Este fue el examen de diagnóstico de inducción.

Inducción matemática
Ejercicio de diagnóstico
Responde lo que se te pide. Procura ser clara o claro.
1. Utiliza inducción para probar que la suma de enteros impares es par si
y sólo si el número de sumandos es par.
2. Dado un conjunto X, recuerda que el conjunto potencia de X, al que
denotamos por P(X), es el conjunto de todos los subconjuntos de X.
La siguiente es una prueba por inducción. Escribe la proposición que
se prueba.
Caso base. Consideremos X = {x}. Así, P(X) es {∅, {x}}.
Por lo tanto |P(X)| = 21 .
Hipótesis inductiva. Supongamos que dado cualquier conjunto X con n elementos, el conjunto P(X) tiene 2n elementos.
Paso inductivo. Consideremos X un conjunto con n + 1
elementos.
Notemos que si Y es subconjunto de X, ya que todo subconjunto de Y es subconjunto de X se sigue que P(Y ) es
subconjunto de P(X).
Fijemos un elemento de X, sea x. Sea Y = X \ {x}. Notemos que Y tiene n elementos. Así, tenemos que P(Y ) es
subconjunto de P(X). Para ser precisos, P(Y ) son todos
los elementos de P(X) que no tienen a x como elemento.
Así, P(X) \ P(Y ) son todos los elementos de P(X) que sí
tienen a x como elemento. Ésto es
P(X) \ P(Y ) = {B: B ⊂ X y x ∈ B}
= {A ∪ {x}: A ∈ P(Y )}
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Así,
|P(X)| = |P(Y ) ∪ {A ∪ {x}: A ∈ P(Y )}|
= |P(Y )| + |{A ∪ {x}: A ∈ P(Y )}|
− |P(Y ) ∩ {A ∪ {x}: A ∈ P(Y )}|
= 2n + 2n − 0
= 2n+1 .
3. Definamos la sucesión {fn } de números enteros como:
f1 = 1, f2 = 1 y fn = fn−1 + fn−2 ,
para todo entero n con n mayor o igual que tres.
Completa la siguiente prueba al escribir la hipótesis de inducción.
Proposición. Para todo entero n, con n mayor o igual que
dos, se tiene que fn = fn+1 − fn−1 .
Demostración. Paso base. Observa que f3 = f2 + f1 = 2.
Tenemos que f2 = 1 y f3 − f1 = 2 − 1 = 1. Así, f2 = f3 − f1 .
Hipótesis inductiva. (Ésto lo completas tú.)
Paso inductivo.
fn+1 = fn + fn−1
= (fn+1 − fn−1 ) + (fn − fn−2 )
= (fn+1 + fn ) − (fn−1 + fn−2 )
= fn+2 − fn .
4. Completa el enunciado de la proposición, escribe la base de la inducción
y completa la demostración.
Proposición.
Para todo número natural n tal que
(ésto lo completas tú), se tiene que n = 3s + 5t, donde s
y t son enteros no negativos.
Demostración. Caso base. (Ésto lo completas tú.)
Hipótesis inductiva. Supongamos que para algún número
natural n es mayor que 8 se tiene que n = 3s + 5t, con s y t
en Z≥0 .
Consideraremos dos casos: t es o no cero.
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• Si t es cero entonces s tiene que ser mayor o igual que
tres. Observa que 9+1 = 5∗2. Así, n+1 = 3(s−3)+5∗2.
• Si t no es cero, observa que 5 + 1 = 3 ∗ 2. Así tenemos
que n + 1 = 3(s + 2) + 5(t − 1).
Por lo tanto, n + 1 cumple la propiedad.
5. ¿Cómo explicarías el Principio de la Inducción sin usar matemáticas?
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