicador de Lagrange, cuyo fundamento
puede verse por ejemplo en Wooldridge (2006, C. 5).
• Los pasos para realizar el contraste Breusch-Pagan de heterocedasticidad son:
(1) Se estima por MCO Yt = Xt0 β + ut y se calculan los residuos (et ).
(2) A continuación se estima por MCO la ecuación
e2t = δ0 + δ1 Z1t + ... + δp Zpt + errort .
(3) El estadístico de contraste (Multiplicador de Lagrange) y su distribución
bajo H0 son
T R2 w χ2p
siendo R2 el coeficiente de determinación de la regresión del paso (2) y p el número
variables explicativas (excluyendo la constante) en la regresión del paso (2).
3.2
Contraste de White.
• Este contraste es un caso particular del contraste de Breusch-Pagan, para contrastar
homocedasticidad frente a una forma genérica de heterocedasticidad
H0 : V ar(ut |Xt ) = E(u2t |Xt ) = σ 2
H1 : V ar(ut |Xt ) = E(u2t |Xt ) = σ 2 ω (Xt )
donde ω (Xt ) es una función general no especificada.
• En el contexto de un modelo de regresión lineal, White probó que si u2t no está
correlacionado con ninguna de las variables independientes del modelo (Xjt ), ni con
2
sus cuadrados (Xjt
), ni con todos los productos cruzados (Xjt Xht , j 6= h), entonces
no hay necesidad de utilizar una matriz de covarianzas robusta a heterocedasticidad
en la estimación MCO.
• Pasos para realizar el contraste de White.
(1) Se estima Yt = Xt0 β + ut por MCO y se calculan los residuos et .
(2) Se estima por MCO la regresión de e2t sobre una constante, sobre los regresores del modelo original, sobre los cuadrados de estos regresores y sobre los
productos cruzados de los mismos.
8
(3) El estadístico de contraste es T R2 , donde R2 es el coeficiente de determinación de la regresión del paso (2). Bajo H0 , T R2 ' χ2p , donde p es el número total
de regresores (sin incluir la constante) de la regresión del paso (2).
• Intuitivamente, P
lo quePse hace es analizar si existe una heterocedasticidad del tipo
ω(Xt ) = α0 + kj=1 km=j αjm Xjt Xmt , puesto que la función desconocida ω (Xt )
siempre se puede aproximar de esta forma (es una aproximación de Taylor de segundo orden).
• Notas:
1. Aunque el modelo original no tenga constante, la regresión auxiliar del paso 2
siempre debe incluir una constante.
2. Se deben eliminar los elementos redundantes en la regresión auxiliar del paso 2.
• Poner dos ejemplos sencillos de cómo quedaría la regresión del paso 2: en un modelo
con tres variables explicativas (incluida la constante), y en el modelo Yt = β1 +
2
β2 X2t + β3 X2t
+ ut .
4
Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados
Bibliografía: Alonso et al., 9.5; Greene, 12.4; Wooldridge, 8.4
4.1
Heterocedasticidad conocida salvo por una constante multiplicativa. El estimador de Mínimos Cuadrados Generalizados
(MCG)
• En esta sección consideraremos el caso en el que la heterocedasticidad es conocida,
es decir el caso en el que ω(Xt ) es una función conocida del vector Xt , siendo
V ar(ut |Xt ) = σ 2 ω(Xt ). Vamos a ver que bajo este supuesto podemos transformar el
modelo de forma que el modelo transformado verifique todos los supuestos básicos,
y por tanto, el estimador MCO del modelo trasformado será el estimador lineal e
insesgado de mínima varianza.
p
• La transformación consiste en dividir todas las variables del modelo por ω(Xt ).
El modelo transformado es
Y
1
ut
p t
= (p
Xt )0 β + p
ω(Xt )
ω(Xt )
ω(Xt )
1
X2t
Xkt
ut
= β1 p
+ β2 p
+ ... + βk p
+p
,
ω(Xt )
ω(Xt )
ω(Xt )
ω(Xt )
9
t = 1, 2, ..., T
Si denotamos Yt∗ = √
Yt
,
ω(Xt )t
Xt∗ = √
1
Xt
ω(Xt )
y u∗t = √ ut
ω(Xt )
podemos escribir el
modelo transformado como
Yt∗ = Xt∗0 β + u∗t
Vamos a ver ahora que efectivamente el modelo trasformado verifica todos los
supuestos básicos
– {(Yt∗ , Xt∗0 )0 }Tt=1 son vectores aleatorios independientes e idénticamente distribuidos ya que (Yt∗ , Xt∗0 )0 es función de (Yt , Xt0 )0 y {(Yt , Xt0 )0 }Tt=1 son vectores aleatorios independientes e idénticamente distribuidos.
– Se verifica el supuesto (a)
!
ut
E(u∗t | Xt ) = E
p
ω(Xt )
| Xt
1
=p
E (ut | Xt ) = 0
ω(Xt )
– Se verifica el supuesto (b)
V ar(u∗t | Xt ) = V ar
ut
p
ω(Xt )
!
