Aproximación numérica. Tema5. Ajuste por mínimos cuadrados

Bloque II. Aproximación Numérica
Tema 5 Ajuste por Mínimos Cuadrados
Ejercicios resueltos
II.5-1 Ajustar los siguientes datos a una recta por mínimos cuadrados:
x
f(x)
-1
2
0
0
3
4
7
7
Dibujar la nube de puntos y estimar el valor de la función en x = 1.
Solución
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-2
0
n
4
xi
-1
0
3
7
9
n
2
4
yi
2
0
4
7
13
6
xi^2
1
0
9
49
59
xi*yi
-2
0
12
49
59
n

 4a  9b  13 
i 1
i 1


n
n
n
9
a
59
b
59


2

a   x i  b   x i   x i  fi 


i 1
i 1
i 1
a  n  b   xi 
8
f
i
a  1.52258

b  0.767742
x 1
y  1.52258  0.767742  x 
 f 1  2.290322
Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque II. Aproximación Numérica. Tema 5. Ajuste por Mínimos Cuadrados
Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco
MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza
Ejercicios resueltos 1
II.5-2 Ajustar los siguientes datos a una recta por mínimos cuadrados:
x
f(x)
-3
14
-1
4
1
2
3
8
5
22
7
44
Dibujar la nube de puntos y estimar el valor de la función en x = 0 y x = 2
Solución
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-4
-2
n
6
n
0
xi
-3
-1
1
3
5
7
12
2
yi
14
4
2
8
22
44
94
4
xi^2
9
1
1
9
25
49
94
6
xi*yi
-42
-4
2
24
110
308
398
n

 6a  12b  94 
i 1
i 1


n
n
n
12
a
94
b
398


2

a   x i  b   x i   x i  fi 
i 1
i 1
i 1

a  n  b   xi 
8
f
i
a  9.66667

b  3
x 0
y  9.66667  3  x 
 f  0   9.66667
x 2
y  9.66667  3  x 
 f  2   15.66667
Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Bloque II. Aproximación Numérica. Tema 5. Ajuste por Mínimos Cuadrados
Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco
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Ejercicios resueltos 2
II.5-3 Ajustar los siguientes datos a una parábola por mínimos cuadrados:
x
f(x)
-1
2
0
0
3
4
7
7
Dibujar la nube de puntos y estimar el valor de la función en x = 1.
Solución
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-2
n
4
xi
-1
0
3
7
9
0
2
yi
2
0
4
7
13
4
xi^2
1
0
9
49
59
6
xi*yi
-2
0
12
49
59
xi^3
-1
0
27
343
369
8
xi^4
1
0
81
2401
2483
xi^2*yi
2
0
36
343
381


i 1
i 1
i 1

n
n
n
n

a 0   x i  a1   x i2  a2   x i3   x i  fi 
i 1
i 1
i 1
i 1

n
n
n
n

a 0   x i2  a1   x i3  a2   x i4   x i2  fi 
i 1
i 1
i 1
i 1

n
n
a 0  n  a1   x i  a 2   x 
2
i
n
f


9a 0  59a1  369a2  59


59a 0  369a1  2483a2  381

4a 0  9a1  59a2  13
i
a 0  1.47545

a1  0.489371

a2  0.0456587
x 1
y  1.47545  0.489371  x  0.0456587  x 2 
 f 1  2.0104797
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Ejercicios resueltos 3
II.5-4 Ajustar los siguientes datos a una parábola por mínimos cuadrados:
x
f(x)
-3
14
-1
4
1
2
3
8
5
22
7
44
Dibujar la nube de puntos y estimar el valor de la función en x = 0 y x = 2
Solución
50
40
30
20
10
0
-4
n
6
xi
-3
-1
1
3
5
7
12
yi
14
4
2
8
22
44
94
-2
0
xi^2
9
1
1
9
25
49
94
2
xi*yi
-42
-4
2
24
110
308
398
4
6
xi^3
-27
-1
1
27
125
343
468
8
xi^4
81
1
1
81
625
2401
3190
xi^2*yi
126
4
2
72
550
2156
2910


i 1
i 1
i 1

n
n
n
n

2
3
a 0   x i  a1   x i  a2   x i   x i  fi 
i 1
i 1
i 1
i 1

n
n
n
n

a 0   x i2  a1   x i3  a2   x i4   x i2  fi 
i 1
i 1
i 1
i 1


a 0  2
6a 0  12a1  94a2  94


12a 0  94a1  468a2  398
  a1  1


949a 0  468a1  3190a2  2910 
a 1

 2
n
n
a 0  n  a1   x i  a 2   x 
2
i
n
f
i
x 0
y  2  x  x 2 
 f 0  2
x 2
y  2  x  x 2 
 f 2   4
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Ejercicios resueltos 4