| Xt
=
1
1
V ar (ut | Xt ) =
σ 2 ω(Xt ) = σ 2
ω(Xt )
ω(Xt )
– Se verifica el supuesto (c) ya si E(Xt Xt0 ) tiene rango máximo entonces E(Xt∗ Xt∗0 )
también tiene rango máximo
• Se define el estimador de Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG) como el estimador MCO del modelo transformado, es decir
X
−1 X
X
−1 X
0
Xt Yt
X
X
t
t
∗
∗0
∗
∗
βbM CG =
Xt X t
Xt Yt =
ω(Xt )
ω(Xt )
y su matriz de varianzas es
X
−1
0
X
X
X
t
t
2
∗
∗0
−1
2
V ar βbM CG X = σ (
Xt Xt ) = σ
ω(Xt )
También lo podemos escribir utilizando la notación simplificada como
X
−1 X
−1 X
X
Xt Xt0
X t Yt
∗ ∗0
∗ ∗
b
βM CG =
Xt Xt
Xt Yt =
ωt
ωt
X
−1
X X t Yt
Xt Xt0
=
σt2
σt2
X
−1
X
Xt Xt0
2
∗ ∗0 −1
2
b
V ar βM CG X = σ (
X t Xt ) = σ
ωt
X
−1
Xt Xt0
=
σt2
10
Puesto que el modelo transformado verifica todos los supuestos básicos, el estimador
MCG, que es el estimador MCO del modelo transformado, es el estimador lineal e
insesgado de mínima varianza de β. Por la misma razón, el estimador MCG es consistente y asintóticamente normal. Para contrastar restricciones lineales utilizando
el estimador MCG, podemos utilizar los contrastes asintóticos que vimos en el Tema
1. Además, si los errores son normales podemos utilizar los contrastes exactos bajo
normalidad que vimos en Econometría I.
• Notas:
– Obsérvese que se están ponderando las observaciones a la hora de construir el
estimador: Las observaciones con menor varianza tienen ahora un peso mayor
que las observaciones con una varianza mayor. El estimador MCG también se
denomina estimador de mínimos cuadrados ponderados.
– El supuesto de que la heterocedasticidad es conocida es conveniente ya que nos
permite corregirla mediante la trasformación que acabamos de ver, de forma
que podemos trabajar con modelo transformado que verifica todos los supuestos
básicos. El problema es que este supuesto es poco realista en la mayoría de las
aplicaciones.
• Poner algunos ejemplos y explicar al menos uno de ellos con detalle: V ar(ut |Xt ) =
2
σ 2 Xjt ; o bien V ar(ut |Xt ) = σ 2 Xjt
; etc.
4.2
Heterocedasticidad dependiente de un conjunto de parámetros desconocidos. El estimador de Mínimos Cuadrados Generalizados Factible (MCGF)
Bibliografía: Alonso et al., 9.6; Greene, 12.5; Wooldridge, 8.4
• En esta sección vamos a considerar el caso en el que la heterocedasticidad no es
completamente conocida, sino que ω es una función conocida de un número pequeño
de parámetros desconocidos. Es decir supondremos que V ar(ut |Xt ) = E(u2t |Xt ) =
g(Xt , δ) = σ 2 ω(Xt , α), siendo ω una función conocida y α un vector de parámetros
desconocidos. Veremos como podemos en ese caso estimar los parámetros desconocidos de ω(Xt , α) y utilizaremos los parámetros estimados para calcular una estimación de ω(Xt , α) que utilizaremos para trasformar el modelo de forma análoga al
caso en el que ω(Xt ) era completamente conocida.
• Para estimar α utilizaremos una regresión auxiliar basada en los residuos MCO del
modelo original. La regresión auxiliar depende del supuesto que hagamos sobre la
función ω(Xt , α) como ilustran los siguientes ejemplos.
11
α
– Ejemplo 1: σt2 = E(u2t |Xt ) = σ 2 Xjt
donde Xjt es uno de los regresores del
modelo.
Se estima por MCO la regresión auxiliar ln (e2t ) = ln (σ 2 ) + α ln Xjt + vt , lo
que permite obtener un estimador del escalar α, y a partir de ahí se obtiene
α
b
ω
bt = Xjt
.
– Ejemplo 2: σt2 = E(u2t |Xt ) = α0 Zt donde Zt es un subconjunto de los regresores
del modelo que incluye la constante.
Se estima por MCO la regresión auxiliar e2t = α0 Zt + vt , lo que permite obtener
un estimador del vector α, y a partir de ahí se obtiene σ
bt2 = (b
α 0 Zt )
– Ejemplo 3: σt2 = E(u2t |Xt ) = (α0 Zt )2 donde Zt es un subconjunto de los regresores del modelo que incluye la constante.
Se estima por MCO la regresión auxiliar | et |= α0 Zt + vt , lo que permite
α0 Zt )2
obtener un estimador del vector α, y a partir de ahí se obtiene σ
bt2 = (b
– Ejemplo 4: σt2 = E(u2t |Xt ) = exp (α0 Zt ) donde Zt es un subconjunto de los
regresores del modelo que incluye la constante.
Se estima por MCO la regresión auxiliar ln (e2t ) = α0 Zt + vt , lo que permite
obtener un estimador del vector α, y a partir de ahí se obtiene σ
bt2 = exp (b
α0 Zt )
• Una vez que hemos calculado ω
bt (o σ
bt2 ) utilizaremos estas estimaciones para transformar el modelo análogamente al caso en el que la heterocedasticidad era
√completamente
conocida
es
decir
dividiremos
todas
las
variables
del
modelo
por
ω
bt (o bien
p
2
por σ
bt ). El estimador MCO del modelo transformado se denomina en este caso
estimador de Mínimos Cuadrados Generalizados Factible (MCGF) y su expresión
es
X
X
0 −1 X
0 −1 X
X
Y
X
X
X
Y
X
X
t
t
t
t
t
t
t
t
=
.
βbM CGF =
ω
bt
ω
bt
σ
bt2
σ
bt2
• Bajo estos supuestos, el estimador MCGF tiene las mismas propiedades asintóticas que el MCG. Sin embargo, sus propiedades en muestras finitas son en general
desconocidas. Para contrastar restricciones lineales utilizando el estimador MCGF,
podemos utilizar los contrastes asintóticos que vimos en el Tema 1. Nótese que
aunque los errores sean normales los contrastes exactos bajo normalidad que vimos
en econometría I no son válidos.
12